मजेदार अंकगणित - २

नैसर्गिक संख्याक्रम
१,२,३,४.....

पूर्णसंख्याक्रम
०,१,२,३,४,५..

ऋणसंख्याक्रम

-५, -४, -३, -२, -१, ०

संख्यामालिका किंवा संख्या क्रमिका 
०,१,२,३,४,५.. आरंभ संख्या (प्रथम पद) ० लगतच्या दोन संख्यांतील फरक १, शेवटची संख्या ९

१,२,३,४,५.. आरंभ संख्या १, लगतच्या दोन संख्यांतील फरक १, शेवटची संख्या ९

सम संख्या किंवा विषम संख्या क्रम  श्रेढी  फरक २ 
समसंख्या क्रम - २,४,६,८,१०,१२,१४,१६,१८,२०,....
विषम संख्या क्रम - १,३,५,७,९,११,१३,......

दोन विषम संख्यांची बेरीज सम संख्या असते.

विषम संख्या क्रम वैशिष्ठ्ये

विषम संख्याक्रम - १,३,५,७,९,११,१३,१५,१७
अ) वर्ग
१ = १ = १ चा वर्ग
१+३ = ४ = २ चा वर्ग
१+३+५ = ९ = ३ चा वर्ग
१+३+५+७ = १६ = ४ चा वर्ग
१+३+५+७+९ = २५ = ५ चा वर्ग
१+३+५+७+९+११= ३६ = ६ चा वर्ग
१+३+५+७+९+११+१३ = ४९ = ७ चा वर्ग 
१+३+५+७+९+११+१३+१५ = ६४ = ८ चा वर्ग
१+३+५+७+९+११+१३+१५+१७=८१=९ चा वर्ग
१+३+५+७+९+११+१३+१५+१७+१९=१००=१० चा वर्ग
असेच पुढील क्रमासाठी 
आ) घन
१= १ चा घन
३+५ = ८ = २ चा घन
७+९+११ = २७= ३ चा घन
१३+१५+१७+१९ =  ६४ = ४ चा घन
२१+२३+२५+२७+२९+३१ = १२५ = ५ चा घन 

असेच पुढील क्रमासाठी 

सम संख्या क्रमाची वैशिष्ठ्ये
२ = २ = १x२
२+४ = ६ = २ x ३
२+४+६ = १२ = ३ x  ४
२+४+६+८ = २० = ४ x ५
२+४+६+८+१० = ३ ० = ५ x ६
असेच पुढील क्रमासाठी 

वरील सर्व क्रमांसाठी  गणिती सूत्रे  मांडता येतात वा त्याद्वारे कितीही मोठ्या संख्याक्रमातील संख्यांची बेरीज काढता येते.

चढता व उतरता क्रम
चढता  क्रम  - १,२,३,४,५,....
उतरता क्रम - ..., ५,४,३,२,१

लगतच्या दोन संख्यांतील फरक एकसारखा तोही चढत्या वा उतरत्या क्रमाने बदलला तर अनेक वेगवेगळ्या संख्यामालिका होऊ शकतात व त्यांचे गुणधर्मही वेगळे असतात.

उदा. १,२,४,७,११,१६ या क्रमात फरकही १,२,३,४ असा वाढत जातो.

 अंकपाश
एखाद्या संख्येत १ पेक्षा जास्त अंक असतील तर त्या अंकांची अदलाबदल करून एकूण किती वेगवेगळ्या संख्या होऊ शकतात व अशा सर्व संख्यांची बेरीज किती असेल याची सूत्रे भास्कराचार्य यांनी आपल्या 'लीलावती' या गणितविषयक ग्रंथात 'अंकपाश' नावाच्या प्रकरणात दिली आहेत.

 त्याचेच विस्तृत विवरण नारायण पंडित यांनी आपल्या 'गणितकौमुदी' या ग्रंथात केले असून अनेक उदाहरणे दिली आहेत. 

अंकपाश या विषयावरील माझ्या आधीच्या लेखांत याबद्दल सविस्तर माहिती दिली आहे.

जुमला - वेबसाईटचा अभेद्य किल्ला

साधे   एचटीएमएल (html) कोड वापरून कोणालाही सहज वेबसाईट तयार करता येते. मग  मला बरेच लोक विचारतात. तुमच्या ज्ञानदीपमध्ये  वेबसाईट डिझाईनसाठी जटिल व गुंतागुंतीची जुमला प्रणाली का वापरली जाते? या नेहमीच्या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न या लेखात केला आहे.

माझे बालपण साता-यात गेले. सातारा शहर हे ‘अजिंक्यतारा’ या मोठ्या किल्याच्या कुशीत वसले आहे.

‘अजिंक्यतारा’ हे नाव सार्थ ठरावे अशी त्याची रचना आहे. मुख्य दरवाजा सोडला तर बाकी सर्व बाजूनी उभे कडे असलेल्या या किल्यात शिरायचे तर दरवाज्यातूनच आत जावयास हवे. अर्थात दरवाज्यात कडेकोट बंदोबस्त असल्याने हा किल्ला अभेद्य असे.

जुमला ही वेबसाईट डिझाईन प्रणाली अशीच अभेद्य किल्ल्यासारखी आहे.

जुमला वेबसाईट इंटरनेटवर बघताना आपल्याला एक गोष्ट लक्षात येते ती म्हणजे कोणतेही वेबपेज पहा. इंडेक्स डाॅट पीएचपी (index.php) या एकाच प्रोग्रॅमचे पान उघडते. म्हणजे सर्व वेबसाईट ही केवळ या एकाच दरवाज्यातून आपल्याला दिसू शकते.

वेबसाईटवरील इतर सर्व पाने या एका प्रोग्रॅमतर्फेच तयार केली जातात. साहजिकच वेबसाईट प्रणालीत अनेक प्रोग्रॅम असले तरी इंडेक्स डाॅट पीएचपी  (index.php) शिवाय दुसरा कोणताही प्रोग्रॅम (पीएचपी फाईल )पाहता येत नाही व आत शिरण्याचे सर्व मार्ग यामुळे बंद होतात.

किल्ल्यावर हल्ला करताना शत्रू आपले सैन्य दोराच्या साहाय्याने उभ्या कड्यावर चढवू शकतो तशी शक्यता इंटरनेटमध्ये नसल्याने वेबसाईट सुरक्षित राहते.

हे कसे काय साध्य होते?

इंडेक्स डाॅट पीएचपी या फाईलमध्ये सुरुवातीलाच define('_JEXEC', 1); असे कोड असते व _JEXEC चे मूल्य ठरविलेले असते. या फाईलव्यतिरिक्त इतर सर्व फाईलमध्ये पहिल्या ओळीत  defined('_JEXEC') or die;

असे कोड असल्याने जर _JEXEC चे मूल्य माहीत नसेल तर फाईल बंद होते. जर इंडेक्स डाॅट पीएचपी या फाईलमार्फत असी फाईल उघडली असेल तर _JEXEC चे मूल्य ठरलेले असल्याने फाईल कार्यान्वित होते.

ट्रोजन हाॅर्स या लाकडी घोड्यातून आपले सैन्य लपवून ग्रीकांनी शत्रूच्या गोटात प्रवेश केला व ट्राय शहर जिंकले तशाच प्रकारे  ब-याच वेळा सभासदत्वाचा फाॅर्म भरण्याच्या वा प्रतिसाद देण्याच्या बहाण्याने वेबसाईट प्रणालीमध्ये हेरगिरी करणारा वा विध्वंसक प्रोग्रॅम घालून वेबसाईट प्रणालीत प्रवेश केला जातो. अशी शक्यता टाळण्यासाठी जुमलामध्ये विशेष व्यवस्था केलेली असते. बाहेरून आलेली कोणतीही माहिती आहे तशी आत न घेता जसे विमानात चढताना स्क्रीनिंग केले जाते त्याप्रमाणे त्यातील एचटीएमएलचे टॅग तसेच प्रोग्रॅमनिदर्शक चिन्हे व अक्षरे काढून टाकली जातात.  साहजिकच कोणताही अनावश्यक वा अनाहूत अनिष्ट प्रोग्रॅम वेबसाईटप्रणालीत शिरू शकत नाही.

जुमला वेबसाईट प्रणालीतील प्रत्येक फोल्डरमध्ये एक रिकामी एचटीएमएल फाईल ठेवलेली असते. त्यामुळे जरी एखाद्या बाहेरच्याला जुमला फोल्डरचे नाव माहीत असले तरी त्याला त्यातील फाईल दिसू शकत नाहीत. कारण जरी त्याने  इंटरनेटच्या ब्राउजरमध्ये फोल्डर उघडायचा प्रयत्न केला तरी ही रिकामी फाईल उघडते व पांढ-या पडद्याखेरीज दुसरे काहीही त्याला दिसत नाही.

अशा अभेद्य वेबप्रणालीचा डिझाईनसाठी वापर केल्याने वेबसाईटच्या सुरक्षिततेची हमी मिळते. त्यामुळे ज्ञानदीपच्या बहुतेक वेबसाईट शक्यतो जुमला प्रणालीचा वापर करून डिझाईन केलेल्या असतात.

मजेदार अंकगणित - १

गणित हा विषय अवघड समजला जातो. याचे एक  कारण म्हणजे त्याचा प्रत्यक्ष व्यवहारात उपयोग करून दाखविल्याखेरीज निव्वळ आकडेमोडीतून  काही अर्थबोध होत नाही. याउलट वस्तूंना वगळून केवळ संख्यांचे गुणधर्म यांचा विचार गणितात केला जातो. गरजेपोटी संख्यांना अक्षरे मानून बीजगणित केले जाते. तेव्हा तर गणित अधिकच क्लिष्ट व दुर्गम बनते.

संख्या व गणित यांचा शोध कसा व केव्हा लागला याविषयी अनेक दंतकथा आहेत. एवढे मात्र खरे की गणित सर्व विषयातील ज्ञानाचे बीज आहे. संख्या वा त्यातील परस्पर संबंध पाहिले तर अनेक मजेदार वा आश्चर्यचकीत करणा-या गोष्टी लक्षात येतात आणि गणिताची गोडी निर्माण होते.

मुळात संख्या ही वस्तूचा गुणधर्म असून वस्तूचे नाव घेऊन संख्या वापरली तरच संख्येचे महत्व कळते. मात्र या संख्यांना स्वतंत्र अस्तित्व गणिताने बहाल केले आणि अंकगणिताचा जन्म झाला. अंकगणित महणजे अंकांचे गणित. ० ते ९ पर्यंत अंक हे अंकगणिताचे मुख्य आधारस्तंभ.

असे म्हणतात की अंकांचा शोध लागण्यापूर्वी एका गाडग्यात खडे टाकून वा भिंतीवर खुणा करून मोजणी केली जाई.

क्रमवार संख्या - १,२,३,४,५,६,७,८,९,१०

१ किंवा 'एक' हा अंकही प्रत्यक्षात कधी वापरला जात नाही. मी पुस्तक वाचतो असे म्हटले की एक पुस्तक हे लगेच कळते. त्यासाठी एक हे वेगळे विशेषण लावायची गरज नसते.

मात्र १+१ =२ या संख्येने मात्र  विशेष अर्थबोध होतो. २ पुस्तके म्हटले की  त्याचा अर्थ एक आणि एक असा संच वा समूह असल्याचे लक्षात येते. या समूहात एक एक वाढवत गेले की ३,४,५,... अशा क्रमवार संख्या तयार होतात.

कदाचित २ चा शोध १ पूर्वी लागला असेल. कारण एका वस्तूसाठी त्याचे वेगळे वर्णन करायची आवश्यकता नसते. दोनाचा समूह तयार होतो. माणसाला दोन डोळे, दोन कान, दोन हात, दोन पाय असतात. त्यामुळे दोन या अंकाची गरज माणसाला फार पूर्वीच लक्षात आली असेल.  हे दोन वेगळे केल्यावर त्यांना  १ हे नाव दिले गेले असावे. १+१=२ याऐवजी २-१=१ असा शोधक्रम असू शकेल.

२ नंतर मात्र एक एक मिसळत दहापर्यंत अंकांचा विकास झाला असेल कारण हातांची बोटे  दहा असल्याने मोजण्यासाठी वापरताना वेगळी नावे दिली गेली असतील. दशमान पद्धतीचा यातूनच जन्म झाला असेल.

शून्याचा शोध प्राचीन काळी आपल्या ऋषीमुनींनी लावला आणि गणितात मोठी क्रांती केली.

मूळ संख्याक्रम  -  १,२,३,४,५,६,७,८,९,१०  मोजण्यासाठी वापरला जात असला तरी

या क्रमामध्ये एकाच्या अलिकडे काही नाही हे दाखविण्यासाठी  शून्य लिहिले गेले आणि व  ०,१,२,३,४,५,६,७,८,९ असा एकअंकी संख्याक्रम वापरात येऊ लागला. त्याला  अंकगणितात मूळ संख्याक्रमाचे  स्थान मिळाले. व दशमान पदधतीने मोठया संख्या लिहिणे सुलभ झाले.

नवा मूळ संख्याक्रम - ०,१,२,३,४,५,६,७,८,९

एकम, दशम्, शतम् इत्यादी गटात हे अंक घालून फार मोठ्या संख्या तयार करणे आणि त्यांच्यावर बेरीज, वजाबाकी, गूणाकार, भागाकार व इतर अनेक जटिल प्रक्रिया करून आकाशातील ग्रहता-यांच्या गतीचा व कालमापनाचा शोध घेण्याची क्षमता  आपल्या भारतीय पूर्वजांना  गणिताच्या अभ्यासातूनच प्राप्त झाली.

आजही आपल्या या प्राचीन गणित ज्ञानसंपदेचा शोध सर्व जगातील शास्त्रज्ञ व नासासारख्या संशोधनसंस्था   घेत आहेत.

जरी आता आपण  सगळीकडे इंग्रजी अंक वापरत असलो तरी  आपले देवनागरी मराठी अंक त्यामुळेच भविष्यातहि टिकून राहतील यात शंका नाही.

काव्यदीप - आयफोन व आयपॅडसाठी ज्ञानदीपचे नवे अॅप

ज्ञानदीपचे नवे अॅप सौ. सुमेधा गोगटे यांनी तयार केले असून त्यात स्व सौ. शुभांगी रानडे यांच्या 'काव्यदीप', सांगावा' आणि 'सय' या तीनही कवितासंग्रहातील सर्व कविता  दिल्या आहेत. सर्व कविता स्व सौ. शुभांगी रानडे यांच्या आवाजात ऐकावयास मिळतात.

या अॅपमध्ये आवडलेली कविता मेलने पाठविण्याची सोशल मिडियावर शेअर करण्याची तसेच नोंद करून ठेवण्याची सोय केली आहे.

सर्वांना हे अॅप मोफत आपल्या आयफोनवर डाऊननलोड (https://itunes.apple.com/app/id1274655599) करता येईल. 

आपण या संधीचा लाभ घ्यावा तसेच आपल्या प्रतिक्रिया कळवाव्यात ही विनंती.

सुभाषितानि - आयफोन व आयपॅडसाठी ज्ञानदीपचे नवे अॅप

 सुभाषितानि - आयफोन व आयपॅडसाठी ज्ञानदीपचे नवे अॅप

ज्ञानदीपचे नवे अॅप सौ. सुमेधा गोगटे यांनी तयार केले असून त्यात सुमारे २०० सुभाषिते, त्यांचे मराठी व इंग्लिश  भाषांतर व  इंग्लिश ट्रॅन्स्लिटरेशन दिले आहे. सर्व सुभाषिते स्व सौ. शुभांगी रानडे यांच्या आवाजात ऐकावयास मिळतात.

सुभाषिताचा शोध घेण्याची तसेच  आवडलेले सुभाषित मेलने पाठविण्याची  सोय आहे. 

सर्वांना हे अॅप मोफत आपल्या आयफोनवर डाऊननलोड करता येईल. 

(https://itunes.apple.com/us/app/subhashitani/id1263239697?mt=8) 

आपण या संधीचा लाभ घ्यावा तसेच आपल्या प्रतिक्रिया कळवाव्यात ही विनंती.

चुना व सोडा वापरून मृदूकरण -२

चुना व सोड्याने पाणी मृदू करावयाच्या पद्धतीत होणारे फेरबदल:- 

पाण्यातील कॅलशियम, मॅग्नेशियम तसेच कार्बोनेट व बायकार्बोनेट कठीणपणा नाहीसा करण्यासाठी चुना व सोडा यांचा वापर कसा करावा याविषयी वर माहिती दिलेली आहे. तथापि जर फक्त कॅलशियम बायकार्बोनेटमुळे पाण्यास कठीणपणा आला असेल तर केवळ चुन्याची प्रक्रिया करून पाण्याचा पी.एच. ९.४ या योग्य मर्यादेपर्यंत आणला तरी चालतो. जर कॅलशियम व मॅग्नेशियम बायकार्बोनेट पाण्यात असतील तर सोड्याचा वापर केला नाही तरी चालतो मात्र यावेळी पाण्यातील मॅग्नेशियाचे निष्कासनासाठी पी.एच. १०.६ होण्यासाठी जास्त चुन्याची प्रक्रिया करावी लागते. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे तर फक्त कार्बोनेट राहील कठीणपणा नाहीसा करावयाचा असे तरच फक्त ५ व्या व ६ व्या विक्रीयांप्रमाणे सोड्याची आवश्यकता असते. जास्त तांत्रिक भाषेत सांगायचे तर कॅलशियम व मॅग्नेशियम धनायनांचे सममूल्य अल्कतेच्या ऋनायणांपेक्षा जास्त झाले तरच सोडा वापरावा लागतो. 

चुना व सोडा वापरून पाणी मृदू करण्याच्या पद्धतीचा वापर:-

वरील विक्रिया होण्यासाठी जी मृदूकरण यंत्रणा बांधली जाते त्यांचे आभिकल्पन मूलतः नेहमीच्या जलशुद्धीकरण यंत्रनेप्रमाणे असते फक्त बऱ्याच जास्त प्रमाणात रसायनांचा पुरवठा करावयाचा असल्याने रसायनांची सोय / पोषक यंत्रणा धारणक्षमता भरपूर असावी लागते व गाळ काढण्यासाठी यांत्रिक साधनांचा वापर करणेही योग्य ठरते. ऊर्ध्वगामी प्रवाहाच्या अवसादन टाक्यांत पदार्थांचा संपर्क चांगला होत असल्याने मृदूकरण प्रक्रियासाठी या टाक्या सहाय्यकारक ठरतात.

रसायने:-  

प्रक्रियेसाठी विरीचा किंवा कळीचा चुना वापरता येतो रसायनीची उपलब्धता, किंमतीतील फरक व विरीचा चुना वापरण्यातील थोडीफार सुलभता यावर रसायनाची निवड अवलंबून असते. सर्वसाधारणपणे कळीचा चुना स्वस्त असतो तो विरवावा लागतो. कळीचा विरविताना त्यातील काही भाग कोरडा राहू नये किंवा त्यात डिकळे राहू नयेत यासाठी आवश्यक तेवढे जास्त तापमान निर्माण व्हावे. म्हणून चुन्यात बरोबर किती पाणी घालावे घ्याचे मोजमाप करणे पूर्वी अवघड असते. लगेच विरणारा दाणेदार चुन्याचा व विरण्याची क्रिया सतत चालू ठेवणाऱ्या या यंत्रणेत नवीनच वापर सुरु झाला आहे. या यंत्रणेत विरण्याच्या क्रियेस ६६ अंश ते ७७ अंश सें तापमान मिळेल अशा रितीने पाण्याचा प्रवाह नियंत्रित केलेला असतो. जर कळीच्या चुन्याची भुकटी केली तरी विशिष्ट शुष्क पोषक यंत्रणेतून त्याचा पाण्याला पुरवठा करता येतो. 

मात्र ठराविक प्रमाणात पाण्याचा वापर करावा लागतो. द्रावण टाकीत आंदोलन क्रिया जलद व्हावी लागते. चुन्याची रिबडी तयार झाली की ती होजच्या द्रावण नळीतून पुरेशा वेगाने सोडावी लागते. अन्यथा तेथे चुना साचून राहण्याची शक्यता असते. होज नळी जर फार लहान आकाराची असेल तर ती चोंदते व फार मोठया आकाराची असेल तर त्याच अवसादन होण्याची शक्यता असते. सर्व होजनळी दाबयुक्त पाण्याने धुवून काढता यावी यासाठी होजनळीला पाण्याचा नळ जोडून ठेवावा. सर्वात लहान उत्तम पद्धत म्हणजे प्रक्रिया करावयाच्या पाण्याच्या पातळी पेक्षा जास्त उंचीवर उघडया नालीमध्ये हे चुन्याचे द्रावण सोडणे. 

सोडा चुण्याबरोबर वा स्वतंत्रपणे पाण्यात मिसळला तरी चालतो. तो अतिशय विद्राव्य असल्याने त्यासाठी द्रावण पोषकाचाही उपयोग करणे शक्य असते वस्तुतः ३०^o ते ४०^o सें. तापमान असणाऱ्या गरम पाण्यात ३० टक्के तीव्रतेचे द्रावण किंवा १०^o – १५^o सें. तापमान असणाऱ्या थंड पाण्यात ८ टक्के तीव्रतेचे द्रावण तयार होऊ शकते. तरी बहुधा शुष्कपोषक यंत्रणाच जास्त सोयीचा पडते.

पुंजकीकरण:- संकणन मृदूकणातील खर्च व जास्त असल्याने महत्त्वाच्या विक्रिया यात होत असल्याने ३० ते ६० मिनिटे अवरोधन कालावधी राहील इतकी भरपूर संकणन व्यवस्था ठेवणे यांत्रिक साधनांनी क्रिया होऊ देणे इष्ट असते. जर तळाशी बसणारा गाळ सतत बाहेर काढला जात असेल तर या गाळातील काही भाग असंस्कारित पाण्यात मिसळल्यास संकणन चांगले होते अर्थात गाळाचा किती हिस्सा असंस्कारित पाण्यात मिसळणे योग्य असते ते अनुभवाने कळू शकते. 

किलाटन:- चुना व सोडा वापरून पाणी मृदू करीत असताना पाण्याचे पी.एच. बरेच जास्त असतो. तरीही तुरटी पाण्यात मिसळल्यावर अल्युमिनेट  संयुगे तयार होत असल्याने तिचे कार्य व्यवस्थित चालले. पुंजके तयार होण्यासाठी सहाय्यक म्हणून फेरिक सल्फेट, फेरस सल्फेट, सोडियम अल्युमिनेट किंवा कार्यप्रेरित सिलिका यांचाही वापर करता येतो. बहुधा लहान केंद्रासाठी सोडियम अल्युमिनेट वापरले जाते. परंतु मृदूकरणासाठी किलाटन म्हणून कार्यप्रेरित सिलिका विशेष योग्य असते कारण तिचे २ भा/दलभा इतके कमी प्रमाण वापरले तरी ते प्रभावी ठरते. ज्या ठिकाणी थंड पाण्याचे मृदूकरण केले जाते त्या कणसंपर्क टाक्यांमध्ये ही गोष्ट प्रकर्षाने जाणवते. 

या प्रक्रीयेवरील नियंत्रण नेहमीच्या किलाटन पद्धतीप्रमाणे असते. तुरटी, फेरिक सल्फेट किंवा फेरस सल्फेट यांचा किलाटन म्हणून वापर केला असेल तर किलाटकांची आम्लता नाहीशी करण्यासाठी चुना खर्च होत असल्याने पाण्यात मिसळावयाच्या चुन्याचे प्रमाण त्यानुसार वाढवावे लागते. चुना व किलाटन खालील विक्रीयेमुळे कॅलशियम सल्फेट तयार होते व त्यामुळे पाण्यास किलाटकांबरोबर चुण्याऐवजी सोडा मिसळावा म्हणजे पाण्यास कठीणपणा न येता किलाटन होऊ शकेल.   

चुना व सोडा वापरून मृदूकरण -१

तत्वे:- या मृदूकरण पद्धतीत कॅलशियम व मॅग्नेशियमच्या विद्राव्य संयुगांचे चुना व सोडा यांच्या सहाय्याने अविद्राव्य संयुगांत रुपांतर केले जाते व नंतर त्या संयुगांचे किलाटन क्रियेप्रमाणे संकणन करून अवसादन केले जाते व राहिलेले पुंजके काढून टाकण्यासाठी पाणी निस्यंदन टाकीतून गाळले जाते. 

मृदूकरणात होणाऱ्या विक्रिया खाली दिल्या आहेत पण प्रत्यक्षात या विक्रिया पाण्याचे तापमान, पी.एच. गुंतागुंतीचे वास्तव रासायनिक संबंध यावर अवलंबून असतात. अधोरेखित संयुगाचा अविद्राव्य विक्षेप तयार होतो. 

CO₂ + Ca(OH)₂ = CaCo₃ + H₂O (१)

Ca(HCo₃)₂ + Ca(OH) ₂ = 2CaCo₃ + 2H₂O (२)

Mg(HCo₃)₂ + Ca(OH) ₂ = CaCo₃ +MgCo₃ +2H₂O (३)

MgCO₃ + Ca(OH) ₂ = Mg(OH)₂ + CaCO₃ (४)

MgSO₄ + Ca(OH) ₂ = Mg(OH)₂ + CaSO₄ (६)

CaSO₄ + Na₂CO ₃ = CaCO₃ + Na₂SO₄ (७)

वरील विक्रीयांच्या संदर्भात खालील गोष्टी लक्षात ठेवाव्या लागतात (अ) कार्बनडायऑक्साईड मुळे पाण्यास कठीणपणा येत नाही पण चुन्यामुळे त्याचे निर्मुलन होते त्यामुळे पाण्यात मिसळावयाच्या चुन्याच्या प्रमाणात त्यानुसार बदल करावा लागतो. (आ) तिसऱ्या विक्रीयेमध्ये तयार होणारे मॅग्नेशियम कार्बोनेट फारसे अविद्राव्य नसल्याने ते पाण्यातून प्रभावीपणे वेगळे करता येत नाही यासाठी विक्रियेत दाखविल्याप्रमाणे जास्त चुना वापरून त्याचे मॅग्नेशियम हायड्रॉक्साईडमध्ये रुपांतर करावे लागते. (इ) पाचव्या विक्रियेत तयार होणारे कॅलशियम सल्फेट विद्राव्य असते त्यामुळे सहावी विक्रिया करून त्याचे कॅलशियम कार्बोनेटमध्ये रुपांतर करता येते. (ई) असंस्कारित पाण्यातील कॅलशियम सल्फेटचेही सहाव्या विक्रीयांमुळे निष्कासन होते, यामुळे सोड्याची आवश्यकता सिद्ध होते. (उ) पाण्यातील विद्राव्य कॅलशियम व मॅग्नेशियम क्लोराईड संयुगे यांचे सोड्यामुळे सहाव्या विक्रीयेप्रमाणे निष्कासन होते. 

पाण्याचा पी.एच. ९.४ असताना तात्विक दृष्ट्या कॅलशियम कार्बोनेटची विद्राव्यता १७ भा/दलभा पर्यत असते. चुना व सोड्याची पाण्यावर प्रक्रिया केली तरी १७ भा/दलभा पेक्षा जास्त असणाऱ्या सर्व कॅलशियम कार्बोनेटचा कठीणपणा पाण्यात रहातोच. चुना व सोड्याची प्रक्रिया खालील चारपैकी एका पद्धतीने केली जाते. 

जास्त चुन्याची प्रक्रिया

पाण्यातील कॅलशियम व मॅग्नेशियम यांचा अविद्राव्य विक्षेप तयार व्हावा यासाठी पाण्याचा पी.एच. १०.६ होईल अशा रितीने चुना जास्त प्रमाणात (१० ते ५० भा/दलभा) पाण्यात मिसळला जातो. नंतर सोडा पाण्यात मिसळून जास्त असणाऱ्या चुन्याचे सोडियम हायड्रॉक्साईड व कॅलशियम कार्बोनेट मध्ये रुपांतर करण्यात येते. सोडियम हायड्रॉक्साईड (दाहक अल्कता) पाण्यात राहणे इष्ट नसते म्हणून दाहक अल्कता नाहीशी व्हावी व पी.एच. व्हावे यासाठी पाण्यात पुन्हा कार्बनडायऑक्साईड मिसळला जात असेल तर या पद्धतीपेक्षा सुटी प्रक्रिया पद्धती वापरणे अधिक श्रेयस्कर असते. 

सुटी प्रक्रिया

पद्धतीमध्ये असंस्कारित पाण्यातील बऱ्याचशा पाण्यावर जास्त चुन्याची प्रक्रिया केली जाते व मृदूकरणाच्या सर्व विक्रिया पूर्ण झाल्यानंतर त्या पाण्यात राहिलेले असंस्कारित पाणी मिसळले जाते. या असंस्कारित पाण्यात असणारे कार्बनडायऑक्साईड व बायकार्बोनेटची प्रक्रिया केलेल्या पाण्यातील जास्तीच्या चुन्याशी विक्रिया होते व पी.एच ९.४ असताना कॅलशियम कार्बोनेटचा विक्षेप तयार होऊन तो दुय्यम टाकीत तळाशी बसतो. 

जास्त चुन्याची प्रक्रिया व नंतर पुन्हा कार्बनडायऑक्साईड पाण्यात मिसळणे.

ही जास्त विस्तृत पद्धत असून यात मॅग्नेशियमचा अविद्राव्य विक्षेप तयार होण्यासाठी पाण्याचा पी.एच. १०.६ होईल अशा रितीने पाण्यावर चुन्याची प्रक्रिया करावी लागते व विक्षेप बसण्यासाठी प्राथमिक संकणन व अवसादन क्रिया आवश्यक असतो. अवसादन झाल्यानंतर पाण्यात पुन्हा कार्बनडायऑक्साईड मिसळून पाण्याचा पी.एच. ९.४ केला की कॅलशियम कार्बोनेटचा विक्षेप तयार होतो. अवसादित पाण्यात शेवटी पुन्हा एकदा कार्बनडायऑक्साईड मिसळून पाण्याचा पी.एच. सुमारे ८.७ केला जातो. म्हणजे त्यामुळे पाण्यात राहिलेल्या कॅलशियम कार्बोनेटचे विद्राव्य बायकार्बोनेटमध्ये रुपांतर होते व निस्पंदन टाकीतील वाळूवर कॅलशियम कार्बोनेटचा थर सांचण्यास प्रतिबंध होतो. ( यासाठी अवसादित पाण्यात सोडियम हेक्झानेटाफॉस्फेट मिसळले तरी वाळूवर कॅलशियम कार्बोनेटचाथर बसणे टाळता येते. 

सोड्याऐवजी धनायन विनिमयाने मृदू करण्याची पद्धत:- 

ज्या भागात मीठ स्वस्त मिळते त्या ठिकाणी पाण्यातील कार्बोनेटही कठीणपणा घालविण्यासाठी सोड्यापेक्षा धनायन विनिमयाने पाणी मृदू करण्याची पद्धत वापरणे जास्त किफायतशीर असते. या पद्धतीमध्ये पाण्यातील कार्बोनेट कठीणपणा कमी झाल्यानंतर पाण्यात निस्यंदनटाकीतून निस्पंदित केले जाते. निस्पंदित पाण्यापैकी थोडे पाणी धनायन विनिमय करणाऱ्या टाक्यांत सोडले जाते व राहिलेले पाणी तसेच ठेवले जाते. दर्जा आवश्यक तेवढा होईल अशा रितीने पूर्ण मृदू झालेले व फक्त चुन्यामुळे मृदू झालेले पाणी एकत्र मिसळले जाते. 

किलाटन:- चुना व सोडा पाण्यात मिसळल्यावर मृदूकरण विक्रीयांमध्ये जे अगदी बारीक स्फटीक कण निर्माण होतात त्यांचे किलाटन करण्यासाठी तुरटी फेरिक सल्फेट, फेरस सल्फेट, सोडियम अॅल्युमिनेट किंवा कार्यप्रेरित सिलिका यांचा सहाय्यक म्हणून उपयोग करावा लागतो. पाण्याचा पी.एच. इतका जास्त असताना तुरटीचा वापर करणे अयोग्य वाटण्याचा संभव आहे पण येथे तुरटी मिसळण्याचा हेतू अॅल्युमिनियम हायड्रॉक्साईड तयार करणे हा नसून मॅग्नेशियम अॅल्युमीनेट तयार करणे हा असतो. 

मॅग्नेशियम अॅल्युमीनेट मॅग्नेशियमचा अविद्राव्य विक्षेप तयार होण्याची क्रिया परिणामकारक होते. जर गढूळ पाणी मृदू करावयाचे असेल व अविद्राव्य विक्षेप तयार होण्यास सहाय्य करावयाचे असेल तर किलाटन क्रिया आवश्यक ठरते. 

पाण्याचे विशेष मृदूकरण व खनिज निर्मुलन -२

सार्वजनिक पाणी पुरवठयासाठी पाण्याचा कठीणपणा किती मर्यादेपर्यंत असावा हे तेथील लोकांच्या सवयी पाहून ठरवावे लागते. ज्यांच्या नेहमी मृदू पाणी वापरण्यासाठी सवय आहे त्या १०० भा/दलभा कठीणपणाही जास्त वाटेल उलट जे नेहमी कठीण पाणी वापरतात त्यांना एवढा कठीणपणा असलेले पाणी चालू शकते. पाणी ३० ते ५० भा/दलभा पेक्षा जास्त मृदू असल्यास ते संक्षारक असते. जर पाण्याचा कठीणपणा १५० भा/दलभा पेक्षा जास्त असतो त्या पाण्यासाठीच बहुधा मृदुकरण पद्धतीचा वापर केला जातो व पाण्याचा कठीणपणा सुमारे ८० भा/दलभा होईल एवढेच मृदूकरण येते.

मृदू पाणी व कठीण पाणी हे शब्द खालील संदर्भात वापरले जातात.

   मृदुपाणी:- पाण्याचा कठीणपणा ५० भा/दलभा पेक्षा कमी

   साधारण कठीण पाणी:- पाण्याचा कठीणपणा ५० ते १५० भा/दलभा चे दरम्यान

   कठीण पाणी:- पाण्याचा कठीणपणा १५० ते ३०० भा/दलभाचे दरम्यान

   फार कठीण पाणी:- पाण्याचा कठीणपणा ३०० भा/दलभा पेक्षा जास्त

मृदूपाण्यामुळे होणारे फायदे:-

घरांमध्ये मृदू पाणी उपल्ब्ध झाल्यास धुण्याची क्रिया चांगली होऊन, लागणाऱ्या साबणातही बरीच बचत होते. 

मृदू पाण्याच्या वापर केल्याने बाष्पक, उष्णक इत्यादींसाठी लागणाऱ्या इंधनात व व्यवस्थापन खर्चात जी बचत होते. त्याचा अंदाज करणे सोपे नसते. उद्योगधंद्यामध्ये वापरले जाणारे पाणी व बाष्पकास पुरविले जाणारे पाणी बहुधा व्यक्तिगत मालकी व्यवस्थापनात मृदू केले जाते. यावरून ही बचत किती मोठी असते हे कळून येते. 

 खनिज निर्मुलन पद्धती:- बहुधा पाणी पुरवठा अधिकाऱ्यांचा फक्त पाण्याच्या मृदुकरणाशी संबंध येतो. पण वर उल्लेखलेल्या कारणांसाठी त्यांना आपला दृष्टीकोन व जुन्या पद्धतीचा आवश्यक असते. यात खालील पद्धतीचा समावेश होतो. 

१)  चुना व सोडा वापरून केलेले मृदूकरण :- यामध्ये पाण्यातील बहुतेक कॅलशियम व मॅग्नेशियम अविद्राव्य विक्षेपात रुपांतर होते व पाण्याची अल्कता कमी होते. 

२) आयन विनिमय करणाची पद्धत वापरून केलेले मृदूकरण किंवा खनिजनिर्मुलन 

आयन विनिमय होऊन खनिजनिर्मुलन यामध्ये धन ऋण दोन्ही प्रकारच्या आयन पाण्यातून वेगळे केले जातात. (म्हणजे कॅलशियम, मॅग्नेशियम, याबरोबरच कार्बोनेट क्लोराईड सल्फेट यांचेही निष्कासन होते. व पाण्यात अजिबात खनिजे नसलेले पाणी संक्षारक असते त्यामुळे पाण्यात थोडया प्रमाणावर खनिजे रहातील अशारितीने मृदू केले जाते.) 

३) विद्युतपारगमन :- या पद्धतीत प्रक्रिया करावयाच्या निरनिराळ्या पाण्यात योग्य त्या प्रकारचे पडदे तयार केलेले असतात व पाण्यातून दिशानिष्ठ विद्युतप्रवाह सोडला की यामुळे आयन पडद्यातून पलीकडे जातात व योग्य त्या कप्प्यांमध्ये खनिज निर्मुलन झालेले पाणी रहाते.

४) ऊर्ध्वपातन:- या पद्धतीत खऱ्या पाण्याचे वा समुद्राच्या पाण्याचे बाष्पीभवन केले की खनिज नसलेले ऊर्ध्वपतीत पाणी तयार होते. सूर्याच्या उष्णतेने पाण्याचे बाष्पीभवन केले जाते सूर्य शक्तीवरील अशा ऊर्ध्व पातनाचाही पद्धतीत समावेश होतो. 

५) प्रशीतन करणे:- यामध्ये खऱ्या पाण्याचे प्रशीतन केले जाते व तयार झालेले गोड्या पाण्याच्या बर्फाचे स्फटिक त्यातून वेगळे केले जातात. 

पाण्याचे विशेष मृदूकरण व खनिज निर्मुलन -१

हेतू:- 

पाण्याच्या मृदूकरणाचे व खनिज निर्मुलनाचे दोन हेतू असतात. पहिला म्हणजे पाण्यात कठीणपणा आणणारी कॅलशियम व मॅगनेशियमची संयुगे मृदूकरण पद्धत वापरून कमी करणे वा पूर्णत: काढून टाकणे असे मृदूकरण केले की बाष्पक, पाणी तापविण्याची साधने व औद्योगिक यंत्रणा आतील पृष्ठभागावरजाड व कठीण थर तयार होत नाहीत व घरे धुलाई कापड गिरण्या इत्यादी ठिकाणी पाण्यात साठे निर्माण करण्यासाठी जो साबण लागतो यात बचत होते. दुसरा हेतू म्हणजे ज्या भागात गोड्या पाण्याचे साठे मर्यादित प्रमाणात आहेत व ज्या ठिकाणी दूर अंतरावरून नळाने गोडे पाणी आणने खूप खर्चाचे असते व खनिज निर्मुलन किफायतशीर ठरते. अशा ठिकाणी समुद्राचे पाणी, जमिनीतील कडवट व खारे पाणी घेऊन त्यातील खनिजे काढून टाकणे व त्याचे गोडे पाणी तयार करणे.

सतत वाढणारी लोकसंख्या व वाढते उद्योगधंदे यामुळे गोड्या पाण्याच्या साठ्यात गंभीर स्वरूपाची घट होत आहे यासाठी खनिज निर्मूलनाच्या सोप्या व कमी खर्चाच्या पद्धती शोधून काढण्यासाठी खूप मोठया प्रमाणावर संशोधन चालू आहे व सध्याच्या प्रगतीच्या काळापेक्षा पुढील भविष्य काळात यापेक्षा परिस्थिती बरीच अनुकूल असावयास हवी.

नैसर्गिक पाण्यातील खनिजे

गोड्या पाण्यातील विद्राव्य खनिजे, पाण्याच्या कठीणपणा व अल्कता या गुणधर्माशी निगडीत असतात या उलट खऱ्या पाण्यातील खनिजे उदासीन क्षारांच्या स्वरुपात असतात. नैसर्गिक पाण्यामध्ये बहुधा सापडणारी खनिजे कोष्टकामध्ये दिलेली असून त्यांचे अल्कधर्मी, उदासीन व आम्लधर्मी असे वर्गीकरण केले आहे. अल्कधर्मी खनिजांचे दोन पोटप्रकार पाडले असून त्यातील एका प्रकारातील खनिजांमुळे पाण्यात फक्त अल्कता वाढते तर दुसऱ्या प्रकारातील खनिजांमुळे अल्कता व कठीणपणा दोन्ही वाढतात.

                          नैसर्गिक पाण्यात असणारी मुख्य खनिजे

अल्कता निर्माण करणारी		खारटपणा (उदासीन निर्माण करणारी)		आम्लधर्मी
सोडियम व  पोटॅशियम अल्कता	कार्बोनेट कठीणपणा	विना कार्बोनेट रहावी कठीणपणा	फक्त खारटपणा
पोटॅशियम बायकार्बोनेट (KHCO3) पोटॅशियम कार्बोनेट (K2CO3) सोडियम बायकार्बोनेट (खाण्याचा सोडा) (NaHCO3) सोडियम कार्बोनेट (Na2CO3)	कॅलशियम बायकार्बोनेट [Ca(HCO3)2] कॅलशियम कार्बोनेट (CaCO3) मॅग्नेशियम बायकार्बोनेट [Mg(HCO3)2) मॅग्नेशियम कार्बोनेट (MgCO3)	कॅलशियम सल्फेट (जिप्सम) (CaSO4) कॅलशियम क्लोराईड (CaCl2) मॅग्नेशियम सल्फेट (इप्सन साल्ट) MgSO4 मॅग्नेशियम क्लोराईड MgCl2	पोटॅशियम सल्फेट (K2SO4) पोटॅशियम क्लोराईड (KCL) पोटॅशियम नायट्रेट (KNO3) सोडियम सल्फेट (Na2SO4) सोडियम क्लोराईड ( खाण्याचे मीठ ) (NaCl) सोडियम नायट्रेट (NaNO3)	खनिज आम्ल व आम्लधर्मी क्षार फक्त आम्ल पदार्थांच्या खाणीतील उत्सर्जित पाण्यात व दुर्मिळ खनिजे पाण्यात असतात. फेरस सल्फेट (FeSO4)

उदासीन क्षाराचेही पोट प्रकार पाडले असून एका प्रकारच्या क्षारामुळे खारटपणा व कार्बोनेट रहीत कठीणपणा येतो व दुसऱ्या प्रकारच्या क्षारांमुळे फक्त खारटपणा येतो. दुर्मिळ खनिज पाण्याचे प्रकार सोडले तर राहिलेल्या बहुतेक प्रकारच्या पाण्यात खनिज आम्ले नसतात व असल्यास ती कारखान्यांच्या उत्सर्जित पाण्यातून मिसळली गेलेली असतात. ( कॅलशियम किंवा मॅग्नेशियम बायकार्बोनेट असणारे पाणी तापवले तर कार्बनडायऑक्साईड निघून जातो व कॅलशियम किंवा मॅग्नेशियम बायकार्बोनेटचा अविद्राव्य विक्षेप तयार होतो अशा रितीने कठीणपणा निर्माण करणारी खनिजे पाण्यातून वेगळी होतात. म्हणून कार्बोनेटमुळे आलेल्या अशा कठीणपणा काही वेळेला तात्पुरता कठीणपणा असे संबोधले जाते. याउलट कार्बोनेट रहीत कठीणपणा हा कॅलशियम व मॅग्नेशियम च्या सल्फेट वा क्लोराईडमुळे आलेला असतो व पाणी तापवले तरी याचा अविद्राव्य सांका तयार होत नाही म्हणून त्याला ‘कायमचा कठीणपणा’ असे संबोधले जाते)

नैसर्गिक पाण्यातील अल्कली खनिजांचे कार्बोनेट व बायकार्बोनेट असे दोन गट पडतात. तिसऱ्या गटातील अल्कधर्मी खनिजे दाहक वा हायड्रोक्साईड अल्कतेची खनिजे होत. पाण्यावर चुन्याची प्रक्रिया केल्यासही हायड्रॉक्साईड अल्कतेची खनिजे पाण्यात मिसळली जातात अन्यथा नैसर्गिक पाण्यात ही खनिजे सापडत नाहीत. या तीन गटातील खनिजांच्या अल्कतेचा पी.एच. श्रेणीशी  संबंध असतो.फेनालप्थेलीन व  मिथिल ऑरेंज या दोन निर्देशकांचा उपयोग करून अल्कता ठरविल्यास कोणत्याही प्रकारची अल्कधर्मी खनिजे पाण्यात आहेत याविषयी माहिती मिळू शकते. 

नैसर्गिक पाण्यातील ज्या खनिजांचा वर उल्लेख केलेला नाही ती जलशुद्धीकरणाच्या दृष्टीने फारशी महत्वाची नाहीत. अर्थात पाण्याच्या दर्जाच्या दृष्टीने आर्सेनिक व सेलेनियम या सारखी खनिजे महत्वाची असतातच.