Magic Word Squares

While studying construction of magic squares of numbers, I thought, whether we can use such magic square pattern to words which will help in learning words by searching dictionary to make the square such that words will be same in both horizontal and vertical directions.

With a little  trial and error, I could construct such 3x3 squares for both English and Marathi words.



I am sure you will be able to construct many such squares. This can be a very interesting game and can help in remembering spelling of words and increasing vocabulary for any language.

Can we construct such 4x4 or higher squares? Difficult but may be possible for experts.

जादूचा चौकोन - इतिहास आणि उपयोग

चीनमधील पहिला जादूचा चौकोन
जगातील सर्वात पहिला जादूचा चौकोन (इ.स. पूर्व ६५० वर्षे ) चीनचा राजा किंग फू याला एका कासवाच्या पाठीवर दिसला अशी आख्यायिका आहे. चीनमधील यलो नदीला पूर आला होता व  व पुराचे पाणी समुद्राकडे वाहून नेण्यासाठी कसा कालवा काढता येईल याचा अभ्यास करण्यासाठी किंग फू  नदीच्या काठाने हिंडत असताना नदीच्या पाण्यातून एक मोठे कासव बाहेर आले. पूर जावा म्म्हणून लोक देवाची आराधना करून त्याला नैवेद्य अर्पण करीत होते त्या जागेभोवती फिरून कासव परत जाई. एका लहान मुलाला या कासवाच्या पाठीबर गोल ठिपक्यांची विचित्र मांडणी दिसली.

हे ठिपके 3x3 अशा कोष्टकामध्ये १ ते ९ या संचात अशा रितीने मांडलेले आढळले की त्या अंकांची उभ्या,आडव्या व तिरक्या रेषेत एकच बेरीज (१५) होत होती. हा एक दैवी संदेश समजून लोकांनी या बेरजेच्या प्रमाणात वैबेद्य दिला आणि आश्र्चर्य म्हणजे पूर ओसरला. राजाने या दैवी चौकोनाला 'लो-शु' असे त्याने नाव दिले व तेव्हापासून चीनमध्ये याचा प्रसार झला. आता या लोशु चा समावेश चीनच्या पंचांगात झाला आहे.

भारतामध्ये 3x3 कोष्टकाचा उपयोग फार पूर्वीपासून दैवी यंत्र म्हणून केला जात असे.आजही असे गणेश यंत्र देवपुजेत वापरले जाते.

चौतिसा यंत्र
असेच पण 4x4 रकाने असणारे कोष्टक खजुराहो येथील पार्श्र्वनाथ मंदिरात पहावयास मिळते.

 याच्या निर्मितीचा काळ  इ. स.१० व्या शतकातील आहे. या कोष्टकाचे नाव चौतिसा यंत्र असे आहे. याचे विशेष म्हणजे यात (१ + ११+१६+६ आणि २+१२+१५+५ ) असे चार समान अंकसंच आहेत.शिवाय बाहेरच्या दोन आडव्या व उभ्या ओळीतील अंकांची (२+१६+११+५ आणि १२+१+६+१५) बेरीज ३४ होते. या चौकोनात प्रत्येक  तिरक्या रेषेतील दुस-या अंकांची बेरीज १७ होते.

जादूच्या चौकोनांच्या रचनेमागील गणिताची सूत्रे - जादूच्या चौकोनातील संख्यांची कशी माडणी करायची याबाबत दिल्लीयील फेरू नावाच्या जैन साधूने इ.स.११०० मड्ये प्राकृत भाषेत सूत्रे मांडकी. त्यानंतर इ.स. १३६५ मध्ये नारायण पंडित याने असे कोणतेही चौकोन तयार करण्याविषयी विस्तृत गणित सूत्रे आपल्या 'गणितकौमुदी' या ४०० पानी ग्रंथात विषद केली.
या ग्रंथाची सर्व पाने आपल्याला संस्कृतदीपिका संदर्भ साहित्य  संस्कृत गणित साहित्य  नारायणपण्डितकृता गणितकौमुदी (प्रथमो भाग:) या ज्ञानदीपच्या वेबसाईटवर  पहावयास मिळतील.

महान गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन

 रामानुजम् यांची जन्मतारीख  २२,१२,१८८७ ही आहे. त्यांनी आपल्या जन्मतारखेवरून असे कोष्टक तयार केले होते. ते प्रसिद्ध आहे.

  युरोपमध्येही या जादूच्या चौकोनाबद्दल कुतुहल आणि प्राचीन चित्रे आडळतात.

जादूचा चौकोन- उपयोग

जादूच्या चौकोनाचा उपयोग भारतीय आणि पाश्र्चात्य संगितात चाल बसविण्यासाठी केला जाई. जपानमध्ये सुडोकु या नावाने प्रसिद्ध असलेल्या कोड्यांची रचनादेखील याच तत्वावर केलेली आढळते.

आता संगणक शास्त्रात या विषयावर संशोधन चालू आहे.

Different possibilities for 3x3 Magic Square

The magic constant or magic sum of a magic square is the sum of numbers in any row, column, or diagonal of the magic square.

1) Take any normal magic square from previous blog with number sequence as 1,2,3,4,5,6,7,8,9 
Here the Total of all numbers = (9)(9+1)/2 = 45.  

Magic Constant=15 

2) Now create magic square by adding 1 to each cell
Number sequence: 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Total= 54 

Magic Constant=18 

3) Create magic square by adding 4 to each cell
Number sequence: 5,6,7,8,9,10,11,12,13; Total= 81

Magic Constant=27 

4)Create magic square by taking sequence as follows
( Difference of 2 between consecutive numbers)
Number sequence: 1,3,5,7,9,11,13,15,17; Total= 71, 

Magic Constant=27 

5) Create magic square by taking sequence as follows
( Increase followed by decrease in difference between consecutive numbers)
Number sequence: 1,3,4,6,7,9,10,12,13; Total= 65, 
Here the differences are 2,1,2,1,2,1,2,1

Magic Constant=22 

Thus we can generate any number of 3x3 magic squares by changing starting number and using sequence with proper adjustment of differences.

Magic Square (3x3) Procedure

For creating 3x3 magic square of 1 to 9 numbers, first draw 5x5 cell grid and select central 3x3 cells for the final magic square. 
Now proceed to put the numbers from 1 to 9 in sequence using following steps. 

 Step-1 Put 1 in central top cell.

Step-2 From cell 1 go up and right one cell and put 2. As it is outside square copy it in the same column at bottom.

Step-3 From cell 2 go up and right one cell and write 3. 

As it is outside square copy it in the same row at start.

Step-4 From cell 3 go up and right one cell As it is already occupied put it below 3.

Step-5 From cell 4 go up and right one cell and put 5. 

Step-6 From cell 5 go up and right one cell and put 6.

Step-7 From cell 6 go up and right one cell and put 7.

As it is outside square put it below 6. 

Step-8 From cell 7 go up and right one cell and put 8. 

As it is outside square copy it in the same row at start.

Step-9  from cell 8 go up and right one cell and put 9. 

As it is outside square copy it in the same column at bottom.

This is Completed 3x3 Magic Square

You can create different 3x3 magic squares by  changing rows to columns and forming mirror images as follows

जुन्या संस्कृत ग्रंथात जादूच्या चौकोनांची सूत्रे

इ. स. १३५६ मध्ये पंडित नारायण यांनी लिहिलेल्या 'गणितकौमुदी' या संस्कृत ग्रंथात आकड्यांच्य़ा चौकोनांमध्ये उभ्या, आडव्या व तिरक्या दिशेतील  बेरीज एकसारखी येण्यासाठी  अंकांची कशी मांडणी करावी याचेी सूत्रे दिली आहेत.

यापैकी एक सूत्र व एक ते नऊ अंकांची १५ बेरीज येणारे विविध चौकोन.

सूत्रम् ।

इष्टं च प्रथमे कोष्ठे श्रेढ्यङ्कं प्रथमं न्यसेत् ।
तत्प्रत्याशा प्रान्त्यकोष्ठसमीपभवने तत:।।४३।।

अस्मादल्पश्रुतिगृहेष्वाङ्कनेकादिकान् न्यसेत् । (लिखेत्)
कर्णकोष्ठे पुर: साङ्के तत् स्यात् पादप्रपूरणम् ।।४४।।

तत्पृष्ठगान् पुनस्चैवं पादानां पूरणम क्रमात् ।
अथवैवं भवेत् तस्मिन् भेदा भद्रे च वैषमे ।।४५।।

उदाहरणम् ।
रूपादिरूपोत्तरितैर्यदङ्कैस्त्रिणद्रमाशु प्रवदार्यवर्य ।
प्राग्यानि यानि प्रमितानि भद्राण्यतुल्यानि व वेत्सि मितर ।।१२।।

यथोक्तकारणेन जातान्येकाद्येकोत्तरैरभद्राणि । फलम् १५

कृती- प्रथम संख्याक्रमातील पहिली संख्या (१) वरच्या मधल्या रकान्यात घालावी. नंतर त्यापुढची संख्या (२) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. नंतर पुढची संख्या (३) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. पुढची संख्या (४) जवळच्याच पण तिेरक्य़ा   दिशेतील रकान्यात घालावी जर रकाना भरलेला असेल तर ती पहिल्या संख्येच्या (३ च्या) खालच्या रकान्यात लिहावी. याचप्रमाणे पुढील सर्व रकाने भरावेत. खाली असा चौकोन दाखविला आहे.

वरील चौकोन ९० अंशातून वळविला की दुसरा असाच चौकोन तयार होईल. यातील ओळींची अदलाबदल करून अनेक चौकोन तयार करता येतील.
                                    पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल

                                 पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल

                                  पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल

                                 पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल

या संस्कृत ग्रंथाचे दोन भाग असून  एकूण पृष्ठसंख्या ५७५ आहे. यात अंकगणित, बीजगणित व भूमिती यांची आकृत्यांसह अनेक सूत्रे असून त्यांचा अभ्यास होण्याची गरज आहे. अधिक माहितीसाठी माझा याआधीचा इंग्रजीतील लेख पहावा.

ज्ञानदीपच्या संस्कृतदीपिका या वेबसाईटवर या ग्रंथातील सर्व पाने चित्रस्वरुपात उपलब्ध करून देण्यात येणार आहेत. संस्कृत व गणित यांचा अभ्यास करू इच्छिणा-या व्यक्तींनी याचा अवश्य लाभ घ्यावा. 

Sanskrit origin of Magic Squares and Number Grids

We see many magic square examples of numbers where sum of numbers in horizontal, vertical and diagonal directions in a grid of numbers is same.

I came across an old Sanskrit book  "Ganita Kaumudi" on mathematics written by Indian mathematician Narayana Pandit in 1356.


Besides many rules and derivations of arithmetic computations, continued fractions and geometric propositions involving polygons and circles and conical sections, it gives methods for constructing magic squares of different types.

I give below some scanned pages to show Sanskrit Sutras  of magic squares and  number grids not only in square shape but Circular and other patterns.

I have uploaded all pages of both  Part I and Part II of this book on our website www.sanskritdeepika.org for easy access to this valuable information for further study.

References
Ganita Kaumudi, Part-1, Nārāyana Pandita (Issue 57 of Princess of Wales Sarasvati Bhavana Granthamala,1936)
Ganita Kaumudi Part-2 (1942)