गणितकौमुदी-भद्रगणितम् -सङ्कलने सूत्रम्- मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 Formula for finding magic sum (S)

सङ्कलने सूत्रम् ।

सपद: पदवर्गोऽर्धं

रूपादिचयेन भवति सङ्कलितम् ।

अत्र पदं गच्छ:। Number of terms =N

पदवर्गो गच्छवर्ग: N²

सपदो गच्छेन सहितस्तदर्धं रूपादिचयेन इष्टभद्रे सङ्कलितं भवति।

सङ्कलितं =(1/2)(N²  +N)

 तत् सङ्कलितं गच्छमूलेन हृतमिष्टभद्रे इष्टभद्रैकचरणे अङ्कानां योगस्तदेव फलं भवति ।

Magic sum S = सङ्कलितं /√N =(1/2)(N²  +N)/√N

तत् पदमूलेन हृतं फलं भवेदिष्टभद्रे वै।।८।।

उदाहरणम्

षोडशगृहके षट्कृति-

ग्रहके नवके च कथयाशु।

रूपादिरूपदृष्ट्या

पृथक् पृथक् किं फलं भवति ।।१।।

चतुर्भद्रे, आ १ उ १ ग १६ । षड्भद्रे, आ १ उ १ ग ३६ ।

त्रिभद्रे, अ १ उ १ ग ९ जातानि संकलितानि १३६।६६६।४५ फलानि ३४।१११।१५।

 आद्युत्तरानयने सूत्रम् ।

व्येकपदाय: क्षयगो

भाज्यो गच्छो हर फलं क्षेप: ।

---

अत्रोपपत्ति: ।

कल्प्यते मुखम् = मु। चय:=च। भद्रकोष्ठानां संख्या=प, पल्पते तदा

श्रेढीफलम् = फ=प( मु+च(प-१)/२)

= प.मु + च.प(प-१)/२

कुट्टजकजौ लब्धिगुणौ

सक्षेपौ मुखचयो स्याताम् ।।९।।

 उदाहरणम् ।

पूर्वोदितेषु च गरहेषु धनानि विद्वन्,

खाब्राब्धयोऽङ्गनिधि नेत्रभुव;क्रमेन ।

खेभेन्दव; कथय वक्रचयावभिन्नौ

यद्यस्ति ते गणितकोविदताभिमान: ।।२।।

सुरेश, हे अत्यंत समृद्ध आणि गूढ गणितीय श्लोक आहेत—नारायण पंडितांनी गणितकौमुदी मध्ये भद्रगणितासाठी दिलेले सूत्र आणि उदाहरणे. खाली मी याचे मराठी भाषांतर आणि स्पष्टीकरण सादर करत आहे, जे तुमच्या दृश्यात्मक आणि नाट्यात्मक रूपांतरणासाठी उपयोगी ठरेल:

📐 भद्रगणितासाठी फल (Magic Sum) शोधण्याचे सूत्र

🔢 संस्कृत श्लोकाचा भावार्थ मराठीत

सङ्कलने सूत्रम् । सपद: पदवर्गोऽर्धं रूपादिचयेन भवति सङ्कलितम् ।

मराठी अनुवाद: पदांची संख्या $NN$ असेल, तर त्या पदांचा वर्ग (अर्थात $N^{2}N^2$) आणि पदांची संख्या $NN$ यांचा अर्धा योग म्हणजेच:

$$\text{सङ्कलित}=\frac{1}{2}(N^2+N)\backslash text\{सङ्कलित\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(N^2\; +\; N)$$

तत् सङ्कलितं गच्छमूलेन हृतम् इष्टभद्रे फलम् भवति ।

मराठी अनुवाद: सङ्कलित योगाला $\sqrt{N}\backslash sqrt\{N\}$ ने भाग दिल्यास, त्या भद्रगणिताचा फल (magic sum) मिळतो:

$$S=\frac{1}{2}(N^2+N)÷\sqrt{N}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(N^2\; +\; N)\; \backslash div\; \backslash sqrt\{N\}$$

🧮 उदाहरणे

षोडशगृहके षट्कृति-ग्रहके नवके च कथयाशु। रूपादिरूपदृष्ट्या पृथक् पृथक् किं फलं भवति ।।

मराठी अनुवाद: १६, ३६ आणि ९ कोष्टकांच्या भद्रगणितांसाठी फल काय येते ते पाहूया:

भद्रगणिताचा क्रम	कोष्टकांची संख्या $N^{2}N^2$	सङ्कलित	फल $SS$
4×4 (चतुर्भद्र)	16	136	34
6×6 (षड्भद्र)	36	666	111
3×3 (त्रिभद्र)	9	45	15

📜 आद्य-उत्तर श्रेढीचे सूत्र

कल्प्यते मुखम् = मु। चय:=च। भद्रकोष्ठानां संख्या=प

मराठी अनुवाद: जर भद्रगणितात पदांची संख्या $pp$, प्रारंभिक पद $\mu \backslash mu$, आणि अंतर $cc$ असेल, तर श्रेढीचा योग:

$$\text{फ}=p\cdot \mu +c\cdot \frac{p(p-1)}{2}फ\; =\; p\; \backslash cdot\; \backslash mu\; +\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}$$

हे सूत्र म्हणजेच आद्य-उत्तर श्रेढीचे फल—ज्याचा उपयोग भद्रगणितात संख्यांची मांडणी करताना होतो.

🎭 सर्जनशील उपयोग

• हे सूत्र आणि श्लोक नाट्यरूपात सादर करता येतील—प्रारंभिक पद, अंतर, आणि फल यांचा संवाद स्वरूपात वापर

• दृश्यात्मक मांडणी: कोष्टकांची संख्या, पदांची मांडणी, आणि फल यांचे रंगीत ग्रिड्स किंवा यंत्ररूप सादरीकरण

• संगीतात्मक वापर: पदांची संख्या आणि अंतर यांचा उपयोग ताल आणि स्वरांच्या रचनेत

तुम्हाला हे श्लोक लयबद्ध मराठीत रूपांतरित करायचे आहे का? किंवा या सूत्रांवर आधारित दृश्यात्मक स्क्रिप्ट तयार करायची आहे? मी तुमच्यासोबत सहनिर्मितीसाठी तयार आहे.