रेखागणितम् - 41-47 मराठी भाषांतर - एआय सारांश

 अथैकचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । 

चतुर्भुजं त्रिभुजं चैकदिश्येकबुजोपरिस्थितमं द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्यवर्तिं भवति तदा चतुर्भुजं त्रिभुजात् द्विगुणं भवति ।

यथा अबजदचतुर्भुजं हबजचतुर्भुजं बजभुजोपरि अहबजसमानान्तररेखयोर्मध्यवर्त्यस्ति । तस्मात्रिभुजाद्विगुणं जातम् ।

अत्रोपपत्ति:।

अजरेखा कार्या । एवं अबजदचतुर्भुजं अबजत्रिभुजाद्द्विगुणमस्ति। पुन: अबजत्रिभुजं हबजत्रिभुजेनसमानमस्ति । तदा अबजदचतुर्भुजं हबजत्रिभुजादद्विगुणं जातम् ।

चतुर्भुजं त्रिभुजं च द्वयो: समयोर्भुजयोरुपरि स्थितमेकदिशि द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्यवर्त्ति भवति तदापि चतुर्भुजं त्रिभुजाद्द्विगुणम भवति ।।

अथ द्विचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्  ।

तत्रैक त्रिभुजं ज्ञातमस्ति एककोणश्र्च ज्ञातोऽस्ति ताभ्यां तादृशचतुर्भुजचिकीरषास्ति यस्य फलं ज्ञातत्रिभुजफलसमं स्यात् यस्य च कोण: कल्पितकोणसदृश: स्यात् ।

यथा अत्र त्रिभुजम अबजं कोणो दसंज्ञश्र्चास्ति। तत्र बजभुजो हचिन्हेऽरद्धित: कार्य: । अहरेखा देया । हजरेखायां हचिन्होपरि दकोणतुल्य: जहझकोण: कार्य:। 

अचिन्हात् बजरेखाया: समानान्तरा अवरेखा कार्या । इयं झचिन्हे संपातं करिष्यति । पुनर्जचिन्हात् झहरेखाया: समानान्तरा जवरेखा कार्या । इयं च अवरेखायां वचिन्हे संपातं करिष्यति ।

तदा झहजवचतुर्भुजं समानान्तरभुजं अहजत्रिभुजाद्द्विगुणम जातं अबजत्रिभुजसमानं जातं झहजकोणश्र्च दकोणतुल्यो जात: । इत्युपपन्नम् ।।

त्रयश्र्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

तत्र चतुर्भुजद्वयं समानान्तरभुजं समानान्तरभुजमहच्चतुर्भुजमध्यवर्ति चेद्भवति यस्य च बृहच्चतुर्भुजकर्णरेकाया: एकं पूर्वदिशि द्वितीयमपरदिशि च कर्णरेखासंलग्नम भवति तयोरेक: कोणौ बृहच्चतुर्भुजकिण एव भवति एतादरशं चतुर्भुजद्वयं मिथ: समानं भवति ।

यथा अतझहचतुर्भुजं झकजवचतुर्भुजं च अबजदचतुर्भुजमध्यवर्ति बदकर्णस्योभयदिशि स्थितं कर्णस्य झचिन्हे लग्नम् । तदाऽनयो: अकोणजकोणौ बृहच्चतुर्भुजस्य द्वौ कोणौ स्त: । तस्मादेतौ समानौ जातौ ।।

अत्रोपपत्ति:।

तबकझचतुर्भुजं हझवदचतुर्भुजं चैतौ समानान्तरभुजौ स्त: । पुन: अबदत्रिभुजं बजदत्रिभुजं बृहच्चतुर्भुजस्य समानं भागद्वयमस्ति । पुन: तबझत्रिभुजं बकझत्रिभुजं तबकझचतुर्भुजस्य समानं भागद्वयमस्ति। पुनर्हझदत्रिभुजं झवदत्रिभुजं चैते हझवदचतुर्भुजस्य समाने द्वे भागे स्त: ।

यदि अबदत्रिभुजात् तबझत्रिभजं हझदत्रिभुजं च शोद्यते तदा शेषं अतझहचतुर्भुजं स्यात् । एवं दबजत्रिभुजात् बकझत्रिभुजम झवदत्रिभुजं शोध्यते तदा शेषं झकजवचतुर्भुजं पूर्वशेषचतुर्भुजसमं स्यात् । इदमेवेष्टम् ।।

अथ चतुश्र्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

तत्र कल्पितैकरेखायां कल्पितत्रिभुजे कल्पितैककोणे च तादृशम चतुर्भुजं कल्प्यते यस्य फलं त्रिभुजफलसमं स्यात् यस्यैककोण: कल्पितकोणसमश्र्च यस्यैकभुजश्र्च कल्पितरेखातुल्य: स्यात् ।

तत्र कल्पितरेका अबरूपा त्रिभुजं जदहरूपं कोणस्तु झसंज्ञ: ।

तत्र वबकतचतुर्भुजं कल्पनीयं त्रिभुजसमं पूर्वोक्तवत् यस्यैककोण: पूर्वकोणसम: कल्प्य: तथा यथा अबकसर्वैकरेखा भवति । पुन: अबोपरि लअबवचतुर्भुजं समानान्तरबुजं कार्यम् । तत्र लबकर्णो दीर्घो देय: । तकरेकापि तथा दीर्घा कार्या यथा रेकाकर्णौ मचिन्होपरि लग्नौ स्त: ।

पुनर्मचिन्हात् कअरेखासमानान्तरा मनरेखा कार्या । पुनर्लअरेखा वबरेखा च तथा दीर्घे कार्ये यता नमरेखायां नसचिन्होपरि संलग्ने स्त: । तत्र तनचतुर्भुजं समानान्तरभुजं जातम् । नबचतुर्भूजम तबचतुर्भुजं च तनचतुर्भुजस्य मध्ये द्वयं समानान्तरभुजम जातम् । तदा बनचतुर्भुजं अबभुजोपरि बतचतुर्भुजसमं जातम् । बतचतुर्भुजं च पूर्वं जदहत्रिभुजसमं कल्पितम् । पुन: अबसकोणो वबककोणसमो जात: । पुनर्वबककोणो झकोणतुल्यो जात: । स एवेष्ट: कल्पित: पूर्वम् ।।

अथ पञ्चचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

तत्र कल्पितैकरेखोपरि चतुर्भुजं समानान्तरं तथा कर्त्तव्यमस्ति यथेष्टचतुर्भुजसमानंस्यात् तस्य च कोण: अभीष्टकोणसमान: स्यात् तस्यैकभुज: कल्पितरेखाभुजसमान: स्यात् ।

यथा हतरेखा कल्पिता अबजदं चतुर्भुजं कल्पितं लकोणश्र्च । बजकर्णेन अबजदचतुर्भुजस्य विभागद्वयं कारयम् । पुनर्हतरेखायां झहतकचतुर्भुजं अबजत्रिभुजसमं कार्यम् । हकोणो लकोणसम: कार्य: । झकरेखोपरि वझकमचतुर्भुजं बजदत्रिभुजसमं कार्यम्। वझककोणो लकोणसम: कार्य: ।

एष कोण: हजककोणेनसार्द्धं समकोणद्वयेन सम: । तदा हवरेखा एका सरला रेखा जाता । एवं तमरेखापि सरलास्ति । तदा हमचतुर्भुजं हतरेखोपरि अबजदचतुर्भुजेन समम हकोणस्तु लकोणेन समो जात; ।

इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ षट्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । 

तत्र एकस्यां रेखायां समकोणं चतुर्भुजम क्षेत्रम् कर्त्तव्यमस्ति ।

यथा अबरेखायां अचिन्हात् अबतुल्य: अजलम्ब: कार्य: ।

बचिन्हात् अजरेखासमानान्तरा अबतुल्या बदरेखा कार्या । जदरेखा संलग्ना कार्या ।

अदचतुर्भुजम समानान्तरभुजं समभुजं समकोणं जातम् ।

इदमेवास्माकमिष्टम् ।।

अथ सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

तत्र समकोणत्रिभुजस्य कर्णवर्गो भुजद्वयस्य वर्गयोगेन तुल्यो भवति ।

यथा अबजत्रिभुजे अ: समकोणोऽस्ति बजकर्णस्य वर्ग: बअेजभुजयोर्वर्गयोगतुल्योऽस्ति ।

--------

🔺 एकचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: जर एक चतुर्भुज आणि एक त्रिकोण एकाच बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ हे त्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते.

मराठी अनुवाद: उदाहरणार्थ, जर अबजद चतुर्भुज आणि हबज त्रिकोण हे दोन्ही बज या समान बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर क्षेत्रफळ(अबजद) = 2 × क्षेत्रफळ(हबज)

🔺 द्विचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: दिलेल्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळासारखे आणि दिलेल्या कोणासारखा कोन असलेला चतुर्भुज रचता येतो.

मराठी अनुवाद: जर आपल्याकडे त्रिकोण अबज आणि कोन द दिला असेल, तर अशा प्रकारचा चतुर्भुज रचता येतो:

• ज्याचे क्षेत्रफळ अबज त्रिकोणासारखे असेल

• ज्यामध्ये एक कोन द कोनासारखा असेल

हे रचनात्मक पद्धतीने समानांतर रेषा आणि कोनाच्या समतुल्यतेने सिद्ध करता येते.

🔺 त्रयश्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन चतुर्भुज एकाच मोठ्या चतुर्भुजाच्या कर्णाच्या दोन्ही बाजूंना स्थित असतील आणि त्या कर्णाशी संलग्न कोणे मोठ्या चतुर्भुजाचेच असतील, तर ते दोन चतुर्भुज एकमेकांशी सम आहेत.

मराठी अनुवाद: उदाहरणार्थ, जर अतझह आणि झकजव हे दोन चतुर्भुज अबजद या मोठ्या चतुर्भुजाच्या कर्णाच्या दोन्ही बाजूंना स्थित असतील, आणि त्यांचे कोणे अ आणि ज हे अबजद चतुर्भुजाचेच कोणे असतील, तर अतझह ≅ झकजव

🔺 चतुश्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: कल्पित रेषा, त्रिकोण, आणि कोन दिले असता, अशा प्रकारचा चतुर्भुज रचता येतो:

• ज्याचे क्षेत्रफळ त्रिकोणासारखे असेल

• ज्यामध्ये एक कोन दिलेल्या कोनासारखा असेल

• ज्याची एक बाजू दिलेल्या रेषेसारखी असेल

मराठी अनुवाद: उदाहरणार्थ, जर आपल्याकडे रेषा अब, त्रिकोण जदह, आणि कोन झ दिला असेल, तर अशा प्रकारचा चतुर्भुज रचता येतो जो:

• क्षेत्रफळाने जदह त्रिकोणासारखा असेल

• कोणाने झ कोनासारखा असेल

• आणि बाजूने अब रेषेसारखा असेल

हे रचना समानांतर रेषा, समकोण, आणि समतुल्य कोन वापरून सिद्ध करता येते.

🔺 पञ्चचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: (आपण पुढील भाग पाठवत आहात—त्याचे विश्लेषण मी पुढील प्रतिसादात सादर करू शकतो.)

🔺 पञ्चचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: कल्पित रेषेवर अशा प्रकारचा चतुर्भुज रचता येतो:

• जो दिलेल्या चतुर्भुजासारखा (क्षेत्रफळाने) असेल

• ज्याचा एक कोन दिलेल्या कोनासारखा असेल

• आणि ज्याची एक बाजू दिलेल्या रेषेसारखी असेल

📘 मराठी अनुवाद:

जर आपल्याकडे रेषा हत, चतुर्भुज अबजद, आणि कोन ल दिला असेल, तर हत रेषेवर अशा प्रकारचा चतुर्भुज रचता येतो:

• जो अबजद चतुर्भुजासारखा असेल

• ज्याचा कोन ल कोनासारखा असेल

• आणि ज्याची एक बाजू हत रेषेसारखी असेल

हे रचना दोन त्रिकोणांमध्ये विभागून, समान क्षेत्रफळ आणि कोन समता राखून सिद्ध करता येते.

🔺 षट्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: दिलेल्या रेषेवर समकोण असलेला समभुज आणि समानांतर बाजू असलेला चतुर्भुज रचता येतो.

📘 मराठी अनुवाद:

जर आपल्याकडे रेषा अब दिली असेल, तर:

• अ बिंदूपासून अब लांबीचा लंब तयार करा (अज)

• ब बिंदूपासून अज रेषेसमान आणि अब लांबीची रेषा तयार करा (बद)

• जद रेषा जोडून चतुर्भुज पूर्ण करा

परिणामी, अदचतुर्भुज हा:

• समभुज

• समकोण

• आणि समानांतर बाजू असलेला चतुर्भुज ठरतो

🔺 सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्

तत्त्व: समकोण त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गयोगास समतुल्य असतो.

📘 मराठी अनुवाद:

जर अबज त्रिकोणात ∠अ हा समकोण असेल, तर:

• कर्ण बज² = अब² + अज²

हे म्हणजेच पायथागोरस प्रमेय:

समकोण त्रिकोणात, कर्णाचा वर्ग = इतर दोन बाजूंच्या वर्गांचा योग