लीलावतीतील अनियताङ्कभेदसूत्र- ए आय विश्लेषण

 अनियताङ्कैरतुल्यैश्र्च विभेदे करणसूत्रं वृत्तार्धम् ।

स्थानान्तमेकापचितान्तमाङ्कघातोऽसमाङ्कैश्र्च मितिप्रभेदा: ।

उपपत्ति:।

अत्रान्तमाङ्को नवैव ग्राह्योऽङ्कानां नवमितत्वात् । अथ संख्यायां यद्येकं स्थानं भवेत्तदा नवभिरङ्कैर्नवभेदा भवन्ति तत्राङ्कस्यानियतत्वात्। यदि संख्यायां स्थानद्वयं तदा पूर्वकथितैकस्थानभेदेषु प्रत्येकेषु निजातिरिक्ताङ्कस्तापनेनैकोनान्तिमाङ्कतुल्या भेदास्तथा स्थानत्रयात्मकसंख्यायाम स्थानद्वयाङ्कभेदेषु प्रत्येकेषु निजाङ्कद्वयातिरिक्ताङ्कस्थापनेन द्व्यूनान्तिमाङ्कसमाभेदा भवन्ति । ततोऽनुपातेन - स्थानद्वयसंख्या भेदा: = (अन्तिम अङ्क -१)xसर्वभेद/१भेद । एवं स्थानत्रयसंख्याभेदा भवन्ति, यथा - स्य़ानद्वयभेदेष्येकभेदेन यदि द्व्यूनान्तिमाङ्कसमभेदास्तदा सर्वेषु स्थानद्वयभेदेषु किमिति जाता भेदा: -

स्थानत्रयसंख्याभेद = स्थानद्वयभेद x(अन्तिमाङ्क -२)/१

=(अन्तिमाङ्क -१)xसर्वभेदx(अन्तिमाङ्क -२)/१

अत्र सर्वभेद=अन्तिमाङ्क, अत: (अन्तिमाङ्क -१)xअन्तिमाङ्कx(अन्तिमाङ्क -२)

एवमग्रेऽपि शेषमत उपपन्नं सर्वम् ।

 मराठी अर्थ -

संख्येतील कोणत्याही एका स्थानावर सर्वात मोठा अंक हा ९  असू शकतो. त्यामुळे जर एक अंकी संख्या असेल तर एकूण संख्याभेद ९ असतील. जर दोन अंकी संख्या असेल तर पूर्वी सिद्ध केल्याप्रमाणे एकूण संख्याभेद =एक अंकी  संख्येचा संख्याभेद गुणिले (अन्तिम अङ्क -१) म्हणजे ९ गुणिले ८ असेल. तीन अंकी संख्येचे संख्याभेद = दोनअंकी संख्येचे संख्याभेद गुणिले (अन्तिम अङ्क -१) अशाप्रकारे दिलेल्या संख्येत वेगवेगळे अंक असतील तर शेवटच्या सर्वात मोठ्या अंकापासून (९) सुरुवात करून एक एक कमी करत संख्येतील अंकांच्या संख्येएवढे अंक लिहून त्यांचा गुणाकार केला की तया संख्येचे सर्व भेद काढता येतात.

---

सुरेश, आपण प्रस्तुत केलेले सूत्र आणि त्याची उपपत्ती ही लीलावतीतील अनियताङ्कभेदसूत्र (permutations with distinct digits) चे अत्यंत सुसंगत आणि तर्कशुद्ध विवेचन आहे. हे सूत्र त्या संख्यांच्या भेदसंख्येची गणना करते ज्या संख्यांमध्ये सर्व अंक वेगवेगळे असतात आणि कोणताही अंक पुनरावृत्त होत नाही.

चला आपण याचे गणितीय सारांश, सूत्ररचना आणि उदाहरणासह स्पष्ट करू:

📘 सूत्र:

स्थानान्तमेकापचितान्तमाङ्कघातोऽसमाङ्कैश्र्च मितिप्रभेदा:

जर संख्येत सर्व अंक वेगवेगळे असतील आणि कोणताही अंक पुन्हा वापरला जात नसेल, तर त्या संख्येची भेदसंख्या (permutations) खालीलप्रमाणे मिळते:

$$\text{भेदसंख्या}=(9)\times (9-1)\times (9-2)\times \cdots \times (9-n+1)\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; (9)\; \times \; (9\; -\; 1)\; \times \; (9\; -\; 2)\; \times \; \backslash dots\; \times \; (9\; -\; n\; +\; 1)$$

जिथे:

• $nn$ = संख्येतील स्थानांची संख्या (अंकी संख्या)

• 9 = एकूण उपलब्ध अंक (0 ते 9 पैकी, पण पहिल्या स्थानासाठी 0 वापरता येत नाही)

🧮 उदाहरणे:

🔹 एक अंकी संख्या:

• उपलब्ध अंक: 1 ते 9 → एकूण 9

• भेदसंख्या = 9

🔹 दोन अंकी संख्या:

• पहिल्या स्थानासाठी 1–9 → 9 पर्याय

• दुसऱ्या स्थानासाठी उर्वरित 8 अंक → 8 पर्याय

• भेदसंख्या = 9 × 8 = 72

🔹 तीन अंकी संख्या:

• पहिल्या स्थानासाठी 1–9 → 9

• दुसऱ्या स्थानासाठी उर्वरित 8

• तिसऱ्या स्थानासाठी उर्वरित 7

• भेदसंख्या = 9 × 8 × 7 = 504

🔹 चार अंकी संख्या:

$$9\times 8\times 7\times 6=30249\; \times \; 8\; \times \; 7\; \times \; 6\; =\; 3024$$

🧠 उपपत्तीचा भावार्थ:

आपण संस्कृत उपपत्तीमध्ये दाखवलेले अनुपात हे permutations चे घटक आहेत:

• प्रत्येक नवीन स्थानासाठी एक अंक कमी होतो

• त्यामुळे भेदसंख्या ही घटत्या क्रमातील गुणाकाराने मिळते

✨ मराठी सारांश:

जर एखाद्या संख्येत सर्व अंक वेगवेगळे असतील, तर त्या संख्येची भिन्न रूपे (भेदसंख्या) काढण्यासाठी ९ पासून सुरुवात करून, प्रत्येक पुढील स्थानासाठी एक एक कमी करत त्या संख्येतील स्थानसंख्येएवढे अंक घेऊन त्यांचा गुणाकार करावा.

उदा. ५ अंकी संख्येसाठी:

$$9\times 8\times 7\times 6\times 5=15120$$

$$\mathrm{<br>}$$