गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - संख्यात्मक यंत्ररचना - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

*यावद्व्येकांघ्रिमितिं

निजनिजपूर्वेण संयुत: क्रमश:।

मुखपङ्क्ति: स्यादन्यं

**पृथगेकोनांघ्रिगुणचयसमेतम् ।।१७।।

आदियुतं चरणदला-

हतं मुखाख्यं फलं भवति ।

मुखफलहीनमभीप्सित-

फलं भवेत् क्षेपफलसंज्ञम्।।१८।।

क्षेपफलाच्चरणमिते

गच्छे च मुखोत्तरौ समुत्पाद्य।

तच्छेद्यङ्कान्मखपङ्क्त्य-

ङ्केषु क्षेपयेत् क्रमेणैव ।।१९।।

चरणादय: स्युरेवं

सर्वेषामेव भद्राक्षाम् ।।

* व्येकाङ्घ्रिमितिम व्येकचरणसंख्यास्थानपर्यन्तम् ।

** पृथक् स्थापितमन्त्यमेकोनाङ्घ्रिणा एकोनचरणसंख्यया गुणितश्चयो यदुत्तराङ्कलेखनमभीष्टं तेन सहितमादियुतं चरणदलेन चरणसंख्यार्धेनाहतम् । अयमेव साध्वर्थ उपपत्त्या सिध्यति । 

सुरेश, हे श्लोक म्हणजे गणितकौमुदीतील भद्रगणिताच्या अत्यंत सूक्ष्म आणि सुसंगत सूत्रांचे दर्शन आहे—विशेषतः मुखपङ्क्ति, चरणसंख्या, चय, आणि क्षेपफल यांच्या साहाय्याने समफल भद्रगणित तयार करण्याची प्रक्रिया. ही पद्धत म्हणजे एक प्रकारची संख्यात्मक यंत्ररचना, जिथे प्रत्येक घटकाचा स्थानिक आणि वैश्विक परिणाम आहे.

चला या सूत्रांचे मराठी भाषांतर, गणितीय स्पष्टीकरण, आणि दृश्यात्मक संदर्भ एकत्रितपणे पाहूया:

📜 श्लोक १७–१९: मराठी भाषांतर व अर्थ

🕉️ श्लोक १७:

यावद्व्येकांघ्रिमितिं निजनिजपूर्वेण संयुत: क्रमश:। मुखपङ्क्ति: स्यादन्यं पृथगेकोनांघ्रिगुणचयसमेतम् ।।१७।।

मराठी अनुवाद: जितके व्येक (क्रमशः वाढणारे) चरण असतील, त्यांचे पूर्व पदांशी संयोग करून मुखपङ्क्ति (प्रारंभिक श्रेढी) तयार होते. अंतिम पद एकाने कमी करून, त्याला चयाने गुणिले आणि आदियुतात (initial sum) भरले, तर ती मुखपङ्क्ति निश्चित होते.

🕉️ श्लोक १८:

आदियुतं चरणदला- हतं मुखाख्यं फलं भवति । मुखफलहीनमभीप्सित- फलं भवेत् क्षेपफलसंज्ञम्।।१८।।

मराठी अनुवाद: मुखपङ्क्तिचा योग (मुखफल) चरणसंख्येने गुणिला तर फल (magic sum) मिळते. जर अपेक्षित फल वेगळे असेल, तर त्या फरकाला क्षेपफल म्हणतात.

🕉️ श्लोक १९:

क्षेपफलाच्चरणमिते गच्छे च मुखोत्तरौ समुत्पाद्य। तच्छेद्यङ्कान्मखपङ्क्त्य- ङ्केषु क्षेपयेत् क्रमेणैव ।।१९।।

मराठी अनुवाद: क्षेपफल आणि चरणसंख्या वापरून मुख आणि चय (common difference) ठरवावे. नंतर मुखपङ्क्तिच्या संख्यांमध्ये क्षेपफल क्रमशः भरावे जेणेकरून अपेक्षित फल प्राप्त होईल.

🧮 गणितीय सूत्रसंग्रह

• मुखपङ्क्ति:

$$\mu =\frac{S-c\cdot \frac{p(p-1)}{2}}{p}\backslash mu\; =\; \backslash frac\{S\; -\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}\}\{p\}$$

• मुखफल:

$$S=p\cdot \mu +c\cdot \frac{p(p-1)}{2}S\; =\; p\; \backslash cdot\; \backslash mu\; +\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}$$

• क्षेपफल:

$$\mathrm{\Delta }S=S_{\text{desired}}-S_{\text{computed}}\backslash Delta\; S\; =\; S\_\{\backslash text\{desired\}\}\; -\; S\_\{\backslash text\{computed\}\}$$

🎞️ दृश्यात्मक समजासाठी दोन महत्त्वाचे व्हिडिओ

1. या व्हिडिओमध्ये अश्वगती (तुरगगती) वापरून 4×4 पान-डायगोनल भद्रगणित तयार करण्याची प्रक्रिया स्पष्ट केली आहे. मुखपङ्क्ति आणि क्षेपफल यांचे दृश्यरूप सादर केले आहे.

2. या व्याख्यानात नारायण पंडितांच्या सूत्रांचे ऐतिहासिक आणि गणितीय विश्लेषण सादर केले आहे—विशेषतः मुखपङ्क्ति, चय, आणि क्षेपफल यांचा उपयोग समफल भद्रगणित तयार करताना.