गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - मुखपंक्ती, क्षेपफल - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 मुखपङ्क्ते: पूर्वदलपरदलयो:क्षेपौ शून्यं प्रथमदलस्थानद्वये प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: १।५।१२।१६ अथवैतौ प्राग्वत् प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: २।६।११।१५

द्वितीयोदाहरणे फलम् ६४ मुखपङ्क्ति: सैव १।५।९।१३ क्षेपफलम् ३० अत्र गच्छ: ८ शून्यादिक्षेपफलादि ०।१५ स्वमृणमेकोत्तरेण न्यस्ते जातम् ०।१५, १।१४,२।१३,३।१२,४।११,५।१०,६।९,७।८ प्राग्वन्मुखपङ्क्तौ प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: ।

एवमनेकधा । सर्वाणि भद्राणि चतुर्भद्रात् सिद्ध्यन्ति ।

।१।५।२४।२८।

।२।६।२३।२७।

।३।७।२२।२६।

।४।८।२१।२५।

।५।९।२०।२४।

।६।१०।१९।२३।

।७।११।१८।२२।

।८।१२।१७।२१।

 तत: ( मु+१) + (मु'-१)=मु+मु'

=(मु+२) + ( मु'-२)

=(मु+३) +(मु'-३)

=...

गच्छस्थानमित:, इति सर्वमुपपद्यते ।

गच्छमानं तु (क्षे/२)(फ/ज) अत्र निरग्रलब्धेन सैकेन सममिति सफुट

When the order of the magic square is divided by 4, if the remainder r = 0, then it is samagarbha; if r = 2, then it is visamagarbha; and if r = 3 or 1, then it is visama.

( Ganitakaumudı 14.2)

६ - ३६१, ७ -३६२,८-३६३,९-३६४,१० -३६५- ३६६,११-३६७,१२-३६८,१३-३६९,१४- ३७०,१५-३७१,१६-३७२,17-373,18-374,19-375,20-376,21-377,22-378,  २३-३७९

२४-३८०,२५-३८१,२६-३८२

🗣️ मराठी भाषांतर व विश्लेषण

🔹 मुखपंक्ती आणि क्षेप

“मुखपंक्तीतील पूर्व व पर दलांमध्ये क्षेप शून्य असेल, आणि प्रथम दोन स्थानांमध्ये ती पंक्ती प्रक्षिपली गेली, तर चरणसंख्या होते: १, ५, १२, १६ किंवा पूर्ववतच प्रक्षिपण केल्यास: २, ६, ११, १५”

🔍 इथे ‘मुखपंक्ती’ म्हणजे एक मूलभूत संख्यात्मक रचना—जसे १, ५, ९, १३—ज्याच्या विशिष्ट स्थानांवर प्रक्षेपण (insertion) करून चरणसंख्या तयार होते.

🔹 द्वितीय उदाहरण

“फल = ६४ मुखपंक्ती: १, ५, ९, १३ क्षेपफल = ३० गच्छ = ८ शून्यादिक्षेपफलादि = ०, १५ स्वमृणमेकोत्तराने रचना: ०।१५, १।१४, २।१३, ३।१२, ४।११, ५।१०, ६।९, ७।८ हीच मुखपंक्ती वापरून प्रक्षिपण केल्यास चरणसंख्या तयार होते.”

🔍 ‘गच्छ’ म्हणजे संख्यांमधील अंतर किंवा टप्पा. इथे ऋणैकोत्तर व धनैकोत्तर जोडून एक समतोल रचना तयार होते.

🔹 भद्र रचना आणि चतुर्भद्र सिद्धी

“अनेक प्रकारे हे रचनात्मक प्रक्षेपण करता येते. सर्व रचना ‘भद्र’ आहेत—अर्थात शुभ, समतोल. आणि त्या चतुर्भद्रातून सिद्ध होतात.”

उदाहरणार्थ:

भद्र रचना
१।५।२४।२८
२।६।२३।२७
३।७।२२।२६
४।८।२१।२५
५।९।२०।२४
६।१०।१९।२३
७।११।१८।२२
८।१२।१७।२१

🔍 या सर्व रचना एक विशिष्ट गच्छमान आणि क्षेपफलाच्या आधारावर समतोलपणे तयार झाल्या आहेत.

🔹 गच्छमानाचे सूत्र

“तद्नंतर: (मु + १) + (मु′ − १) = मु + मु′ (मु + २) + (मु′ − २) = मु + मु′ (मु + ३) + (मु′ − ३) = मु + मु′ ... गच्छस्थानमितीने हे सर्व उपपन्न होते.”

🔍 हे दाखवते की प्रत्येक जोडलेली जोडी एकच योग देते—मु + मु′—जे क्षेपफलाच्या विश्लेषणातून सिद्ध होते.

🔹 गच्छमानाचे अंतिम सूत्र

“गच्छमान = (क्षेप / २) × (फल / चरणसंख्या) आणि जर निरग्रह (शेषशून्य) प्राप्त झाला, तर ते सैकेन समम (पूर्ण समतोल) ठरते.”

When the order of the magic square is divided by 4, if the remainder r = 0, then it is samagarbha; if r = 2, then it is visamagarbha; and if r = 3 or 1, then it is visama.

( Ganitakaumudı 14.2)

६ - ३६१, ७ -३६२,८-३६३,९-३६४,१० -३६५- ३६६,११-३६७,१२-३६८,१३-३६९,१४- ३७०,१५-३७१,१६-३७२,17-373,18-374,19-375,20-376,21-377,22-378,  २३-३७९

२४-३८०,२५-३८१,२६-३८२