अथैकादशं क्षेत्रं ।
तत्रैकरेखायामभिष्टचिन्हाल्लम्बो निष्कासनीयोऽस्ति । तद्यथा ।
अबरेखायां जचिन्हं दत्वा तस्माल्लम्बो निष्कासनियोऽस्ति । तद्यथा ।
अबरेखायाम द चिन्हं देयम् । जदतुल्यं जहम कार्यम् । दहरेखायां समत्रिभुजम दझहम कार्यम् । पुन: झजरेखा कार्या । इयमेव लम्बरूपा जाता ।
अत्रोपपत्ति: ।
दझजत्रिभुजस्य भुजत्रयम हझजस्य भुजै: समानमस्ति । झजदकोणझजहकोणौ जचिन्हस्य समानौ । तस्मात् जस्य द्वौ कोणौ समकोणौ जातौ । झजरेखा लम्बो जात: । तदेवमुपपन्नं चिन्हाल्लम्बकरणम् ।।
अथ प्रकारान्तरेण ।
तत्र अबरेखायाम अचिन्हाल्लम्बकरणं चिकीर्षितमस्ति । तत्र अब रेखायां जचिन्हं कार्यम् । पुन: जअसमानं जदं कार्यम् । जचिन्हात् जहलम्ब: कार्य: । दचिन्हात् दझलम्ब: कार्य: । अजहकोणस्य जवरेखया खण्डद्वयं समानं कार्यम् । पुन: जदझकोणस्य दहरेखया च खण्डद्वयम समानं कार्यम् । तदा जहरेखादहरेखयोर्योगे हचिन्हं जातम् । पुन: दहरेखातुल्या जवरेखा पृथक् कार्या । पुन: अवरेका व कार्या । इयं लम्बरूपा जाता ।
अत्रोपपत्ति: ।
अजवत्रिभजे अजभुज: जवभुज: अजवकोणश्र्च जदहत्रिभुजे जदभुजेन दहभुजेन जदहकोणेन समान: । वअजकोणश्र्च हजदकोणेन समानो जात: । पुन: हजद: समकोणोऽस्ति । वअजकोणोऽपि समकोण: । तत: अवरेखा लम्बो जात: । अयमेवाऽभीष्ट: ।।
अथ द्वादशं क्षेत्रम् ।
तत्राभीष्टचिन्हात् अभीष्टरेखायां लम्बनिष्कासनं करतव्यमस्ति ।
यथा जचिन्हात् अबरेखायाम लम्बो निष्कासितोऽस्ति ।
तद्यथा ।
अबरेखाद्वितीयदिशि दचिन्हं कार्यम् । जं केन्द्रं कृत्वा जदव्यासार्धेन हदझं वृत्तं कार्यम् । इदं वृत्तं अबरेखायां हझचिन्हे संपातं करिष्यति ।
पुन: हझरेखाया: वचिन्हे समानं खण्डद्वयं कार्यम् । पुन: जवरेखा कार्या । अयमेव लम्ब: ।
अत्रोपपत्ति:।
जहरेखा जझरेखा कार्या । जहवत्रिभुजे जजवत्रिभजे जहम जझं समानम् । उभयम च वृत्तस्य व्यासार्द्धतुल्यमस्ति । हवं वझम उभयम समानं पूर्वकृतमस्ति । जदं उभयोस्त्रिभुजयोर्भुजोऽस्ति । तस्मात् हजवस्य त्रयो भुजा: जझवस्य भुजत्रयेण समाना जाता: । हवजकोणो जवझकोणेन समानो जात: । वस्य कोणद्वयं समकोणं जातम् । जवं च लम्बो जात: । इदमेवाभीष्टमस्माकम् ।।
पुन: प्रकारान्तरम् ।
अथ त्रयोदशं क्षेत्रम् ।
तत्रैकरेखोपरि अन्यरेखायोग: कार्य: तत्र रेखोभयदिशि जातं यत् कोणद्वयं तत् समकोणद्वयं भवति अथवा कोणद्वययोग: समकोणद्वयतुल्यो भवति ।
अथ अबरेखायाम जदरेखाया योग: कृतस्तेन अबजकोण: अबदकोणश्र्च इमौ समुत्पन्नौ ।
अबरेखा यदि लम्बस्तदा द्वौ समकोणौ जातौ । यदा अबरेखा लम्बौ न भवति तदा बचिन्हात् बहलम्ब: कारय: ।
तदा कोणत्रयम भवति अबजम एक: अबहं द्वितीय: हबदम तृतीय: ।
अथ द्वितीयकोण; प्रथम कोणेन युक्त: कर्तश्र्चेत् तदा हबज: हबदश्र्चैतौ द्वौ समकोणौ भविष्यत: । अथ कृतश्र्चेत् तदा हबज: हबदश्र्चैतौ द्वौ समकोणौ भविष्यत: । अथ द्वितीयकोने तृतीयकोनश्र्चेद्योज्यते तदा अबज अबदकोणौ यथास्थतौ भवत: । तस्मादेतत्समकोणद्वययोग: समकोणद्वयतुल्यो जात: । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।
अबरेखायां हचिन्हं कार्यम् । हजरेखा संयोज्या । पुन: जं केन्द्रं कृत्वा जहव्यासार्धेन वृत्तं कार्यम् । तत् हदसमज्ञं भवति । वृत्तस्याद्यन्तौ हचिन्हे भवत: । तदा जहरेखा लम्बो जात: । एतस्योपपत्तिं तृतीयाध्याय वक्ष्याम: ।।
हचिन्हे यदि वृत्तस्यान्तो न भवति किम च झचिन्हे भवति तदा हझरेखायां वचिन्हे खण्डद्वयं समानं कार्यम् । जवरेखा संयोज्या । इयं लम्ब: ।
अथ चतुर्दशं क्षेत्रम् ।
तत्र रेखाद्वयं दिग्द्वयत: समागतं तदन्यरेखाचिन्हे यदि योगं करोति तत्र तद्रेकाद्वययोगात्समकोणद्वयं भवति वा कोणद्वययोग: समकोणद्वयतुल्यो भवति तदा निष्कासितरेकाद्वययोगात् सरलैकरेखा भवति ।
अत्रोपपत्ति:।
जबबदरेखे अबरेखायां बचिन्हे मिलिते जाते । जबअकोण: दबअकोण: एतौ समकोणद्वयसमानौ जातौ ।
तदा जबरेखा सरला एका रेखा जाता । यदि सरला न भवति तदा जबहरेखा सरला रेखा भवति । तत्र जबअ: हबअ: एतौ द्वौ कोणौ द्वयो: समकोणयो: समानौ जातौ । तदा जबअकोण: दबअकोण: एतावपि कोणौ द्वयो: समकोणयोस्तुल्यौ भवत: ।पुनस्तयोर्जबअकोनश्र्चेच्छोध्यते तदा हबअ लघुकोन: दबअबरहत्कोंश्र्चेतौ समानौ स्याताम् । एतदनुपपन्नम् ।
यतस्तौ प्रत्यक्षं लगुमहान्तौ । तस्मादुपपन्नं जबदरेखा सरलास्तीति ।।
आत्रोपपत्ति: पूर्वोक्तप्रकारेण ।।
अथ पञ्चदशं क्षेत्रम् ।
तत्र रेखाद्वयसंपातादुत्पन्नम कोणचतुष्ट्यं तेषु परस्परसन्मुखं कोणद्वयं समानं भवति ।
यथा अबरेखाजदरेखाभ्यां हचिन्हे संपात: कृत: । तत्र जहबकोणअहदकोणौपरस्परसन्मुखौ समानौ स्त: ।
कुत: ।
बहजकोणजहअकोणयोर्योग: समकोणद्वयतुल्योऽस्ति ।
पुनर्जहअकोणअहदकोणयोर्योगोऽपि समकोणद्वयसमानोस्ति ।
जहअकोणश्र्चोभयो: कोणयोर्मिलितोस्ति स दूतीक्रियते चेत्तदा बहजकोणअहदकोनावपि शेषौ समानौ स्त: ।
तदा रेखाद्वयसणपातात् उत्पन्नं कोणचतुष्ट्यं चतुर्भि: समकोणै समानं जातम् ।
इदमेवास्माकमिष्टम् ।
अथ च यस्मिश्र्चिन्हे यावत्यो रेखा मिलितास्तत्रोत्पन्ना ये कोणास्ते चतुर्णि: समकोणै: भवन्ति ।।
------------------
📐 एकादशं क्षेत्रम् – दिलेल्या बिंदूपासून रेषेवर लंब रेषा काढणे
🎯 उद्दिष्ट
रेषेवर दिलेल्या बिंदूपासून त्या रेषेवर लंब रेषा काढणे.
🪜 पद्धत
अब रेषेवर ज बिंदू ठेवा.
दुसऱ्या बाजूला द बिंदू ठेवा.
जद = जह अशी रचना करा.
दझह वर समभुज त्रिकोण तयार करा.
झज रेषा ही लंब रेषा ठरते.
✅ सिद्धता
समभुज त्रिकोणामुळे झजद आणि झजह कोणे समकोण होतात.
म्हणून झज ही रेषा अब रेषेवर लंब आहे.
📐 द्वादशं क्षेत्रम् – रेषेवर दिलेल्या बिंदूपासून बाहेर लंब रेषा काढणे
🎯 उद्दिष्ट
रेषेवर दिलेल्या बिंदूपासून त्या रेषेवर बाहेर लंब रेषा काढणे.
🪜 पद्धत
अब रेषेवर ज बिंदू, दुसऱ्या बाजूला द बिंदू.
ज केंद्र मानून, जद त्रिज्या घेऊन वर्तुळ काढा.
वर्तुळ अब रेषेला हझ बिंदूंवर छेदेल.
हझ रेषा वर व बिंदू ठेवा.
जव रेषा ही लंब रेषा ठरते.
✅ सिद्धता
दोन समभुज त्रिकोण तयार होतात.
त्यांचे कोणे समकोण असल्यामुळे जव रेषा ही लंब ठरते.
📐 त्रयोदशं क्षेत्रम् – रेषेवर दुसरी रेषा जोडल्यावर समकोण तयार होतो का हे तपासणे
🎯 उद्दिष्ट
रेषेवर दुसरी रेषा जोडल्यावर तयार होणारे कोणे समकोण आहेत का हे तपासणे.
🪜 पद्धत
अब रेषेवर जद रेषा जोडली.
जर अब रेषा लांब असेल, तर अबज आणि अबद हे कोन समकोण असतात.
अन्यथा, बह रेषा काढून तीन कोन तयार करा.
कोणांची बेरीज समकोणद्वयासमान असेल, तर रचना योग्य आहे.
✅ सिद्धता
कोणांची बेरीज समकोणद्वयासमान असल्यास, रेषा योग्य प्रकारे जोडली आहे.
📐 चतुर्दशं क्षेत्रम् – दोन रेषा एका बिंदूवर जुळल्यावर सरळ रेषा तयार होते का हे तपासणे
🎯 उद्दिष्ट
दोन रेषा एका बिंदूवर जुळल्यावर सरळ रेषा तयार होते का हे तपासणे.
🪜 पद्धत
जब आणि बद रेषा अब रेषेवर जुळवून बचिन्हे तयार करा.
जर जबअ आणि दबअ कोणे समकोण असतील, तर जबद ही सरळ रेषा ठरते.
✅ सिद्धता
कोणांची तुलना करून विरोधाभास सिद्ध केला जातो.
म्हणून जबद ही सरळ रेषा आहे.
📐 पञ्चदशं क्षेत्रम् – दोन रेषा जिथे जुळतात तिथे तयार होणाऱ्या चार कोणांपैकी समोरील दोन कोणे समान असतात
🎯 उद्दिष्ट
दोन रेषा जिथे जुळतात तिथे तयार होणाऱ्या चार कोणांपैकी समोरील दोन कोणे समान असतात.
🪜 पद्धत
अब आणि जद रेषा ह बिंदूवर जुळतात.
तयार होणारे कोणे: जहब, अहद, बहज, जहअ
कोन जोडून समकोणद्वय तयार होतो.
समोरील कोन समान ठरतात.
✅ सिद्धता
कोणांची बेरीज आणि समता तपासून समोरील कोणे समान असल्याचे सिद्ध होते.
--------
No comments:
Post a Comment