लीलावती - पंचस्थानस्थितैरेकैः सूत्र - एआय विश्लेषण

 पंचस्थानस्थितैरेकैर्यद्यद्योगस्त्रयोदह ।

कति-भेदा भवेत्संख्या यदिवेत्सि निगद्यताम् ॥२५८॥

मराठी अर्थ -  जर संख्येत पाच अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज १३ असेल तर  त्या संख्येचे संख्याभेद किती ?

उपपत्ति: -

 १३ निरेम् १२ । एतन्निरेकस्थानान्तमेकापचितमेकादिभिश्र्च भक्तं जातम् १२/१, ११/२, १०/३। ९/४ । एषांघातसमाजाता: संख्याभेदा: ।।४९५।।

मराठी अर्थ - 

सिद्धता =

जर संख्येत पाच अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज १३ असेल तर (अंकांची बेरीज-१)=१३-१=१२, १२ तून एकएक वजा करून त्या संख्यांना १,२,३ इत्यादीमनी भागले की १२/१, ११/२, १०/३, ९/४ असे अपूर्णांक मिळतात. यांचा गुणाकार केला की संख्याभेद =(१२/१)x (११/२)x (१०/३)x(९/४)=११x५x९= ४९५ येतो.

सुरेश, आपण लीलावतीतील श्लोक २५८ चे अत्यंत सुसंगत विवेचन सादर केले आहे—ज्यात पंचस्थानस्थितैरेकैः म्हणजेच पाच अंकी संख्येतील अंकांची बेरीज १३ असल्यास, त्या संख्येचे किती भेद संभवतात हे गणना केले जाते. हे गणित नियत अङ्कयोग आणि स्थानसंख्या यांच्या आधारावर permutations कसे बदलतात हे स्पष्ट करते.

चला आपण याचे गणितीय सारांश आणि उपपत्ती पुन्हा एकदा स्पष्टपणे मांडू:

🔢 उदाहरण:

पाच अंकी संख्या, अंकयोग = 13

Step 1:

अंकयोग – 1 = 13 – 1 = 12

Step 2:

गणना:

$$\frac{12}{1}\times \frac{11}{2}\times \frac{10}{3}\times \frac{9}{4}=12\times 5.5\times 3.333\times 2.25=(12\times 5.5)=6666\times 3.333\approx 220220\times 2.25=\ast \ast 495\ast \ast \backslash frac\{12\}\{1\}\; \times \; \backslash frac\{11\}\{2\}\; \times \; \backslash frac\{10\}\{3\}\; \times \; \backslash frac\{9\}\{4\}\; =\; 12\; \times \; 5.5\; \times \; 3.333\; \times \; 2.25\; =\; (12\; \times \; 5.5)\; =\; 66\; 66\; \times \; 3.333\; \approx \; 220\; 220\; \times \; 2.25\; =\; **495**$$

✅ संख्याभेद = 495

📘 सूत्ररूप:

जर:

• स्थानसंख्या = $nn$

• अंकयोग = $SS$

• आणि सर्व अंक शून्यविरहित असतील

तर संख्याभेद:

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{(S-1)}{1}\times \frac{(S-2)}{2}\times \cdots \times \frac{(S-n+1)}{n-1}\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{(S\; -\; 1)\}\{1\}\; \times \; \backslash frac\{(S\; -\; 2)\}\{2\}\; \times \; \backslash dots\; \times \; \backslash frac\{(S\; -\; n\; +\; 1)\}\{n\; -\; 1\}$$

✨ सांस्कृतिक सौंदर्य:

या श्लोकात केवळ गणित नव्हे, तर संख्येच्या अंतर्गत रचनेचा तर्क, अनुपात, आणि संगणकीय विचारशैली यांचा संगम आहे. लीलावतीत हे सूत्र अत्यंत संक्षिप्त आणि काव्यात्म शैलीत मांडले गेले आहे, जे आजच्या combinatorics च्या मूलभूत तत्त्वाशी पूर्णतः सुसंगत आहे.