रेखागणितम् - 17-20 मराठी भाषांतर - एआय सारांश

 अथ सप्तदशं क्षेत्रम् ।

तत्र त्रिभुजस्य कोणद्वययोग: समकोणद्वययोगादल्पो भवति ।

यथा अबजत्रिभुजे बजकोणौ समकोणद्वयान्न्यूनौ स्त: ।

कुत: । 

बजभुज: दपर्यन्तं नेय: ।

अजदकोणअजबकोणयोर्योग: समकोणद्वयसमानोऽस्ति ।

अजदकोणस्तु बकोणादधिक: । पुनर्बकोण अजबकोणयोरयोग: समकोणद्वयान्न्यूनोऽस्ति ।

एवमन्यकोणेष्वपि ज्ञेयम् । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।

अथाष्टादशं क्षेत्रम् ।

तत्र त्रिभुजे बृहद्भुसन्मुख: कोन: लघुभुजसनमुखकोणान्महान् भवति ।

यथा अबजत्रिभजे अबभुज: अजभुजान्महानस्ति ।

तस्माज्जकोण: बकोणादधिको भविष्यति ।

कुत: ।

यदि अबभुजे अजतुल्यं अदं पृथक् क्रियते जदरेखा च क्रियते तदा अदजकोणअजदकोणौ समानौ भवत: ।

अदजकोणस्तु अबजकोणान्महानस्ति । अजदकोणोऽपि महानस्ति ।

पुन: अजबकोणोऽपि अजदकोणादधिकोऽस्ति ।

तस्मात् अजबकोण: अबजकोणादतिमहान् जात: तदेवमुपपन्नम् ।

पुन: प्रकारान्तरम् ।

अजरेखा दपर्यन्तं नेया। अबतुल्यं अदं च कार्यम् । दबरेखा च कार्या । तत्र अबदकोण अदबकोणौ समानौ स्त: । अबदकोणस्तु अबजकोणान्महानस्ति । अदबकोणोऽपि अबजकोणान्महानस्ति । पुन: अजबकोण: अदबकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् अजबकोण: अबजकोणादतीव महान् जात:। तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।।

पुन: प्रकारान्तरम् ।

अंकेन्द्रं कृत्वा अबव्यासार्द्धेन बदवृत्तं कार्यम् । बजरेखा वृत्तलग्ना दपर्यन्तं नेया । अदरेखा च कार्या । अबदत्रिभुजे बकोणदकोणौ समानौ स्त: । अजबकोणादप्यधिकोभविष्यति । इदमेवेष्टमस्माकम् ।।

अथैकोनविंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र त्रिभुजे योऽधिककोणस्तत्सन्मुखभुजो'पि महान् भवति योऽल्पकोणस्तत्सन्मुखभुजोऽपि लघुर्भवति ।

यथा अबजत्रिभुजे जकोण: बकोणान्महानस्ति । तस्मात् अबभुजोऽपि अजभुजान्महान् भविष्यति ।

कुत: ।

यदि अबभुज: अजभुजान्महान् न भवति तदा तत्समो वा तन्न्यूनो वा भविष्यति । यदि समस्तदा बजकोणौ समानौ भविष्यत: । जकोणस्तु बकोणादधिकोऽस्ति ।

पुन: अबबुज: अजभुजात् यद्यल्पो'स्ति तदा बकोण: जकोणादधिक: स्यात् । जकोणस्तु बकोणादधिक: कल्पितोऽस्ति ।

पुन: अबभुज: अजभुजात् यद्यल्पोऽस्ति तदा बकोण: जकोणादधिक: स्यात् । जकोणस्तु बकोणादधिक: कल्पितोऽस्ति ।

तस्मात् अबभुज; अजभुजादधिको भविष्यतीत्येतदेवेष्टम् ।

अथ विंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र त्रिभुजस्य भुजद्वययोग: तृतीयभुजादधिको'स्तीति निरुप्यते ।

यथा अबजत्रिभजे अबअजयोग: बजादधिकोऽस्ति ।

अत्रोपपत्ति: ।

बअभुज: दपर्यन्तं वर्द्धनीय: । अद: अजसमान: कार्य: । दजरेखा च कार्या । तत्र बजदकोण: अजदकोणादधिकोऽस्ति । अजदकोणश्र्च अदजकोणेन तुल्योऽस्ति । बजदकोणोऽपि बदजकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् बदभुजादधिको जात: ।।

पुन: प्रकारान्तरेण प्रदर्श्यते । तत्र अकोनस्य अदरेखया समानं खणडद्वयं कार्यम् । तदा अदजकोण: दअबकोणादधिकोऽस्ति । दअबकोनश्र्च दअबकोणेन तुल्योऽस्ति । तस्मात् अदजकोण; जअदकोणान्महाञ्जात; । तदा अजभुज: जदभुजान्महान् भविष्यति ।

पुन: अदबकोण; दअजकोणादधिकोऽस्ति । दअजकोणश्र्च दअबकोणेन तुल्योऽस्ति । तदा अबभुज: बदभुजान्महाञ्जात: । तस्मादधिकयोर्द्वयोर्योगस्तृथियादधिको जात: । इदमेवमस्माकमभिष्टम् । पुन: प्रकारान्तरम् ।

तत्र अबअजयोग:बजादधिको यदि न भवति तदा तत्तुल्यो भविष्यति वा न्यूनो भविष्यति । पुन: बदं बअतुल्यं पृथक् कार्यम् । अदरेखा संयोज्या । तदा जदरेखातुल्यं शेषं जअतुल्यं भविष्यति अथवाधिकं भविष्यति । यदि तुल्यं भविष्यति तदा जअदकोणबअदकोणौ जदअबदअकोणयो: समानौ भविष्यत: ।

पुन: जदअबदअकोणौ द्वयो: समकोणयो: समानौ स्त: ।

तदा जअदकोणबअदकोणौ द्वयो: समकोणयो; समानौ स्त: । तदा जअदकोणबअदकोणौ द्वयो: समकोणयो: समानौ भविष्यत: । इदमनुपपन्नम् । त्रिभुजस्यैककोणो समकोणद्वयतुल्यो न भवति ।।

यदि जदरेखा जअरेखाया: अधिका तदा जअदकोण; जदअकोनादधिक: स्यात् । तर्हि जअबकोण: बदअकोणजदअकोणयोरयोगाधिक:स्यात् । एतौ द्वौ कोणौ द्वयो: समकोणयो: समानौ । बअजकोण: समकोणद्वयादधिको जात: ।

इदमनुपपन्नम् ।

🔺 सप्तदशं क्षेत्रम् – त्रिकोणातील कोणद्वयाची बेरीज समकोणद्वयापेक्षा कमी असते

📘 तत्त्व

कोणत्याही त्रिकोणात दोन कोणांची बेरीज दोन समकोणांपेक्षा कमी असते.

🪜 स्पष्टीकरण

समजा अबज त्रिकोणात कोन ब आणि ज आहेत.

जर आपण बज बाजू वाढवून द पर्यंत नेली, तर अजद कोन आणि अजब कोन मिळून दोन समकोण होतात.

पण अजद कोन हा ब कोनापेक्षा मोठा आहे.

त्यामुळे ब + ज < 180° (दोन समकोण)

✅ सिद्धता पूर्ण – कोणद्वयाची बेरीज समकोणद्वयापेक्षा कमी असते.

🔺 अष्टादशं क्षेत्रम् – मोठ्या बाजूसमोरील कोन लहान बाजूसमोरील कोनापेक्षा मोठा असतो

📘 तत्त्व

त्रिकोणात मोठ्या बाजूसमोरील कोन हा लहान बाजूसमोरील कोनापेक्षा मोठा असतो.

🪜 स्पष्टीकरण

समजा अब > अज, तर ज कोन > ब कोन

विविध प्रकारांनी सिद्धता:

समभुज त्रिकोण तयार करून कोनांची तुलना

वर्तुळाच्या सहाय्याने कोनांची तुलना

✅ सिद्धता पूर्ण – मोठ्या बाजूसमोरील कोन मोठा असतो.

🔺 एकोनविंशतितमं क्षेत्रम् – मोठा कोन मोठ्या बाजूसमोर असतो, लहान कोन लहान बाजूसमोर

📘 तत्त्व

त्रिकोणात जो कोन मोठा असतो, त्याच्या समोरची बाजूही मोठी असते; आणि लहान कोनासमोरची बाजू लहान असते.

🪜 स्पष्टीकरण

जर ज कोन > ब कोन, तर अब > अज

जर अब ≤ अज, तर कोणे समान किंवा उलट असतील—हे विरोधाभास निर्माण करतो.

✅ सिद्धता पूर्ण – कोन आणि समोरील बाजू यांच्यात थेट संबंध असतो.

🔺 विंशतितमं क्षेत्रम् – त्रिकोणातील दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते

📘 तत्त्व

त्रिकोणात कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.

🪜 स्पष्टीकरण

समजा अब + अज > बज

विविध प्रकारांनी सिद्धता:

समकोणांची तुलना

समभुज त्रिकोण रचना

वर्तुळाच्या सहाय्याने कोनांची तुलना

✅ सिद्धता पूर्ण – दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.