तत्र एकस्यां रेखायां समकोणं चतुर्भुजम क्षेत्रम् कर्त्तव्यमस्ति ।
यथा अबरेखायां अचिन्हात् अबतुल्य: अजलम्ब: कार्य: ।
बचिन्हात् अजरेखासमानान्तरा अबतुल्या बदरेखा कार्या । जदरेखा संलग्ना कार्या ।
अदचतुर्भुजम समानान्तरभुजं समभुजं समकोणं जातम् ।
इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
अथ सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्र समकोणत्रिभुजस्य कर्णवर्गो भुजद्वयस्य वर्गयोगेन तुल्यो भवति ।
यथा अबजत्रिभुजे अ: समकोणोऽस्ति बजकर्णस्य वर्ग: बअेजभुजयोर्वर्गयोगतुल्योऽस्ति ।
अत्रोपपत्ति: ।
त्रिभिर्भुजै: समकोणं समचतुर्भुजम चतुर्भुजत्रयं कार्यम् । कानि तानि चतुर्भुजानि एकं बदहजं द्वितीयं बवझअम तृतीयं अतकजम् ।बअझं बअजं एतौ द्वौ समकोणौ स्त: । तदा झअजमेका सरला रेखा जाता । एवं बअतमेका सरला रेखा जाता । पुन: अचिन्हात् बदरेखाया: समानान्तरा अलरेखा कार्या । इयं रेखा त्रिभुजान्तरे पतिष्यति ।
कुत: ।
दबअकोण: समकोणादधिकोऽस्ति ।तदा बअलकोणो बअजकोणान्न्यूनोऽस्ति । तस्मादियं रेखा बजरेखायां नचिन्हे संपातं करिष्यति । पुनरियं रेखा बहचतुर्भुजस्य बलं जलं चतुर्भुजद्वयं करिष्यति । ततो वजरेखा अदरेखा च संयोज्या । वजबत्रिभजे बअदत्रिभुजे वबभुजो बजबुजो वबजकोण: अबभुजबदभुजअबदकोणेन समानोऽस्ति । तदैतो त्रिभुजौ समानौ जातौ । पुनर्वजबत्रिभुजम झबचतुर्भुजस्यार्द्धमस्ति । अनेन प्रकारेणापि बअदत्रिभुजम बलचतुर्भुजस्यार्द्धमस्ति । तदा झबचतुर्भुजम बलचतुर्भुजेन समानं जातम् । एवं तजचतुर्बुजम जलचतुर्भुजेन समानं जातम् । तदा बजवर्ग: बअअजभुजयोर्वर्गयोगेन समानो जात: । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (२)
प्रकारान्तरेणाह ।।
तत्र त्रिभुजं कर्णस्य च चतुर्भुजं पूर्वकृतमेव स्तापितं अलरेखा च यथावस्थिता स्थापिता । पुनर्बझरूपं अबस्य चतुर्भुजम त्रिभुजोपरि स्थाप्यम् । ततोबअभुज: जअभुजतुल्योऽथवाऽधिकोऽथवा न्यून: स्यात् । तदा क्रमेण झचिन्हं जचिन्हे पतिष्यति वा अजरेखाया बहि: पतिष्यति अतवा अजरकायां पतिष्यति । पुनर्दवरेखा संयोज्या ।
तत्र अबवकोणो जबदकोण एतौ समकोणौ स्त: । पुनर्जबवकोणो द्वयो: समकोणयो: शोध्यते । तदा शेषं अबजकोणो वबदकोणश्र्चैतौ समानौ भवत: । पुन: अबं बवतुल्यमस्ति बजं बदतुल्यम् ।
अबजकोणो वबदकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ। पुनर्बवदकोणो बअजकोणसमकोणसमानो जात: । तदा दवझरेखा एका सरला रेखा जाता । अबरेखाया: समानान्तरा च जाता । तया अलरेखायां तचिन्हे संपात: कृत: । नअजकोणो जवअकोणेन समानोऽस्ति ।
पुन: अझव: समकोणोऽस्ति । तदा तचिन्हं वचिन्हे भविष्यति । पुनर्दतजं सरलैका रेका भविष्यति यदा अबं अजतुल्यं भविष्यति । अथवा तचिन्हं वचिन्हे न भविष्यति अथवा अन्यच्चिन्हं भविष्यति ।
पुनरयदा अबं अजादधिकं स्यात् तदा तचिन्हं झवरेखोपरि पतिष्यति वा झवरेखाया बहि: पतिष्यति । एवं क्षेत्रत्रयेऽपि बअझवक्षेत्रं बअतक्षेत्रं समानं भविष्यति । एवं बअतदक्षेत्रं बनलदक्षेत्रं समानं भविष्यति तदा बअझवक्षेत्रं बनलदक्षेत्रसमानं भविष्यति ।
पुन: अनेन प्रकारेण अजभुजस्य चतुर्भुजं जलचतुर्भुजसमानं भविष्यति ।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (३)
पुन: प्रकारान्तरेणाह ।।
तत्र कर्णस्य चतुर्भुजं त्रिभजोपरि पातनीयम् । अबभुजस्य चतुर्भुजं त्रिभुजाद्बहि: पातनीयम् । जअरेखा कार्या सा दचिन्हे संपातं करिष्यति।
यदा अबअजौ समौ स्त:। अथवा सा जअरेखा दहरेखायां कचिन्हे संपातं करिष्ति यदि अबं अजादधिकं स्यात् । अथवा दबरेखायां कचिन्हे संपातं करिष्यति यदि अबं अजान्न्यूनं स्यात्।
एवं प्रकारत्रयेऽपि अबोपरि बवलम्बो निष्काश्य:। दचिन्हात् बवोपरि दवलम्ब उपाद्य:। पुन: अकरेखा तथोत्पाद्या यथा दवरेखायां झचिन्हे संपातं करिष्यति। दवबत्रिभुजे अबजत्रिभुजे दबभुजो बजभुजतुल्य:। वकोण: अकोणतुल्य:। दबवकोणो जबअकोणतुल्यश्र्चास्ति। तदा अबबवभुजौ तुल्यौ स्याताम् । अबझवक्षेत्रम् अबभुजस्य समचतुरभुजं समकोणं भविष्यति त्रिभुजाद्बहि: पतिष्यति ।
पुनर्वदरेखा अलरेखा च तथा वरद्धनीया यथा तचिन्हे संपातं करिष्यति । तदा दबअतक्षेत्रं अबवझसमचतुर्भुजसमकोणक्षेत्रेण समानं जातम् । पुनर्दबअतक्षेत्रमं दबनलक्षेत्रसमानमस्ति ।
तदा अबभुजस्य समचतुर्भुजसमकोणक्षेत्रं दबनलक्षेत्रसमानं जातम् ।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (४)
पुन: प्रकारान्तरेणाह ।। ६४.१
अबभुजसमकोणचतुर्भुजक्षेत्रं त्रिभुजोपर्युत्पादनीयम् ।
तत्र झचिन्हं जचिन्हं भविष्यति यदा भुजद्वयं समानं भविष्यति वा अजभुजाद्बहि: पतिष्यति यदा अबं अजादधिकं स्यात् वा अजोपरि पतिष्यति यदा अबं अजादूनं स्यात् ।
पुनर्नअजकोणो जबअकोणतुल्य: स्यात्ततो अनरेखा उत्पाद्या यथा झवभुजे कचिन्हे संपातं करिष्यति । तदा कचिन्हं वचिन्हं भविष्यति यदि अबं अजसमानं वा झवोपरि पतिष्यति यदि अबं अजादधिकं स्यात् वा झवाद्भहि: पतिष्यति यदा अबं अजान्न्यूनं स्यात्। ततो दबरेखा झकरेखा च उत्पाद्या यथा तचिन्हे संपातं करिष्यति ।
एवं अबजत्रिभुजे अकझत्रिभुजे च अबभुजो बअजकोण; अबजकोणश्र्च अझभुजेन अझककोणेन झअककोणेन च समानस्तदा अकं बजसमानं जातम्। दबसमानं च बतं अकसमानं जातम्।
अतक्षेत्रं दनक्षेत्रेण समानं जातम् । अबवझसमकोणसमचतुर्भुजेनापि समानं जातम् । तदा दनक्षेत्रं अबभुजस्य समकोणचतुर्भुजक्षेत्रेण समानं जातम् ।।
अनेन प्रकारेण अजभुजस्य समकोणसमचतुर्भुजम क्षेत्रं जलचतुर्भुजक्षेत्रेण समानं भविष्यति। पुन: अजभुजस्य समकोणचतुर्भुजक्षेत्रं अबजत्रिभुजोपरि पातनीयं वा अबजत्रिभुजाद्बहि: पातनीयम् ।
इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (५)
पुन: प्रकारान्तरेणाह ।।
पूर्वप्रकारेषु अलरेखया कर्णचतुर्भुजस्य भागद्वयं कृत्वा उपपत्तिरुक्ता ।
अधुना कर्णचतुर्भुजस्य भागद्वयमकृत्वैवोपपत्तिरुच्यते।
तत्र कर्णचतुर्भुजस्य त्रिभुजोपर्युत्पाद्यम् । जअभुजस्तथा वर्द्धनीय: यथा चतुर्भुजस्य तचिन्हे संपातं करोति । यदि तचिन्हं दचिन्हे पतति तदा अबअजभुजौ समानौ स्याताम् । यदि तचिन्हं दहभुजे वा दबभुजे पतति तदा अबअजभुजौ न्यूनाधिकौ स्याताम् । पुनरदचिन्हात् अजभुजोपरि दझलम्ब उत्पाद्य:।
पुन: अयं लम्ब उभयत्र वरद्धनीय:। पुनस्तल्लम्बोपरि बचिन्हात् हचिन्हात् लम्बद्वयं बवहकसंज्ञं उत्पाद्यम् । जझरेकायां हचिन्हात् हललम्ब: अचिन्हे पतिष्यति हलअब एका सरला रेखा भविष्यति यदा अबअजभुजौ समौ स्याताम्। हललम्बो अचिन्हात् अन्यत्र चिन्हे पतिष्यति यदा द्वौ भुजौ न्यूनाधिकौ स्याताम्। अबजत्रिभुजे वबदत्रिभुजे कदहत्रिभुजे लजहत्रिभुजे च बजभुज: बदभुज: दहभुज: हजभुजश्र्चैते समाना:। अवकलकोणा: समाना:। शेषकोणा अपि समाना:। एतानि वत्वारि त्रिभुजानि समानानि।
पुन: अवक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजं जातम्। एतत् अबभुजस्य वर्गोऽस्ति। लकक्षेत्रमपि समकोणसमचतुर्भुजम जातम्। इदं अजभुजस्य वर्गोस्ति। एते द्वे समकोणसमचतुर्भुजे बहक्षेत्रसमकोणसमचतुर्भुजसमे स्त: ।
अत्रोपपत्ति:।
बदवत्रिभुजदकहत्रिभुजयोर्योग: अबजत्रिभुजहलजत्रिभुजयोगसम:। शेषक्षेत्रं प्रथमत्रिभुजद्वयेन चेद्योज्यते तदा प्रथमसमकोणचतुर्भुजद्वयं स्यात्। यदि द्वितीयत्रिभुजद्वयेन योग: क्रियते कर्णस्य समकोणसमचतुर्भुजं स्यात्।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (६)
प्रकारान्तरेणाह ।
अबअजौ द्वौ भुजौ यदाऽधिकन्यूनौ स्त: अबभुजोपरि समकोणसमचतुर्भुजं न पात्यते यथा अजभुजस्य समकोणसमचतुर्भुजं अजोपरि न पातितं तदा बअभुजस्तथा वरद्धनीयो यथा जहभुजे वचिन्हे संपातम करोति ।
पुनर्हचिन्हात् दचिन्हाच्च बअरेखायां हझदतलम्बा उत्पाद्यौ। हझरेखा वरद्धनीया । पुनर्दचिन्हात् हझरेखायां दवलम्ब उत्पाद्य:। तकरेखा तबरेखातुल्या कार्या । पुन: कलरेखा तबरेखासमानान्तरा कार्या। एषा रेखा दबरेखायां मचिन्हे संपातं करिष्यति। पुनर्बचिन्हात् कलरेखायाम बललम्ब उत्पाद्य:। तदाअबजत्रिभुजं तदबत्रिभुजं वदहत्रिभुजं चैतानि समानि स्यु:। लतं समकोणसमचतुर्भुजं दझं समकोणसमचतुर्भुजं चैते अजभुजस्य बअभुजस्य वर्गरूपे स्त:।
पुनर्लबमत्रिभुजं अजनत्रिभुजं च मिथ: समानमस्ति। दमकत्रिभुजं हनझत्रिभुजं च समम् । तदा लबमत्रिभुजदवतत्रिभुजयोरयोग: लतक्षेत्रसमकोणसमचतुर्भुजहनझत्रिभुजयोर्योगोऽस्ति ।
अयं बनजत्रिभुजेन सम:। वदहत्रिभुजं प्रथमयोगे योज्यते तदबत्रिभुजं द्वितीययोगे योज्यते पुनर्दतनहक्षेत्रं द्वाभ्यां चेद्योज्यते यदा अबमजादधिकमस्ति। दनतहक्षेत्रस्य एकं खण्डं योज्यमपरं हीनं कार्यं यदा अबमजादूनमस्ति। तदा द्वे समकोणसमचतुर्भुजे कर्णस्य समकोणसमचतुर्भुजस्य समे भवत इत्युपपन्नम् ।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (७)
पुन: प्रकारान्तरम् ।
यदैकभुजचतुर्भुजं द्वितीयभुजचतुर्भुजे पातनीयं भवति तदा पूर्वोक्तप्रकारेण क्षेत्रमुत्पाद्यम् ।
पुनर्वकं वहतुल्यं कार्यम् । कलहलरेखे वझवदसमानान्तरे कार्ये क्रमेण। पुनस्तथा वर्द्धनीये यथा लचिन्हे संपातं करिष्यत:। तदा कलरेखा दहरेकायां मचिन्हे मिलिष्यति।
अथ त्रयाणां त्रिभुजानां साम्यात् हलअजयो: साम्यात् कोणानां साम्याच्च हलमत्रिभुजं जअनत्रिभुजं परस्परं समानम जातमिति निश्र्चितम् । पुनर्दकहझसमत्वेन दकमत्रिभुजं हझनत्रिभुजमन्योन्यसममिति निश्र्चितम् । तदा दवहत्रिभुजमलहत्रिभुजयोर्योग: वलचतुर्भुजहनझत्रिभुजयोगोऽस्ति।
अयं योगो बनजत्रिभुजेन सम:।दवहत्रिभुजं प्रथमयोगेन युक्तं कार्यं तदबत्रिभुजं द्वितीयेन योज्यं हदतनक्षेत्रं द्वयोर्योगयोर्युक्तं कार्यं यदि अबं अजादधिकं स्यात् । यदि न्यूनं तदैकं खण्डं पूर्वयोगे योज्यं द्वितीयं खण्डं न्यूनं कार्यम्।
तदा वलचतुर्भुजं वतचतुर्भुजं च दजचतुर्भुजेन समानं जातमिति सिद्धम्।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (८)
पुन: प्रकारान्तरम् ।
तत्र यथाकर्णचतुर्भुजं त्रिभुजे न पतति एकभुजस्य च चतुर्भुजं त्रिभुजे पतति तथा क्षेत्रं कार्यम्।
यथा अबभुजस्य अझवबचतुर्भुजं त्रिभुजे पतितं तदा झचिन्हं जचिन्हे पतिष्यति यदि भुजद्वयं समं स्यात्। यदि भुजद्वयं न्यूनाधिकं स्यात् तदा झचिन्हं अजभुजे पतिष्यति वा बहि: पतिष्यति।पुनर्दवरेखा कार्या। तत्र पूर्वोक्तप्रकारेण निश्र्चीयते दवझ एकासरला रेखा जातेति।
पुन: हचिन्हात् तद्रेखायां अझरेखायां च हकलम्बो हललम्बश्र्च उत्पाद्य: । तदा हकवब एका सरला रेखा भविष्यति यदि भुजद्वयं समं स्यात्। यदि न्यूनाधिकं स्यात् तदा हकलम्बो झववदमध्ये भविष्यति।
पुनश्र्चतुस्त्रिभुजसमत्वेन हकहलसमत्वेन च इदं निश्र्चितं कलक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजं अजभुजस्य जातमिति।
पुन: अबजत्रिभुजलजहत्रिभुजयोर्योगस्य कदहत्रिभुजवबदत्रिभुजयोगसमत्वेन शेषक्षेत्रद्वययोगेन इदं निश्र्चितं जातम द्वयोर्भुजयोश्र्चतुर्भुजे कर्णचतुर्भुजेन समे स्त: ।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (९)
पुन: प्रकारान्तरम् ।
तत्र कस्यापि भुजस्य चतुर्भुजं त्रिभुजोपरि न पततीीष्टं यदा तदा त्रिभुजम कार्यम्। कर्णस्य चतुर्भुजम च कार्यम् । भुजद्वयं वर्द्धनीयं च ।
पुनर्दचिन्हात् हचिन्हात् दझलम्बो हवलम्बश्र्च तद्दूयोपर्युत्पाद्य:। दतरेखा हकरेखा भुजयो: समानान्तरा कार्या । एतद्दूयं लचिन्हे संपातं करिष्यति जहरेखायांमचिन्हे नचिन्हे च संपातं करिष्यति। तदा बकनचिन्हानि एकत्र मिलितानि स्यु: जतमचिन्हानि चैकभूमिलितानि स्यु: यदि भुजद्वयं समं स्यात्। एतच्चिन्हत्रयेण त्रिभुजं स्यात् यदि न्यूनाधिकं भुजद्वयं स्यात् ।
पुन: अबजत्रिभुजझदबत्रिभुजलदहत्रिभुजवजहत्रिभुजानां समत्वं निश्र्चितम्। पुनर्झलक्षेत्रं लवक्षेत्रं च भुजद्वयस्य समकोणसमचतुर्भुजम जातम्। बकजतयो: समत्वेन कोणानां समत्वेन च बकनत्रिभुजजतमत्रिभुजे समे जात इति निश्र्चितम्।
अनेनैव प्रकारेण दमहत्रिभुजं हनजत्रिभुजं सममस्ति। मलहत्रिभुजं क्षेत्रद्वये हीनं चेत् क्रियते तदा शेषं नलमजक्षेत्रं दलहत्रिभुजेन समं स्यात्। जवहत्रिभुजेनापि समं स्यात्। मवहतक्षेत्रबकनत्रिभुजयोगस्यापि समान: स्यात्। दलहत्रिभुजं दझबत्रिभुजं चैते समे पूर्वक्षेत्रद्वयेन योज्यते। पुनर्बदलक्षेत्रं मलहत्रिभुजं च पूर्वक्षेत्रद्वयेन योज्यते तदा कर्णस्य चयुर्भुजं भुजद्वयस्य चतुर्भुजेन समं स्यात्।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (१०)
----
🔺 सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् – पायथागोरस प्रमेय
📘 मूल तत्त्व:
समकोण त्रिकोणात, कर्णाचा वर्ग = इतर दोन बाजूंच्या वर्गांचा योग
उदाहरण: जर ∠A समकोण असेल, तर BC² = AB² + AC²
🔁 प्रकार 1: समकोण त्रिकोणातून समचतुर्भुज रचना
त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूवर समकोण समचतुर्भुज तयार केला जातो.
त्या चतुर्भुजांचे क्षेत्रफळ एकमेकांशी संबंधित असते.
सिद्धता: दोन चतुर्भुजांचे योग तिसऱ्या चतुर्भुजाच्या क्षेत्रफळाशी समतुल्य.
🔁 प्रकार 2: त्रिकोणावर चतुर्भुज पातन
कर्णावर चतुर्भुज रचून, त्याचे क्षेत्रफळ दोन बाजूंच्या चतुर्भुजांच्या योगाशी समतुल्य ठरते.
कोन समता आणि बाजू समता वापरून सिद्धता.
🔁 प्रकार 3: कर्ण चतुर्भुज बाहेर पातन
कर्णावर चतुर्भुज बाहेर रचला जातो.
समकोण आणि समचतुर्भुज रचना वापरून क्षेत्रफळ समता सिद्ध होते.
🔁 प्रकार 4: भुजांवर चतुर्भुज पातन
दोन बाजूंवर समकोण समचतुर्भुज रचले जातात.
त्यांचे योग कर्णावर रचलेल्या चतुर्भुजाशी समतुल्य ठरतो.
🔁 प्रकार 5: कर्ण चतुर्भुज न विभागता सिद्धता
कर्णावर चतुर्भुज रचला जातो, पण विभाग न करता सिद्धता केली जाते.
समकोण, समभुज, आणि समचतुर्भुज यांचा वापर.
🔁 प्रकार 6: भुजांमध्ये असमानता असताना रचना
जर दोन बाजू समान नसतील, तरी समकोण चतुर्भुज रचना करता येते.
समता सिद्ध करण्यासाठी त्रिभुजांचे योग वापरले जातात.
🔁 प्रकार 7: एक चतुर्भुज दुसऱ्यावर पातन
एका भुजावर रचलेला चतुर्भुज दुसऱ्या भुजावर पातन केला जातो.
कोन समता आणि त्रिभुज समता वापरून सिद्धता.
🔁 प्रकार 8: एका भुजावर चतुर्भुज त्रिभुजात पातन
जर एका भुजावर चतुर्भुज त्रिभुजात पातला जाऊ शकतो, तर क्षेत्र समता सिद्ध होते.
🔁 प्रकार 9: चतुर्भुज त्रिभुजात न पातता रचना
जर चतुर्भुज थेट त्रिभुजात न पातता रचला गेला, तरी समता सिद्ध करता येते.
लांब रेषा, लंब, आणि समांतर रेषा वापरून रचना.
🔁 प्रकार 10: भिन्न भुजांवर चतुर्भुज रचना
दोन भिन्न भुजांवर चतुर्भुज रचून, त्यांचे योग कर्ण चतुर्भुजाशी समतुल्य ठरतात.
✅ सारांश निष्कर्ष:
आपण विविध प्रकारांनी सिद्ध केले की:
समकोण त्रिकोणात, कर्णावर रचलेले समकोण समचतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ = इतर दोन बाजूंवर रचलेल्या समकोण समचतुर्भुजांच्या क्षेत्रफळांचा योग
No comments:
Post a Comment