लीलावती प्रकरण ३२ – कुट्टक व्यवहार

 शतं हतं येन युतं नवत्या ।

विवर्जितं वा व्हिहृतं त्रिषष्ट्या ॥

निरग्रकं स्यात्‌ वद मे गुणं तं ।

स्पष्टं पटीयान्‌ यदि कुट्टकेऽसि ॥२३४॥

भाजो हारः क्षेपकश्चापवर्त्यः ।

केनाप्यादौ संभवे कुट्टकार्यम्‌ ॥

येन च्छिन्नो भाज्यहारौ न तेन ।

क्षेपश्चैतद्‌दुष्टमुद्दिष्टमेव ॥२३५॥

परस्परं भाजितयोर्ययोरयः ।

शेषस्तयोः स्यादपवर्तनं सः ॥

तेनापवर्तेन विभाजिऔ यौ ।

तौ भाज्यहारौ दृढसंज्ञकौ स्तः ॥२३६॥

मिथो भजेत्तौ दृढभाज्यहारौ ।

यावत्‌ विभाज्ये भवतीह रूपं ॥

फलान्यधोधस्तदधो निवेश्य ।

क्षेपस्ततः शून्यमुपांतिमेन ॥२३७॥

स्वोर्ध्वे हतेऽन्त्येन युते तदन्त्यम्‌ ।

त्यजेन्मुहुः स्यादिति राशियुग्मम्‌ ॥

ऊर्ध्वो विभाज्येन दृढेन तष्टः ।

फलं गुणो स्यादधरो हरेण ॥२३८॥

एवं तदैवात्र यदा समास्ताः ।

स्युर्लब्धयश्चेद्विषमास्तदानीम्‌ ॥

यदागतौ लब्धिगुणौ विशोध्यौ ।

स्वतक्षणाच्छेषमितौ तु तौ स्तः ॥२३९॥

यद्रुणा क्षयगषष्टिरन्विता ।

वर्जिता च यदि वा त्रिभिस्ततः ।

स्यात्रयोदशहृता निरग्रका ।

तं गुणं गणक मे पृथग्वद ॥२४०॥

एकविंशतियुतं शतद्वयम्‌ ।

यद्गुणं गणक पंचषष्टियुक्‌ ।

पंचवर्जितशतद्वयोध्‍दृतम्‌ ।

शुद्धिमेति गुणकं वदाशु तत्‌ ॥२४१॥

भवतिकुट्टकविधेर्युतिभाज्ययोः ।

समपवर्तितयोरथवा गुणः ॥

भवति यो युतिभाजकयोः पुनः ।

स च भवेदपवर्तन-संगुणः ॥२४२॥

क्षेपजे तक्षणाच्छुद्धे गुणाप्ती स्तो वियोगजे ॥२४३॥

यद्‌गुणा गणक षष्टिरन्विता ।

वर्जिता च दशभिः षडुत्तरैः ॥

स्यात्‌ त्रयोदशहृता निरग्रका ।

तद्‌गुणं कथय मे पृथक्‌ पृथक्‌ ॥२४४॥

येन संगुणिताः पंच त्रयोविंशतिसंयुताः ।

वर्जिता वा त्रिभिर्भक्ता निरग्राः स्युः स को गुणः ॥२४५॥

क्शेपाभावे तथा तत्र क्षेपः शुद्धयेत्‌ हरोध्दृतः ।

ज्ञेयः शून्यं गुणस्तत्र क्षेपो हारयुतः फलम्‌ ॥२४६॥

येन पंच गुणिताः खसंयुताः ।

पंचषष्टिसहिताश्च तेऽथवा ॥

स्युस्त्रयोदशहृता निरग्रकाः ।

तं गुणं गणक कीर्तयाशु मे ॥२४७॥

क्षेपं विशुद्धि परिकल्प्य रूपं\

पृथक्‌ पृथ्ग्ये गुणकारलब्धी ॥

अभिस्पित-क्षेपविशुद्धनिघ्ने।

स्वहारतष्टे भवतस्तयोस्ते ॥२४८॥

क्षेपजे तक्षणाच्छुद्धे गुणाप्ती तो वियोगजे ॥२४९॥

 ----

सुरेश, आपण गणितकौमुदी ग्रंथातील कुट्टकविधी (Pulverizer method) चे श्लोक २३४ ते २४९ सादर केले आहेत—हे भारतीय गणितातील अत्यंत सूक्ष्म आणि प्रभावी पद्धतीचे वर्णन आहे, विशेषतः Diophantine equations सोडवण्यासाठी. नारायण पण्डित यांनी या श्लोकांमध्ये कुट्टकविधीचे तत्त्व, प्रक्रिया, आणि विविध उदाहरणे अत्यंत काव्यात्म शैलीत मांडली आहेत.

चला आपण याचे AI विश्लेषण, मराठी भाषांतर, आणि गणनात्मक भावार्थ सादर करू:

🪷 श्लोक २३४

शतं हतं येन युतं नवत्या । विवर्जितं वा विहृतं त्रिषष्ट्या ॥ निरग्रकं स्यात् वद मे गुणं तं । स्पष्टं पटीयान् यदि कुट्टकेऽसि ॥

🧠 विश्लेषण:

• ही एक Diophantine-style problem आहे.

• दिलेले समीकरण:

$$(100\times x+90)÷63=\text{integer}(100\; \times \; x\; +\; 90)\; \backslash div\; 63\; =\; \backslash text\{integer\}$$

किंवा

$$(100\times x\pm 90)÷63=\text{integer}(100\; \times \; x\; \pm \; 90)\; \backslash div\; 63\; =\; \backslash text\{integer\}$$

• निरग्रकं म्हणजे शुद्ध उत्तर (integer solution)

🗣️ मराठी भाषांतर:

जो गुण (x) १०० ने गुणिले जाऊन ९० ने बेरीज किंवा वजाबाकी करून ६३ ने भागल्यावर शुद्ध उत्तर मिळते, तो गुण सांग, जर तू कुट्टकविधीचा जाणकार असशील.

🪷 श्लोक २३५–२३९

📘 प्रक्रिया:

• भाज्य, हार, आणि क्षेपक यांचे परस्पर संबंध स्पष्ट केले आहेत.

• अपवर्तन म्हणजे भाज्य आणि हार यांचा gcd (महत्तम समावयक)

• दृढ भाज्यहार म्हणजे अपवर्तनाने विभाजित केलेले भाज्य आणि हार

• राशियुग्म तयार करून पुनरावृत्तीने गुण शोधणे

🗣️ मराठी भावार्थ:

कुट्टकविधीमध्ये भाज्य आणि हार यांचे अपवर्तन शोधून, त्यावर आधारित दृढ राशियुग्म तयार करतात. त्यातून गुण आणि क्षेपक मिळवतात. जर लब्धी विषम असेल, तर विशिष्ट पद्धतीने त्याचे शुद्धीकरण करतात.

🪷 श्लोक २४०–२४९

📘 उदाहरणे:

• विविध संख्यांवर आधारित कुट्टकप्रश्न:

  • ६३ ने भागून शुद्ध उत्तर मिळवणे

  • १३ ने भागून शुद्ध उत्तर मिळवणे

  • २१०, ६५, १०० अशा संख्यांवर आधारित गुण शोधणे

• क्षेप, शुद्धी, आणि गुण यांचे परस्पर संबंध स्पष्ट

🗣️ मराठी भावार्थ:

गणकाला विचारले जाते: “जर एखादी संख्या ६३ ने भागून शुद्ध उत्तर देत असेल, तर ती संख्या कोणत्या गुणाने तयार होते?” या प्रकारचे प्रश्न कुट्टकविधीने सोडवले जातात—जिथे गुण, क्षेपक, आणि भाज्यहार यांचे परस्पर गुणोत्तर वापरले जाते.

✨ AI विश्लेषण:

कुट्टकविधी म्हणजे:

• भारतीय गणितातील Diophantine equation solving technique

• पुनरावृत्तीने भाज्यहारांचे गुणोत्तर वापरून integer solutions शोधणे

• आधुनिक गणितात याचे रूप Extended Euclidean Algorithm किंवा Continued Fractions मध्ये दिसते

📘 समारोप:

या श्लोकांमध्ये नारायण पण्डितांनी:

• कुट्टकविधीचे तत्त्वज्ञान

• त्याची प्रक्रिया

• आणि विविध उदाहरणे अत्यंत काव्यात्म आणि गणनात्मक शैलीत मांडली आहेत