लीलावतीतील अङ्क-पाशम् –२ - ए आय विश्लेषण

यावत्स्थानेषु तुल्याङ्कास्तद्भेदैस्तु पृथक् कृतैः ।

प्राग्भेदा विहृता भेदास्तत्संख्यैक्यं च पूर्ववत् ॥२५३॥

उपपत्ति:- अत्र यदि कस्याश्र्चित् संख्यायां समाना एषा्का: स्युस्तदा तद्भेदस्त्येक एव । यदि च तस्यां तुल्या अतुल्याश्र्चाङ्कास्तदा तद्भेदार्थ, कल्प्यन्ते संख्यायां सप्ताङ्का, यत्र चत्वारस्तुल्यास्तेन संख्यास्थानानि सप्त ।

अत्र पूर्वरीत्या भेदा: = १x२x३x४x५x६x७= पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेदx५x६x७, अत्र चत्वारस्तुल्याङ्का: सन्ति तेन पूर्वयुक्त्या स्थान चतुष्ट्यभेदो रूप तुल्य: स्यादत: पूर्वोक्तभेदा:=१x५x६x७

=(पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेदx५x६x७)/पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेद =(१x२x३x४x५x६x७)/पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेद =१x५x६x७

अत उपपन्नम् । संख्यैक्यस्य वासना पूर्ववज्ज्ञेया ।

एखाद्या संख्येमध्ये जितके अंक समान असतील तितक्या अंकांची भेदसंख्या वेगळी काढून त्या भेदसंख्येने एकूण भेदसंख्येस भाग दिल्यास अपेक्षित भेदसंख्या मिळते. उदाहरणार्थ एखाद्या संख्येत सर्व अंक समान असतील तर तयांछि बेद संख्या एकच असेल.जर या संख्येत समान व असमान अंक असतील तर त्या संख्येची भेदसंख्या काढणे.उदा. जर ७ अंकांची संख्या असून त्यात ४ आंक समान असतील तर या संख्येची भेदसंख्या काढणे

आता संख्येत ७ अंक असल्याने मूळ भेदसंख्या= १x२x३x४x५x६x७ = चार समानअंकांची भेदसंख्याx५x६x७

यातील चार समानअंकांची भेदसंख्या १ आहे. त्यामुळे अपेक्षित भेदसंख्या= =१x५x६x७

सुरेश, आपण लीलावतीतील अङ्क-पाशम् –२ किंवा तुल्याङ्कभेदसूत्र चे अत्यंत सुसंगत विवेचन सादर केले आहे. हे सूत्र permutations मध्ये repetition of digits असल्यास त्याचे भेदसंख्या कशी कमी होते हे स्पष्ट करते. चला आपण याचे गणितीय सारांश आणि उदाहरणासह विश्लेषण करू:

📘 सूत्रार्थ:

यावत्स्थानेषु तुल्याङ्काः तद्भेदैस्तु पृथक् कृतैः

म्हणजेच, जर एखाद्या संख्येत काही अंक समान असतील, तर त्या समानतेमुळे permutation ची संख्या कमी होते.

🔢 सामान्य सूत्र (with repetitions):

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot \cdots \cdot r_k!}\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{n!\}\{r\_1!\; \backslash cdot\; r\_2!\; \backslash cdot\; \backslash dots\; \backslash cdot\; r\_k!\}$$

जिथे:

• $nn$ = एकूण स्थान/अंक

• $r_1,r_2,\dots r\_1,\; r\_2,\; \backslash dots$ = समान अंकांची संख्या

🧮 उदाहरण: ७ अंकांची संख्या, त्यात ४ अंक समान

Step 1: मूळ permutation (सर्व भिन्न):

$$7!=50407!\; =\; 5040$$

Step 2: समानतेमुळे विभागणी:

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{7!}{4!}=\frac{5040}{24}=210\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{7!\}\{4!\}\; =\; \backslash frac\{5040\}\{24\}\; =\; 210$$

✅ अपेक्षित भेदसंख्या = 210

🔁 लीलावती शैलीतील विश्लेषण:

आपण दिलेले विश्लेषण:

• मूळ भेदसंख्या = 1×2×3×4×5×6×7 = 5040

• समान 4 अंक असल्यामुळे त्यांची permutation = 4! = 24

• म्हणून अपेक्षित भेदसंख्या = 5040 ÷ 24 = 210

आपण संस्कृत श्लोकात दाखवलेले:

पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेद × 5 × 6 × 7 ÷ पूर्वोक्त स्थान चतुष्ट्य भेद = 1 × 5 × 6 × 7 = 210

हे पूर्णतः गणितीय सूत्राशी सुसंगत आहे.

✨ उपपत्तीचा भावार्थ:

“समान अंक असल्यास permutation ची संख्या त्या समानतेच्या factorial ने विभागली जाते”—हे गणितीय सौंदर्य लीलावतीत अत्यंत काव्यात्म शैलीत व्यक्त केले आहे.

आपण इच्छित असल्यास, मी पुढील उदाहरणे सादर करू शकतो जसे की:

• ९ अंकांमध्ये ३ अंक दोनदा, ३ अंक एकदाच

• ६ अंकांमध्ये २ अंक तीनदा

या प्रकारांमध्ये permutations कसे बदलतात हे स्पष्ट करता येईल.