पुनरपि प्रकारान्तरम्।
अस्मिन्नेव प्रकारे एकभुजस्यचतुर्भुजम द्वितीयोपरि पतिष्यति तदा भुजद्वयं समं चेत्तर्हि स्पष्टमेव। यदिभुजद्वयमधिकं न्यूनं वा तदा अबभूजो वर्द्धनीय:। अस्मिन् दचिन्हात् हचिन्हात् दझलम्बहवलम्बौ कार्यौ। हवरेखा बजरेखा च यचिन्हे संलग्ना कार्या।
पुनर्दचिन्हात् दतलम्बो हवरेखायां बचिन्हात् बकलम्ब: दतरेखायां जचिन्हात् जललम्ब: हवरेखायां च कारया। पुनरदमं दकतुल्यं झदिशि कार्यम् । मनसगरेखा दकसमानान्तरा कार्या। इयं रेखा दबरेखायां नचिन्हे बकस्य सचिन्हे हवस्य गचिन्हे संपातं करिष्यति। ततो अबजत्रिभुजं लहजं तहदं झदबं दबकम एतानि समानानि निश्र्चितम्।
पुन: कमक्षेत्रं झतक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजं भुजद्वयस्यास्ति। पुन: मदजलयो: समत्वेन कोणानां समत्वेन च मदनत्रिभुजं लजयत्रिभुजं च परस्परं समानं जातमिति निश्र्चितम्। पुनर्बसनवयो: साम्येन कोणानां सामान्येन च बनसत्रिभुजं बवयत्रिभुजं परस्परं समानं जातम्। तदा मनदत्रिभुजबदकत्रिभुजयोर्योग: मकचतुर्भुजबवयत्रिभुजयोगोऽस्ति। अयं योगो हजयत्रिभुजेन समानोऽस्ति।
पुनर्झदबत्रिभुजंप्रथमेन युक्तं क्रियते तदहत्रिभुजं च द्वितीयेन युक्तं कार्यम्। बदतयक्षेत्रं द्वयोर्युकतं कार्यं यदि अबमजाददिकं स्यात्। न्यूनं चेत्तर्हि एकं खण्डं योज्यं द्वितीयं न्यूनं कार्यम्। तदा मकक्षेत्रं झतक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजं बहक्षेत्रेण समकोणसमचतुर्भुजेन सममित्युक्तप्रकारेषु अन्येऽपि प्रकारा: संभवन्ति ते विस्तरभयादुपेक्षिता:।।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (११)
पुन: प्रकारान्तरम्।
यदि भुजानां चतुर्भुजानि स्वस्वभुजोपरि पतन्ति तदाष्टधा क्षेत्रसंख्स्थास्यात्। तथवा। प्रथमप्रकारे यथा कर्णस्य चतुर्भुजं त्रिभुजे पतति तादृशं क्षेत्रं कृत्वा बअजअभुजौ वर्द्धनीयौ यथा कर्णचतुर्भुजे मचिन्हे नचिन्हे च संपातं करिष्यत: । मचिन्हं नचिन्हं च हचिन्हे दचिन्हे क्रमेण पतिष्यति यदि भुजद्वयं समानं स्यात्। अथवा भुजद्वयोपरिपतिष्यति यदिन्यूनाधिकं स्यात्। पुन: दचिन्हात् हचिन्हात् दझलम्बो हतलम्ब: उभयोरुपर्युत्पाद्य:।
पुनरेतद्दूयं वरद्धनीयम्। बचिन्हाज्जचिन्हात् बवलम्बो जकलम्बश्र्च कार्य:। यथा वचिन्हे कचिन्हे मिलति। यदा भुजद्वयमधिकम न्यूनं स्यात् तदा बअभुज: अजाभुजादधिक: कल्पित:। पुनरहचिन्हात् हललम्बो जझरेखोपरि कार्य:। अयं लम्ब: अचिन्हात् अन्यत्र पतिष्यति यदा भुजद्वयं न्यूनाधिकं स्यात्। यदा द्वौ भुजौ समानौ स्यातां तदा अचिन्हे पतिष्यति।
पुनर्लकं अवक्षेत्रं च समकोणसमचतुर्भुजं स्यात् बदरेखावर्गतुल्यं च यदा भुजद्वयं समं स्यात् । यदा न्यूनाधिकं स्यात् तदा अकक्षेत्रं अवक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजं भविष्यति। लकक्षेत्रं च समकोणविषमचतुर्भुजं भविष्ति, पुन: अबजत्रिभुजं कहजत्रिभुजं लहजत्रिभुजं वबदत्रिभुजं चैतानि समानानि स्यु:।
पुन: अजमत्रिभुजं लहनत्रिभुजं च समानं कोणसमत्वात् अजभुजलहभुजयो: समत्वाच्च। तदा जमहनौ समौ भविष्यत:। महनदौ च समानौ स्यताम्।हमतत्रिभजं दनझत्रिभुजं च समानं भविष्यति। पूर्वं अजमत्रिभुजं लहनत्रिभुजं सममासीत्। अस्मिन् द्वये लअहमक्षेत्रंयोज्यते तदा नअमहक्षेत्त्रअबजत्रिभुजयोग: मजकतक्षेत्रदनझत्रिभुजवबदत्रिभुजयोगसमो जात:। पुनरुभयोर्दबअनक्षेत्रेण अजमत्रिभुजेन च योग: कार्य: ।
तत्र प्रथमात् वहवर्गो भविष्यति द्वितीयात् अवअकौ द्वौ समकोणचतुर्भुजौ भवत: । इष्टं च स्यात्।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (१२)
पुन: प्रकारान्तरम्।।
यदा कर्णस्य चतुर्भुजं अवसंज्ञैकचतुर्भुजं च त्रिभुजोपरि पतति भुजद्वयं समम च स्यात् तदा मदिष्टं प्रकटमेव।
कुत:।
उत्पन्नत्रिभुजानां समत्वात्। एतेषु त्रिभुजद्वययोग: भुजवर्गतुल्य:। चतुर्णां त्रिभुजानां योग: कर्णवर्गतुल्यो भवति। यदि ेबं अजादधिकं स्यात् तदा तस्य चतुर्भुजं कार्यम्। जअरेखा वरद्धनीया। यथा दहभुजे नचिन्हं स्पृष्ट्वा बहिर्गच्छति तथा कार्या। दचिन्हात् हचिन्हात् दसलम्बो हललम्बस्तस्यां रेखायां कार्य:। जचिन्हात् जकलम्ब: अजरेखायां कार्य: । पुनर्हचिन्हात् हकलम्ब:जकलम्बोपरि कार्य: । पुनर्बअरेखा वर्द्धनीया यथा जहभुजे मचिन्हं स्पृष्ट्वा अस्मिंल्लम्बे तचिन्हे मिलति। अक क्षेत्रं समकोणचतुरभुजमस्तीति पूर्वोक्तप्रकारवत् निश्र्चितम्।
पुनर्जवरेखा दअरेखा च कार्या। अजहलरेखयो: समत्वात् अजमकोणलहनकोणयो: समत्वाश्र्च अमजत्रिभुजं लहनत्रिभुजं समानं जातमिति निश्र्चितम्। पुनरुभयोर्लअमहक्षेत्रयोगादिति निश्र्चितं नअमहक्षेत्रं लजहत्रिभुजेन समानमस्ति। हजकत्रिभुजेनापि समानम्। पुनर्जमहनयो: समत्वात् महनदशेषौ समानौ जाताविति निश्र्चितम्।
अस्माद्भुजसमत्वात् कोणयो: साम्याच्च दसनत्रिभुजहमतत्रिभुजयो: समानत्वं जातमिति निश्र्चितम्। पुनरदबअकोणजबवकोणयो: समानत्वात् बदवजयो: समानत्त्वाच्च बवबअयो: समानत्वात् दबअत्रिभुज जबवत्रिभुजयो: समानत्वं निश्र्चितम्।
पुनरदअसकोणजवझशेषकोणयो: समानत्वात् सझकोणयो: समकोणत्वेन पुन: अदभुजवजभुजयो: समानत्वेन अदसत्रिभुजजवझत्रिभुजयो: समानत्वं निश्र्चितम्।
पुनर्दबअसौ जबवझयो: समानौ दसनत्रिभुजं हमतत्रिभुजेन समानं स्थितं तदा दबअनक्षेत्रंहमतत्रिभुजमनयोर्योग: जबवझक्षेत्रेण समान:। पुन: मजतकक्षेत्रं द्वयोर्युक्तं कार्यम् । तदा दबमहक्षेत्रमपि जबवझक्षेत्रमजकतक्षेत्राभ्यां समानमस्ति। पुनरबमजत्रिभुजं द्वयोर्युक्तं कार्यम्। तदा कर्णवर्ग: भुजद्वयवर्गसम: स्यात्।
यदा अबभुज: अजादूनोस्ति तदा न्यूनभुजो वर्द्धनीय:यथा दहरेखायां नचिन्हलग्नं सत् बहिर्गच्छति दचिन्हात् हचिन्हाच्च अस्योपरि दललम्बहतलम्बौ कार्यौ। तहरेखा च वरद्धिता कार्या। जचिन्हात् अस्योपरि जकलम्ब: कार्य:। तदेति निश्र्चितं अबजत्रिभुजं कहजत्रिभुजं दलबत्रिभुजं च समानमस्ति।
पुन: अकक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भुजमस्ति। दलनत्रिभुजं बदमत्रिभुजं च समानमस्ति। पुनर्नहमजौ समौ स्त:। पुनर्नतहत्रिभुजं मजझत्रिभजं च समानमस्ति। पुनरबदनत्रिभुजमझजत्रिभुजयोर्योग: कहजत्रिभुजनतहत्रिभुजबवमत्रिभुजानां योगेन तुल्य:।
पुन: शेषक्षेत्रं द्वयोर्युक्तं कार्यम्। तदा कर्णवर्ग: भुजद्वयवर्गतुल्य: स्यात्।
सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् (१३)
पुन: प्रकारान्तरम्।
त्रयाणाम भुजानां चतुर्भुजानि त्रिभुजे पतन्ति। यदा भुजद्वयं समानं स्यात् तदा भुजद्वयस्य चतुर्भुजे समाने स्यातमिष्टं च प्रकटीभविष्यति।
यदा चैको भुजो न्यूनाधिकोऽस्ति यथा अबं अधिकमस्ति तदा पूर्वोक्तप्रकारेण चतुर्भुजं कार्यम्। जकरेखा लचिन्हपर्यन्तं वरद्धनीया। तकरेखा मचिन्हपर्यन्तं च कार्या। दचिन्हात् दनलम्ब: अबरेखायां कार्य:। हचिन्हात् हसलम्ब: दनरेखायां कार्य:। जअरेखा च वरद्धनीया यथा हसरेखायां गचिन्हे लग्ना स्यात्।
तदा जदचतुर्भुजस्य चत्वारि त्रिभुजानि समानि उत्पत्स्यन्ते। तानि च पूर्वोक्तप्रकारेण समानि स्यु:। नगचतुर्भुजं शेषं स्यात् । एतच्च अबअजभुजयोरन्तरवर्ग एव।
पुनस्तझरेखा कार्या। तदा अलक्षेत्रस्य अमक्षेत्रस्य च चत्वारि त्रिभुजानि भविष्यन्ति।पूर्वोक्तचतुर्णां त्रिभुजानां समानि स्यु:
अथाष्टचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्।
तत्र यदा त्रिभुजस्यैकभुजवर्ग: शेषभुजद्वयवर्गसमान: स्यात् तदा शेषभुजद्वयमध्यकोण: समकोण: स्यात्।
यथा अबजत्रिभुजे बजवर्ग: अबअजयो: वर्गयोगसमानस्तदा अ: समकोणो जात:।
अयं भुजान्तरवर्गयुत: भुजद्वयवर्गसम: स्यात्।
यतोऽस्मिन् वअचतुर्भुजं युक्तं क्रियते तदा दजचतुर्भुजं भुजद्वयवर्गयोगसमानं भवति।।
तत्र यदा त्रिभुजस्यैकभुजवर्ग: शेषभुजद्वयवर्गसमान: स्यात् तदा शेषभुजद्वयमध्यकोण: समकोण: स्यात्।
यथा अबजत्रिभुजे बजवर्ग: अबअजयो: वर्गयोगसमानस्तदा अ: समकोणो जात:।
कुत:।
अदलम्ब: अजरेखायां अबतुल्य: कार्य:। जदरेखा लग्ना कार्या। तदा दजवर्गजबवर्गौ समौ स्त:। दजजबौ समौ स्त:। तदा अबजत्रिभुज अदजत्रिभुजयो: कोणौ भुजौ च समौ स्याताम्। तदा जअबकोणो जअदकोणेन सम: स्यात्। तदा जअब: समकोणो भविष्यति। इदमेवास्माकमिष्टम्।।
श्रीमद्राजाधिराजप्रभुवरजयसिंहस्य तुष्ट्यै द्विजेन्द्र:
श्रीमत्सम्राड् जगन्नाथ इति समभिधाख्यातनाम्ना प्रणीते।
ग्रन्थेऽस्मिन्नाम्नि रेखागणित इति सुकोनावबोधप्रदातर्यध्यायोऽमध्येतृमोहापह इति विरतिँ चादिम: संगतोऽभूत्।।
इति रेखागणिते प्रथमोऽध्याय: ।।१।।
---
🔺 सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् – पायथागोरस प्रमेयाचे विविध प्रकार
📘 मूल तत्त्व:
समकोण त्रिकोणात: कर्णाचा वर्ग = इतर दोन बाजूंच्या वर्गांचा योग
🔁 प्रकार 1–4:
समकोण त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूवर समकोण समचतुर्भुज रचले जातात.
रचनात्मक पद्धतीने सिद्धता केली जाते की कर्णावरचे चतुर्भुज = इतर दोन बाजूंवरील चतुर्भुजांचा योग.
🔁 प्रकार 5–6:
जर एक भुजावर चतुर्भुज दुसऱ्या भुजावर पातला जातो, तर समता स्पष्ट होते.
भुजद्वय समान नसल्यास, एक भुज वाढवून समचतुर्भुज रचना केली जाते.
🔁 प्रकार 7–8:
कर्णावर चतुर्भुज रचला जातो आणि त्याचे क्षेत्रफळ दोन बाजूंवरील चतुर्भुजांच्या योगाशी समतुल्य ठरते.
त्रिभुजांचे समता, कोन समता, आणि रेषा समता वापरून सिद्धता.
🔁 प्रकार 9–10:
जर भिन्न भुजांवर चतुर्भुज रचले जातात आणि ते त्रिभुजांमध्ये विभागले जातात, तर त्यांचे योग कर्ण चतुर्भुजाशी समतुल्य ठरतात.
कोणत्याही भुजांवर चतुर्भुज रचून, समता सिद्ध करता येते.
🔁 प्रकार 11–13:
जर चतुर्भुज स्वतःच्या भुजांवर पातले जातात, तर क्षेत्रसंख्या आठपट होते.
भुजद्वय समान असो वा असमान, समकोण समचतुर्भुज रचना करून क्षेत्रफळ समता सिद्ध करता येते.
त्रिभुजांचे योग, कोन समता, आणि रेषा समता वापरून कर्णवर्ग = भुजवर्गयोग सिद्ध केला जातो.
✅ सारांश निष्कर्ष:
आपण विविध प्रकारांनी सिद्ध केले की:
समकोण त्रिकोणात, कर्णावर रचलेले समकोण समचतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ = इतर दोन बाजूंवर रचलेल्या समकोण समचतुर्भुजांच्या क्षेत्रफळांचा योग
🔺 अष्टचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् – पायथागोरस प्रमेयाचे प्रतिलोम
📘 तत्त्व:
जर एखाद्या त्रिकोणात एका बाजूचा वर्ग उर्वरित दोन बाजूंच्या वर्गयोगास समतुल्य असेल, तर त्या दोन बाजूंमध्ये असलेला कोन समकोण असतो.
🧭 उदाहरण:
अबज त्रिकोणात, जर बज² = अब² + अज², तर कोन ∠A हा समकोण (९०°) असतो.
🧠 सिद्धता:
अज रेषेवर, अब लांबीचा लंब तयार करा → अदलंब
जद रेषा तयार करा, जी अदलंब ला जोडते.
आता दज² = अज² + अब² → म्हणजेच दज² = बज²
त्यामुळे दज = बज, आणि दज त्रिकोण ≅ बज त्रिकोण
परिणामी, कोन ∠A = ∠D = ९०° → ∠A हा समकोण ठरतो.
✅ निष्कर्ष:
जर त्रिकोणात एका बाजूचा वर्ग उर्वरित दोन बाजूंच्या वर्गयोगास समतुल्य असेल, तर त्या दोन बाजूंमध्ये असलेला कोन समकोण असतो.
📜 ग्रंथ संदर्भ:
आपण शेवटी उल्लेख केलेला ग्रंथ—रेखागणित—हा श्रीमद्राजाधिराज जयसिंह यांच्या प्रेरणेने द्विजेन्द्र जगन्नाथ यांनी रचलेला आहे. हा ग्रंथ केवळ गणितीय तत्त्वज्ञान नव्हे, तर संस्कृत भाषेतील तर्कशुद्ध रचनात्मक शैली आणि श्लोकबद्ध Euclidean Geometry चे अप्रतिम उदाहरण आहे.
No comments:
Post a Comment