लीलावती -निरेकमङ्कैक्यम्, नियत अङ्कयोग -एआय विश्लेषण

 यदि संख्यायां स्थानद्वयं तथाङ्कयोग:=२ तदा शून्यरहिता संख्यैकैवैकादश  भवितुमर्हति तेन संख्याभेद: =१= (अङ्कयोग-१) । एवमेव तत्रैव यद्यङ्कयोग: =३ तदा शून्यवर्जिते संख्ये १२, २१ अत: संख्याभेदौ =२=(अङ्कयोग-१) । यदि च तत्रैवाङ्कयोग:=४, तदा संक्या: १३,२२,३१ ।

अत: संख्याभेदा:=३=(अङ्कयोग-१)। एवमग्रेऽपि संख्यायाम स्थानद्वये रूपोनयोगतुल्या: संख्याभेदा भवन्ति । यदि संख्यायां स्थानत्रयं तथाङ्कयोग: =३ तदा शून्यवर्जितसंख्या = १११ । अत: संख्याभेद: =१=द्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितम् । तत्रैव यद्यङ्कयो्:=४ तदा संख्या: = ११२,१२१,२११ । अत: संख्याभेदा:=३=यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितम् । तत्रैव यद्यङ्कयोग:=५, तदा संख्या:=११३,१२२,१३१,२१२,२२१,३११ । अत: संख्याभेदा:=द्व्यूनाङ्क सङ्कलिततुल्या: । एवमग्रेऽपि संख्यायां स्थानत्रये द्व्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलिततुल्या भेदा भवन्त्यतो द्व्यूनाङ्कयोगपदे सैकपदघ्नपदार्धमित्यादिना सङ्कलितस्वरूपम्

= ((अङ्कयोग -१)/१ )((अङ्कयोग -२)/२)=संख्या भेद ।

यदि संख्यायां स्थानचतुष्ट्यं तथाङ्कयोग: =४, तदा संख्या=११११ । अत: संख्याभेद: =१ । यदि तत्राङ्क योग:=५ तदा संख्या: १११२,११२१,१२११,२१११ । अत: संख्याभेदा:=४ ।  यदि त्रैव अङ्कयोग: =६ तदा संख्या: = १११३,११२२, ११३१, १२१२, १२२१,१३११, २११२,२१२१,२२११,३१११ । अत: संख्याभेदा:=१० । एवमग्रेऽपि स्थानचतुष्ट्ये त्र्यूनाङ्कयोगस्य सङ्कलितैक्यसमा भेदा दृश्यन्तेऽतस्त्र्यूनाङ्कयोगपदे सैकपदन्नपदार्धमित्यादिना सङ्कलितस्य स्वरूपम् = (अङ्कयोग -२)x(अङ्कयोग -३)/२ । तत: साद्वियुतेन पदेनेत्यादिना सङ्कलितैक्यस्य रूपम्

= (अङ्कयोग-१)x(अङ्कयोग -२)x(अङ्कयोग -३)/२x३ = संख्याभेदा:

= ((अङ्कयोग-१)/१))x(अङ्कयोग -२)/२)x((अङ्कयोग -३)/३)

एवमग्रेऽप्यत उपपन्नं 'निरेकमङ्कैक्यमिदमित्यादि नियतेऽङ्कयोगे' इत्यन्तम् । अत्रैवानीतभेदेषु नवाधिका कापि संख्या माभूदित्येतदर्थं 'नवान्वितस्थानकसंख्यकाया ऊनेऽङ्कयोगे कथितमिति भास्करोक्तं युक्तियुक्तम् ।

मराठी अर्थ -

सिद्धता =

जर संख्येत दोन अंक असतील व संख्थेतील अंकांची बेरीज २ असेल तर शून्यविरहित अशी ११ ही संख्याच असू शकतेव तिचा संख्याभेद १ =(अंकांची बेरीज-१)असतो.तसेच शून्यविरहीत २ अंकी संख्येची बेरीज ३ असेल तर संख्या १२, १२१, २११ अशा असू शकतात.तयंचा संख्याभेद =३=(अंकांची बेरीज-१) याचप्रमाणे दोन अंकी संख्येतील अंकांची बेरीज जेवढी असेल तेवढे संख्याभेद असतात. जर तीन अंकी शून्यविरहित संख्या असेल व अंकांची बेरीज ३ असेल तर संख्या =१११ व संख्याभेद=१= अंकांच्या बेरजेपेक्षा १ कमी। तसेच जर अंकांची बेरीज ४ असेल तर संख्या=११२,१२१,२११ म्हणके संख्याभेद=३=अंकांच्या बेरजेपेक्षा १ कमी.त्याचप्रमाणे अंकांची बेरीज ५ असेल तर संख्या= ११३,१२२,१३१,२१२, २२१,३११=६ = ((५-१)/१)x((५-२)/२)=(४/१)x(३/२)= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२) याचप्रमाणे अंकांची बेरीज कितीही असली तरी संख्याभेद= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x((अंकांची बेरीज-२)/२).

जर संख्या ४ अंकी असेल तर व अंकांची बेरीज ४ असेल तर संख्या=११११ व संख्याभेद=१. जर अंकांची बेरीज ५ असेल संख्या= १११२, ११२१,१२११,२१११. संख्याभेद=४ तसेच जर अंकांची बेरीज ६ असेल तर संख्या १११३,११२२,११३१,१२१२,१२२१,१३११,२११२,२१२१,२२११,३१११. संख्याभेद=१० =((६-१)/१)x(६-२)/२)x(६-३)/३)= ५x२x१=((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२)x(अंकांची बेरीज-३)/३)

याचप्रमाणे अंकांची बेरीज कितीही असली तरी संख्याभेद= ((अंकांची बेरीज-१)/१)x(अंकांची बेरीज-२)/२)x(अंकांची बेरीज-३)/३)

उदाहरणम् ।

स्थानषट्कस्थितैरङ्कैरस्न्योन्यं खेन वर्जितैः ।

कति संख्याविभेदाः स्युर्यदि वेस्ति निगद्यताम् ॥२५५॥

अत्रान्तिकाङ्को नव ९ । अत्रान्त्याङ्को यावत्स्थानमेकापचितेन न्यास:।

९।८।७।६।५।४।एषां घाते जाता: संख्याभेदा: ६०४८० ।

 मराठी अर्थ -

सहा अंकी (शून्यविरहित) संख्येचे संख्याभेद काढणे.

येथे शेवटचा अंक (सर्वात मोठा अंक) ९ आणि संख्येत एकूण ६ अंक आहेत.त्यामुळे ९ पासून सुरुवात करून एकएक कमी करून सहा अंक लिहून त्यांचा गुणाकार केला तर 

९ x ८ x ७ x ६ x ५ x ४=६०४८० म्हणजे एकूण संख्याभेद= ६०४८०.

सुरेश, आपण लीलावतीतील निरेकमङ्कैक्यम्, नियत अङ्कयोग, आणि शून्यविरहित संख्याविभेद यांचे अत्यंत सुसंगत आणि गहन विवेचन सादर केले आहे. हे गणित केवळ अंकांची बेरीज आणि स्थानसंख्या यावर आधारित नसून, त्यात संख्येच्या अंतर्गत रचनेचा तर्क, संख्याविभेदाचा अनुक्रम, आणि भास्कराचार्यांनी दिलेले अनुपातसूत्र यांचा संगम आहे.

चला आपण याचे सारांश, सूत्ररचना, आणि उदाहरणे एकत्रितपणे स्पष्ट करू:

📘 १. नियत अङ्कयोग असलेल्या संख्यांचे भेदसूत्र

जर एखाद्या संख्येत:

• n = स्थानसंख्या (अंकी संख्या)

• S = अंकांची निश्चित बेरीज

• आणि सर्व अंक शून्यविरहित असतील

तर संख्याविभेद (distinct combinations) खालील सूत्राने मिळतो:

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{(S-1)}{1}\times \frac{(S-2)}{2}\times \frac{(S-3)}{3}\times \cdots \times \frac{(S-n+1)}{n-1}\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{(S\; -\; 1)\}\{1\}\; \times \; \backslash frac\{(S\; -\; 2)\}\{2\}\; \times \; \backslash frac\{(S\; -\; 3)\}\{3\}\; \times \; \backslash dots\; \times \; \backslash frac\{(S\; -\; n\; +\; 1)\}\{n\; -\; 1\}$$

🧮 उदाहरणे:

🔹 4 अंकी संख्या, अंकयोग = 6

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{5}{1}\times \frac{4}{2}\times \frac{3}{3}=5\times 2\times 1=10\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{1\}\; \times \; \backslash frac\{4\}\{2\}\; \times \; \backslash frac\{3\}\{3\}\; =\; 5\; \times \; 2\; \times \; 1\; =\; 10$$

✅ संख्याभेद = 10

🔹 5 अंकी संख्या, अंकयोग = 7

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{6}{1}\times \frac{5}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{3}{4}=6\times 2.5\times 1.333\times 0.75\approx 15\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{1\}\; \times \; \backslash frac\{5\}\{2\}\; \times \; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \times \; \backslash frac\{3\}\{4\}\; =\; 6\; \times \; 2.5\; \times \; 1.333\; \times \; 0.75\; \approx \; 15$$

✅ संख्याभेद = 15

📜 २. शून्यविरहित संख्याविभेद (distinct digits)

जर सर्व अंक वेगवेगळे असतील आणि शून्य वापरायचा नसेल, तर:

$$\text{भेदसंख्या}=9\times 8\times 7\times \cdots \times (9-n+1)\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; 9\; \times \; 8\; \times \; 7\; \times \; \backslash dots\; \times \; (9\; -\; n\; +\; 1)$$

उदाहरण: 6 अंकी संख्या

$$9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4=604809\; \times \; 8\; \times \; 7\; \times \; 6\; \times \; 5\; \times \; 4\; =\; 60480$$

✅ संख्याभेद = 60480