गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - श्लोक २३ आणि २४ - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 अथवा सूत्रम् ।

* कृत्वाभीष्टं भद्रं

तत्फलरहितेप्सितं तु चरणाप्तम् ।।२३।।

भद्रगृहाङ्केष्वाद्ये

लब्धं संयोज्यते भद्रम् ।

उदाहरणम् ।

भद्रं च षोडशगृहं कलितं यदङ्कै:

कै: कैश्र्च तच्छतमिहैव फलं प्रजातम् ।

यद्यस्ति भद्रगणितार्णवकर्णधार-

शक्तिस्तव द्रुततरं बहुधा प्रचक्ष्व ।।६।।

* अत्रोपपत्ति:।

भद्रकोष्ठेषु समाङ्का: क्षिप्यन्ते तदापि योग: सर्वत्र तुल्य एव । अतोऽभीष्टे भद्रे यत् फलं तत्फलेन रहितमभीष्टं फलं शेष एकस्मिन् चरणे संयोज्यते तदाऽभीष्टफलं भद्रं जायते। ततस्त्रैराशिकम् ।

चरणमितेषु कोष्ठेषु शेषसमा योजनाङ्कास्तदैक-

 कोष्ठे किमिति लब्ध: सर्वकोष्ठेषु योजनाङ्क: । इति।

अथवा समगर्भाणाम संपुटीकरणे सूत्रम्।

*समगर्भे द्वे कार्ये

छादकसंज्ञं तयोर्भवेदेकम् ।।२४।।

📘 श्लोक २३ – इच्छित फल प्राप्त करण्याचे सूत्र

संस्कृत श्लोक:

कृत्वा भीष्टं भद्रं तत्फलरहितेप्सितं तु चरणाप्तम् ।।२३।। भद्रगृहाङ्केष्वाद्ये लब्धं संयोज्यते भद्रम् ।

🗣️ मराठी भाषांतर:

जेव्हा इच्छित भद्र चौरस तयार केला जातो, पण त्याचे फल अपेक्षित फलापेक्षा कमी असते, तेव्हा त्या फरकाचा भाग (शेष) एका चरणात समप्रमाणात जोडला जातो, आणि त्यामुळे इच्छित फल प्राप्त होते.

🧮 उपपत्ति (गणितीय तर्क):

• भद्रकोष्ठांमध्ये समअंक भरले तरी प्रत्येक पंक्ती, स्तंभ, व कर्णाचा योग समान राहतो.

• जर भद्र तयार झाला आणि त्याचे फल $F_{1}F\_1$ असेल, पण आपल्याला फल $F_{2}F\_2$ हवे असेल, तर फरक $\mathrm{\Delta }F=F_2-F_1\Delta F\; =\; F\_2\; -\; F\_1$ एका चरणात (पंक्ती/स्तंभ) समप्रमाणात वाटून जोडला जातो.

• यासाठी त्रैराशिक पद्धती वापरली जाते:

• हे अंक सर्व कोष्ठांमध्ये जोडल्यास नवीन फल प्राप्त होते: $$ F_{\text{नवीन}} = F_{\text{मूळ}} + ΔF $$

✍️ उदाहरण (श्लोक ६):

भद्रं च षोडशगृहं कलितं यदङ्कैः कैः कैश्च तच्छतमिहैव फलं प्रजातम् । यद्यस्ति भद्रगणितार्णवकर्णधार- शक्तिस्तव द्रुततरं बहुधा प्रचक्ष्व ।।६।।

🔍 इथे १६ कोष्ठांचा भद्र तयार केला आहे. त्यात विशिष्ट अंक भरून फल १०० प्राप्त झाले आहे. प्रश्न: हे फल कोणत्या अंकांनी, कोणत्या पद्धतीने मिळाले? उत्तर: जर तुम्ही भद्रगणिताचा गाढा अभ्यास केला असेल, तर हे अनेक प्रकारांनी स्पष्ट करावे.

📘 श्लोक २४ – समगर्भ संपुटीकरण सूत्र

संस्कृत श्लोक:

समगर्भे द्वे कार्ये छादकसंज्ञं तयोर्भवेदेकम् ।।२४।।

🗣️ मराठी भाषांतर:

जेव्हा दोन समगर्भ कार्ये (समान फल असलेले भद्र) एकत्र केली जातात, तेव्हा त्यांचा एकत्रित परिणाम 'छादक' संज्ञेने ओळखला जातो.

🔍 हे सूचित करते की दोन भद्र चौरस एकत्र करून एक नवीन रचना तयार करता येते, ज्याचे फल पूर्वीच्या दोन्हींच्या फलांशी सुसंगत असते.

🔍 सूत्राचा सारांश

घटक	अर्थ
भीष्टं भद्रं	इच्छित रचना
तत्फलरहितम्	अपेक्षित फलापेक्षा कमी
चरणाप्तम्	किती चरणांत शेष वाटायचा
संयोजनाङ्क	प्रत्येक कोष्ठात जोडायचा अंक
छादक	दोन समगर्भ रचनांचा एकत्रित परिणाम

जर तुम्हाला या सूत्रांवर आधारित विशिष्ट उदाहरणांची गणना, फलवाढीचे पायरीपायरी विश्लेषण, किंवा संगणकीय अनुकरण हवे असेल, तर मी पुढे मदत करू शकतो.