रेखागणितम् - 6-10 मराठी भाषांतर - एआय सारांश

 अथ षष्ठं क्षेत्रम् ।

If in a triangle two angles equal one another, then the sides opposite the equal angles also equal one another.

तत्र यस्य त्रिबुजस्य कोणद्वयम समानं तत्कोंसंबन्दि भुजद्वयमपि समानं भवति ।

अत्रोपपत्ति ।

तत्र अबजत्रिभजे बजकोणौ समानौ । अबं अजमपि समानम् । यदि भुजद्वयं समानम न भवति एको भुजोऽधिक: स्यात्तदा अधिकभुज: अजं कल्पित: । बअसमानं जदं भिन्नं कृत्वा बदरेखा कार्या । अजबत्रिभुजे अबभुजो बजभुज; अबजकोण: दबजत्रिभुजस्य दजभुजेन जबभुजेन दजबकोणेन समान: । एवं बृहत्त्रिभुजं लघुत्रिभुजसमानं जातम् । तदिदमनुपपन्नम् । बृहत्क्षेत्रं लघुक्षेत्रेण कथं समानं भविष्यति । तस्मात् अजं अबं समानम् । तदेवमुपपन्नं कोनद्वयसाम्ये तत्सक्तभुजद्वयसाम्यं भवतीति ।।

तत्र यस्य त्रिबुजस्य कोणद्वयम समानं तत्कोंसंबन्दि भुजद्वयमपि समानं भवति ।

अत्रोपपत्ति ।

तत्र अबजत्रिभजे बजकोणौ समानौ । अबं अजमपि समानम् । यदि भुजद्वयं समानम न भवति एको भुजोऽधिक: स्यात्तदा अधिकभुज: अजं कल्पित: । बअसमानं जदं भिन्नं कृत्वा बदरेखा कार्या । अजबत्रिभुजे अबभुजो बजभुज; अबजकोण: दबजत्रिभुजस्य दजभुजेन जबभुजेन दजबकोणेन समान: । एवं बृहत्त्रिभुजं लघुत्रिभुजसमानं जातम् । तदिदमनुपपन्नम् । बृहत्क्षेत्रं लघुक्षेत्रेण कथं समानं भविष्यति । तस्मात् अजं अबं समानम् । तदेवमुपपन्नं कोनद्वयसाम्ये तत्सक्तभुजद्वयसाम्यं भवतीति ।।

अथ सप्तमं क्षेत्रम् ।

Given two straight lines constructed from the ends of a straight line and meeting in a point, there cannot be constructed from the ends of the same straight line, and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each equal to that from the same end.

तत्रैकरेखोभयपार्श्र्वयोरनि;सृतम रेखाद्वयं यत्र मिलितम तच्चिन्हादन्यत्र तद्रेखाद्वयसंपातो न भवति कदापिति ।

अत्रोपपत्ति: ।

अबरेखाप्रान्ताभ्यांअजरेखा बजरेखा च नि:सृता जचिन्हे तयोर्योगो जात: । अथ यदि तत्समानमन्यद्रेखाद्वयमन्यत्र चिन्हे मिलति इति कल्प्यते तदा अजरेखातुल्या अदरेखा बजरेखातुल्या बदरेखा दचिन्हे मिलिता स्यात् । पुनर्दजरेखा निष्कास्या । तदा अजदकोण: अदजकोणेन समान: स्यात कुत: । अजअदयो: समानत्वात् । अथ च बजदकोण: अजदकोणादल्पो भविष्यति । पुन: अदजकोण: बदजकोणादल्पोऽस्ति । बजदकोण: बदजकोणादत्यन्तमल्प: स्यात् । इमौ समानौ स्त: । कुत: । बदबजभुजयो: साम्यात् । तस्मादिदमनुपपन्नं यत: समानौ कोणौ विषमौ जातौ । तदेवमुपपन्नं जचिन्हादन्यत्र भुजयोगो न भविष्यतीति ।।

अथाष्टमं क्षेत्रम् ।

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and also have the base equal to the base, then they also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.

यस्य त्रिभुजस्य भुजत्रयमन्यत्रिभुजस्य भुजै: समानं भवति तदा तस्य कोणत्रयमपि अन्यत्रिभुजकोणैरवश्यं समानं भविष्यति ।

तत्रैकं त्रिभुजं अबजं द्वितीयं दहझं च कल्पितम् । अत्र अबभुज: दहभुजसमान: अजभुजस्तु दझभुजेन समान: बजभुज: हझेन च समान: कल्पित: ।

यदा भुजत्रयं समानं जातं तदा अकोण: दकोणेन समान: बकोणस्तु हकोणेन समान: जकोणो झकोणेन समानो भविष्यति । कुत: ।

बजभुजं हझभुजे स्थाप्यते क्षेत्रं क्षेत्रे च स्थाप्यते तदा शेषौ अबअजौ भुजौ दहदझभुजयो: स्थास्यत: । यदि न स्थास्यतस्तदा भिन्नौ तिष्ठत: । यथा वहवझौ कल्पितौ ।

तत्रेयमनुपपत्ति: ।

दहदझरेखे हझरेखोभयप्रान्ताभ्यां नि:सृते दचिन्हे मिलिते वहबझरेखे पूर्वरेखासमाने प्रान्ताभ्यां नि:सृते वचिन्हे मिलिते । इदमनुपपन्नम् । इदं सप्तमक्षेत्रे प्रतिपादितमस्ति । तस्माद्त्रिभुजं त्रिभजोपरि स्थास्यत्येव । कोणा अपि कोणसमाना भवन्त्येव । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।।

अथ नवमं क्षेत्रम् ।

To bisect a given rectilinear angle.

तत्र कोणस्य समानभागद्वयकरणं प्रदर्श्यते । तद्यथा बअजकोण: कल्पनीय: । बअभजे दचिन्हं कृतम् । तत्तुल्यमेव द्वितीयेऽपि भुजे हचिन्हं कार्यम् । दहरेखाकार्या । दहरेखोपरि दझहं समत्रिभुजं कार्यम् ।

अझरेखा कार्या । इयं रेखा अकोणस्य समं भागद्वयं करोति ।

यतो दअझत्रिभुजे हअझत्रिभजे दअभुज: हअभुजश्र्च मिथ: समान: । दझभुजहझभुजौ समानौ । अझ उभयोरेक एवास्ति । उभयोस्त्रिभुजयोर्भुजा: समाना: । कोणा अपि समाना भवन्ति । तस्मात् झअदकोणझअहकोणौ समानौ जातौ । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।।

यदि झचिन्हं रेखयोरन्तर्गतप्रदेशमध्ये भवति रेखोपरि वा रेखाया बहिरन भवति तदेयमुपपत्तिरूपपन्ना भविषगयति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति ।

कुत: ।

यदि मध्ये न भविष्यति तदा रेखायां बहिरया भविष्यति । तदैतादृशं क्षेत्रं स्यात्तदृर्शनम् ।

तत्र झदहकोणझहदकोणौ समानौ भविष्यत: । जहदकोण: बदहकोणेन सम: । झचिन्हं यदि बदभुजे पतति तदा दहजबृहत्कोणखण्डं च इमौ समानौ जातौ । इदमनुपपन्नम् ।

यदि झचिन्हं बदभुजाद्बहिर्भविष्यति तदा झदहकोण: बदहकोणान्महान् भविष्यति । दहजकोणादपिभविष्यति ।

यतो बदहकोणो दहजकोणश्र्चेमौ समौ स्त: । झदह: महान्कोण: दहझकोणेनसमोऽस्ति । पुन: दहझकोणखण्डं दहजकोणान्महज्जातम् । तदिदमनुपपन्नम् । यत: खण्डं कोणादधिकं न भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यति ।।

पुन: प्रकारान्तरेण कोणस्यार्द्धकरणम् । 

तत्र दबरेखायां झचिन्हं कार्यम् । दझरेखातुल्यं हहवं पृथक्खार्यम् । झहवदरेखे कार्ये । संपात: तसंज्ञ: कल्पनीय: । अतरेखा कार्या । इयं अकोणस्य समानम भागद्वयं करोति ।

अत्रोपपत्ति:।

तत्र पञ्चमक्षेत्रकश्र्चितोपपत्या झहदकोण: वदहकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ । दतं हतं समानम् । दअतत्रिभुजं हअतत्रिभुजं समानम् । तस्मात् अकोणस्य भागद्वयं समानं जातम् ।।

अथ दशमं क्षेत्रम् ।

To bisect a given finite straight line.

तत्र यद्रेखाया: समानं भागद्वयमपेक्षितं भवति ।

तदा तद्रेखोपरि समत्रिभजं कार्यम् ।

यथा अबरेखोपरि समं अबजं त्रिभुजं कृतमस्ति । पुनस्तत्र जकोणस्य जदरेखया समानं भागद्वयं कृतं तदा जदरेखा अबरेखाया अपि समानं भागद्वयम करिष्यति ।

अत्रोपपत्ति: ।

अदजत्रिभुजे अजभुज: जदभुज: अजदकोणश्र्च दजबत्रिभुजस्थेन बजभुजेन जदभुजेन बजदकोणेन च समान: । तस्मात् अदं बदं द्वयमपि समानम् । तदेवमुपपन्नं रेखाया: समानं भागद्वयकरणम् ।।

🔺 षष्ठं क्षेत्रम् – दोन समान कोनांच्या समोरील बाजूही समान असतात

📘 उद्दिष्ट

जर त्रिकोणात दोन कोन समान असतील, तर त्या कोनांच्या समोरील बाजूही समान असतात.

🪜 सिद्धता

• समजा अबज त्रिकोणात कोन ब आणि कोन ज समान आहेत.

• जर अब ≠ अज, तर एक बाजू मोठी असते. समजा अज > अब.

• मग बअ = जद अशी रेषा काढून बद रेषा तयार करा.

• आता अजब आणि दजब हे दोन त्रिकोण तयार होतात.

• हे दोन्ही त्रिकोण समान कोन आणि दोन बाजूंनी समान आहेत, म्हणून ते समान असावेत.

• पण एक त्रिकोण दुसऱ्यापेक्षा मोठा आहे—हे विरोधाभास आहे.

• म्हणून अब = अज असावे लागते.

🎭 दृश्य कल्पना

• कोनांवर प्रकाश झोत, समोरील बाजूंवर रंगीत रेषा.

• विरोधाभास दाखवताना प्रकाश कमी होतो, नंतर समता सिद्ध झाल्यावर उजळतो.

🔺 सप्तमं क्षेत्रम् – एकाच रेषेच्या टोकांपासून दोन समान रेषा दुसऱ्या बिंदूवर जुळू शकत नाहीत

📘 उद्दिष्ट

एकाच रेषेच्या टोकांपासून दोन रेषा एका बिंदूवर जुळल्या असता, त्या रेषांच्या समतुल्य दुसऱ्या बिंदूवर रचना अशक्य आहे.

🪜 सिद्धता

• अब रेषेच्या टोकांपासून अज आणि बज रेषा काढून ज बिंदूवर जुळवले.

• समजा दुसऱ्या बिंदू द वर अद = अज, बद = बज रेषा काढल्या.

• मग दज रेषा काढली.

• कोनांची तुलना केल्यास विरोधाभास निर्माण होतो—समान कोन विषम होतात.

• म्हणून अशा रचना अशक्य आहेत.

🎭 दृश्य कल्पना

• दोन बिंदूंवर रेषा जुळवण्याचा प्रयत्न—एक यशस्वी, दुसरा अपयशी.

• कोनांच्या विषमतेवर प्रकाशाचा ताण.

🔺 अष्टमं क्षेत्रम् – तीन बाजू समान असतील तर तीन कोनही समान असतात

📘 उद्दिष्ट

दोन त्रिकोणांमध्ये तीनही बाजू समान असतील, तर तीनही कोनही समान असतात.

🪜 सिद्धता

• अबज आणि दहझ हे दोन त्रिकोण.

• अब = दह, अज = दझ, बज = हझ

• जर कोणे समान नसतील, तर त्रिकोण एकमेकांवर ठेवता येणार नाहीत.

• पण सप्तम क्षेत्रानुसार अशा रचना अशक्य आहेत.

• म्हणून कोणेही समान असतात.

🎭 दृश्य कल्पना

• दोन त्रिकोण एकमेकांवर ठेवले जातात—पूर्णतः जुळतात.

• कोनांवर प्रकाश झोत, समतेचा संकेत.

📐 नवमं क्षेत्रम् – दिलेल्या कोनाचे समभाग करणे

📘 उद्दिष्ट

दिलेल्या कोनाचे दोन समान भाग करणे.

🪜 पद्धत

• कोनाच्या बाजूंवर बिंदू ठेवा—द आणि ह

• दह रेषा काढा, त्यावर समभुज त्रिकोण तयार करा.

• अझ रेषा ही कोनाचे समभाग करणारी रेषा ठरते.

✅ सिद्धता

• दोन त्रिकोण समान आहेत—त्यामुळे कोणेही समान.

• झ बिंदू कोनाच्या मध्यभागीच असतो—अन्यथा विरोधाभास निर्माण होतो.

🎭 दृश्य कल्पना

• कोनाच्या विभाजनावर प्रकाश झोत, समता सिद्ध झाल्यावर दोन्ही भाग उजळतात.

📏 दशमं क्षेत्रम् – दिलेल्या रेषेचे समभाग करणे

📘 उद्दिष्ट

एक सरळ रेषा दोन समान भागांत विभागणे.

🪜 पद्धत

• रेषेवर समभुज त्रिकोण तयार करा.

• त्याच्या कोनावरून समभाग करणारी रेषा काढा.

• ती रेषा मूळ रेषेला समभाग करते.

✅ सिद्धता

• दोन त्रिकोण समान आहेत—त्यामुळे रेषेचे दोन्ही भाग समान.

🎭 दृश्य कल्पना

• रेषेच्या मध्यभागी प्रकाश झोत, दोन्ही भाग रंगीत आणि सम.