रेखागणितम् - 21-30 मराठी भाषांतर - एआय सारांश

 अथैकविंशतितमं क्षेत्रम् । 

तत्र त्रिभुजैकभजोभयप्रान्तात् नि:सृते रेखै त्रिभुजान्तर्मिलिते तद्भुजयोर्योग: त्रिभजशेषभुजयोगान्न्यूनोऽस्ति  अथचान्तर्गतभुजरेखायोगोत्पन्नकोण: त्रिभुजशेषभुजद्वययोगकोणादधिकोऽस्ति ।।

यथा अबजत्रिभजे बजभुजोभयप्रान्तान्नि:सृते बदजरेखे दचिन्हे मिलिते स्त: । बदजदयोगो बअजअयोगान्न्यूनोऽस्ति ।पुनर्बदजकोणोबअजकोणादधिकोऽस्ति ।

अस्योपपत्ति: ।

तत्र बदरेखा हपर्यन्तं नेया । बअअहभजुयोगो बहादधिकोऽस्ति । पुनर्हजरेखा बअअहरेखायां युक्ता कार्या । हजं बहेऽपि युक्तं कार्यम् । तदा बअअजयोगो बहहजयोगादधिको जात: । पुनरपि दहहजयोगो दजरेखाया अधिकोऽस्ति । पुनर्बदं दहहजे युक्तं कार्यम् । दजेऽपि युक्तं कार्यम् । तर्हि बहहजयोगो बददजयोगादधिको भविष्यति । तस्मात् बअअजयोगो बददजयोगादधिकोऽस्ति तदा बअअजयोगो बददजयोगादत्यन्तमधिको भविष्यति । पुनर्बदजकोणो दहजकोणादधिकोऽस्ति । दहजकोणोऽपि बअजकोणादधिक: । तस्मात् बदजकोणो बाजकोणादत्यन्तमधिको जात: । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

पुनरद्वितीयप्रकारेणोच्यते ।

तत्र बददजयोगो बअअजयोगाद्यदि न्यूनो न भवति तदा समानोऽथवा धिक: स्यात् । तत्र बददजरेखयोरन्यतरैका रेखा बअअजरेखयोरन्यतरैकरेखाया अल्पास्ति वा न वा । यद्यल्पास्ति तदा जदंजअरेखाया अल्पमस्तीति कल्पनीयम् । बदबअरेखयोरन्तरतुल्या अझरेखा भिन्ना कार्या । तदा झचिन्हं हचिन्हे न पतिष्यति । यदि पतिष्यति तदा बअअहयोगो तदा बहरेखात: न्यूनो भविष्यति इति बाधितम् । यतो भुजद्वययोगस्तृतीयभुजादधिकोऽस्ति ।

पुनर्झचिन्हं हजरेखायामपि न पतिष्यति । यदि पतिष्यति तदा बअअहयोगो बहरेखात: अत्यल्प: स्यात् । इदं बाधितम् । तर्हि झचिन्हं अहरेखायां भविष्यति । पुनर्झदरेखा कार्या । झबरेखा च कार्या । बदरेखाबअअझरेखायोगतुल्या बझादधिकास्ति । तदा बझदकोण: बदझकोणादधिको जात: । बदं बअअझयोगेन तुल्यं स्थितं तर्हि जदं जझेन तुल्यमधिकं वा स्थास्यति । तस्मात् जझदकोण: जदझकोणेन तुल्यो वाधिक: स्यात् । यदि जदं जझादधिकम स्यात् जझदकोणश्र्च जदझकोणेन तुल्य: स्यात् । यदि जदं जझादधिकं स्यात् तदा जझदकोणो जदझकोणादधिको भविष्यति । तदनन्तरं बझजकोणो बदझकोणजदझकोणयोगान्महान्स्यात् । इदं बाधितम् ।

यतो बदझकोणजदझकोणयोयोर्योग:  समकोणद्वयादधिकोऽस्ति । ततो बझजकोणौऽपि समकोणद्वययोगादधिकोऽस्ति । ततो बझजकोणौऽपि समकोणद्वययोगाददिको जात: ।इदं  बाधितम् ।

 त्रिभुजैककोणस्य समकोणद्वययोगादत्यल्पतवात् ।

पुन: जदभुज: जअभुजादल्पो न भविष्यति बदरेखा बअरेखायाश्र्च अल्पा न भविष्यति चेत् तदा समाना वा अधिका भविष्यति । तत्र अदरेखा कार्या । यथा पूर्वमुपपत्त्या साधितं तथात्रापि साध्यते । तद्यथा । बअजकोण: बदअजदअकोणयोर्योगेन समान: अतवाऽधोक: स्यात् । पक्षद्वयेऽपि इदमनुपपन्नम् । यत: बदअजदअकोणयोर्योग:

समकोणद्वयादधिकोऽस्ति । बअजकोणस्तु त्रिभुजस्यैककोणोऽस्ति ।

अयं समकोणद्वयाधिको जात इति बाधितम् । त्रिभुजे कोणद्वययोग: समकोणद्वयान्न्यून एव भवतीति नियमोऽस्ति । तस्मात् बददजरेखायोगोबअअजरेकायोगान्न्यूनोऽस्ति।

अथ अदरेखा वपर्यन्तं नेया । तत्र बदवकोण: बअदकोनादधिकोऽस्ति । जदवकोणश्र्च जअदकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् बदजकोण: बअजकोनादधिक: सिद्ध:।

इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ द्वाविंशतितमम क्षेत्रम् ।

तत्रैकं त्रिभुजं कर्त्तुमपेक्षास्ति तत्र त्रयो भुजास्तथा कल्पनीया: यथा भुजद्वययोगस्तृतीयभुजादधिको भवति ।

ते च त्रयो भुजा: अबजसंज्ञा: ज्ञेया: ।

तत्र प्रथमं दहरेखा कार्या । दहरेखायां दझरेखा आरेखातुल्या पृथक् कार्या । झवरेका च बरेखातुल्या पृथक् कार्या । वतरेखा जरेखातुल्या पृथक् कार्या । पुनर्झकेन्द्रं कृत्वा झदव्यासार्धेन दकलवृत्तं कार्यम् । वकेंद्रं कृत्वा वतव्यासार्धेन तकलवृत्तं कारयम् । तदा वृत्तद्वयसंपात: कचिन्हे भवति । पुन: कझ कवरेखा च कार्या । तत्र कझवत्रिभुजमस्माकममभीष्टं जातम् ।

अत्रोपपत्ति: ।

कझभुज: झदतुल्योऽस्ति ।झदं अतुल्यमस्ति । कझं अतुल्यं जातम् । झवभुजश्र्च वतुल्योऽस्त्येव । पुनर्वकभुज: वततुल्योऽस्ति । वतं जतुल्यमस्ति तस्मात् वकं जतुल्यं जतुल्यं जातम् ।

अथास्माभिर्यदुक्तं तिस्त्रो रेखास्तदरशा अपेक्षिता: यासु रेखाद्वययोगस्तृतियरेखाया अदिको भवतीति किमर्थमुक्तमिति चेत्तत्र पूर्वोक्तोपपत्या रेखाद्वययोगस्तृतीयरेखाया अदिकोऽस्तीति प्रतिपादितमेव । अत एव वृत्तद्वयसंपातो भवति ।

कुत: । 

अरेखाबरेखायोग: जरेखाया यद्यधिको न भवति तदा वतरेखा वदरेखातुल्या भविष्यति अथवाधिका भविष्यति । तस्मात् कतलवरत्तं कदलवरत्तं स्वान्:पाति करिष्यति । अथ दचिन्हे तदा संलग्नं भविष्यति याद वतं वदसमानं स्यात् ।

तदा दचिन्हात् परतो भविष्यति यदा वतं वदादधिकं स्यात् । पुन: समपातो न भवति । यदि बरेखाजरेखायोग: अरेखातोऽदिको न स्यात्तदा कदलवरत्तं कतलवृत्तम तचिन्हे लगिष्यति । यदि दझं झतात् अदिकं स्यात् तदा दकलवरत्तं तचिन्हात् परतोभवोष्यति । वृत्तद्वयसंपातस्तदापि न भविष्यति ।

पुन: अरेखाजरेखायोग: बरेकाया अदिको न भविष्यति तर्हि झवरेखा वतरेखाझदरेखायोगतुल्याधिका वा स्यात्। तदापि संपातो न भविष्यति । एवं तदैकं वृत्तं अन्यद्वृत्तं स्वान्तर्गतं न करिष्यति किं तु वृत्तद्वयं भिन्नं भिन्नं स्थास्यति यद्यधिकस्तदेति ।।

अथ त्रयोविंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र अभीष्टरेखाया अबीष्टचिन्होपरि कल्पितकोनतुल्य: कोण: कर्तव्योऽस्ति ।

तत्करनप्रकारो यथा । 

अबरेखोपरि अचिन्हे जकोणतुल्य: कोण: कर्तव्यो'स्ति । तत्र प्रथमं जकोणस्य भुजद्वयोपरि दहचिन्हद्वयं कार्यम् । दहरेखा कार्या । अबरेखोपरि अवझत्रिभुजं जदहत्रिभुजतुल्यं कार्यम् । तत्र अवरेखा जहतुल्या अझरेखा जदतुल्या वझरेखा दहतुल्या च कार्या । तत्र अकोणो जकोणतुल्यो जात: ।

 इदमेवास्माकमभीष्टम् ।

अथ चतुर्विंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्राभीष्टत्रिभुजस्य भुजद्वयं अन्यत्रिभुजभुजद्वयसमानमस्ति तत्र प्रथमत्रिभुजस्य भुजद्वयसंबन्धिकोणो द्वितीयत्रिभुजभुजद्वयजनितान्तर्गतकोणादधिकश्र्चेदस्ति तदा प्रथमस्य तृतीयभुज: द्वितीयस्य तृतीयभुजान्नियमेन अधिक: स्यात् ।

यता एकं अबजत्रिभुजं द्वितीयं दहझत्रिभुजं चास्ति । तत्र अबभुजो दहभुजतुल्योऽस्ति अजभुजश्र्च दझबुजतुल्य: । तत्र अकोणो दकोणादधिकोऽस्ति । तदा बजभुजो हझभुजादधिक: स्यादेवेत्यत्र किंचित्रम् ।

अत्रोपपत्ति: ।

दहरेखाया दचिन्हे हदवकोणो बअजतुल्य: कर्तव्य: । त्तर दवरेखा अजरेखातुल्या कर्तव्या । हवरेखा च कार्या । अत हवरेखा बजरेखातुल्यास्ति । पुनर्वझरेखा कार्या । तदा दवझत्रिभुजे दवभुजो दझभुजश्र्चेमौ समानौ । दवझकोणो दझवकोण एतौ समानौ स्त: । पुनर्हझवकोणौ दझवकोणादधिकोऽस्ति । हवझकोणश्र्च दवझकोणादल्प: । एवं हझवकोणो हवझकोणादधिकोऽस्ति । हवभुजोऽपि हझभुजादधिको जात: । पुनर्हवभुजो बजभुजतुल्योऽस्ति । तस्मात् बजभुजो हझभुजादधिको जात इति सिद्धम् ।।

पुन: प्रकारान्तरम् ।

एवं पूर्वोक्तप्रकारेणोपरिस्था हवरेखा न चेत्तदा हवरेखा दझरेखायां संपातं करिष्यति वा हझरेखायां पतिष्यति वा हझरेखाया अध: पतिष्यतीति प्रकारत्रयेण तस्या: संस्था जाता । प्रथमप्रकारस्तु पूर्वं कथित: । द्वितीयप्रकारे तु हझरेखा हवरेखाया: खन्डं भविष्यति । तदा हवरेखा हझरेखाया: अधिका जाता ।

तृतीयप्रकारे तु तकपर्यंन्तं दझवरेखे कार्ये । झवरेखा च कार्या । तदा तझवकोणकवझकोणौ तुल्यौ भविष्यत: । एवं जझवकोण: तझवकोणादधिक: । हवझकोणस्तु कवझकोणान्न्यून: । तदा हवभुज: हझभुजादधिक: स्यात् ।।

अथ पञ्चविंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्रैकस्य  त्रिभुजस्य भुजद्वयं द्विथियत्रिभुजस्य भुजद्वयेन समान: प्रथमस्य तृतीयभुजश्र्च द्वितीयस्य तृतीयत्रिभुजाददिकस्तदा प्रथमत्रिभुजस्य समानभुजद्वयोत्पन्नकोणो द्वितीयत्रिभुजस्य भुजद्वयान्तर्गतकोणादधिक: स्यात् ।

यथा एकं अबजत्रिभुजं द्वितीयं दहझत्रिभुजं तत्र अबभुजो दहभुजेन तुल्य: । अजभुजो दझभुजेन तुल्य: । बजभुजोऽपि हझभुजादधिक: ।

तदा बअजकोणो हदझकोणादधिक: स्यात्। यदि तुल्यस्तदा बजभजो हझभुजतुल्य: स्यात् । इदं बाधितम् । अथ च यदि न्यूनस्तदा बजभुजो हझान्न्यून: स्यात् । इदमपि बाधितम् । यतो बजभुजो हझभुजादधिकोऽस्ति । तस्माद्बअजकोणो हदझकोणादधिको जात इति सिद्धम् ।।

पुन: प्रकारान्तरम् ।

दं केन्द्रं कृत्वा दझव्यासार्धेन झववृत्तं कारयम् । हझं तपर्यन्तं नेयम् । हतं बजतुल्यं कार्यम् । पुन: हं केन्द्रं कृत्वा हतव्यासार्धेन तववृत्तं कार्यम् । वृत्तद्वयसंपातो वचिन्हे भवति । दवरेखा हवरेखा च कार्या । तदा हदवत्रिभुजस्य त्रयो भुजा: बअजत्रिभुजस्य भुजत्रयेण समाना जाता: । कदवकोणश्र्च हदझकोणाददिक इति सिद्धम् ।

अथ षड् विंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र एकस्य त्रिभुजस्य कोणद्वयमेको भुजश्र्चान्यस्य त्रिभुजस्य कोणद्वयेनेकभुजेन च समानश्र्चेच्छेषौ भुजौ शषकोणश्र्च तुल्यादेव भविष्यत: क्षेत्रं क्षेत्रसमानं च भविष्यति ।

यथा अबजत्रिभुजे दहजत्रिभुजे च अकोणो दकोणतुल्य: । बकोणश्र्च हकोणतुल्य: । अबजत्रिभुजे दहझत्रिभुजे च अकोणो दकोणतुल्य: । बकोणस्च हकोणतुल्य: । अबभुजदहभुजौ च तुल्यौ कल्पितौ । अथवा बजभुजहझभुजौ च तुल्यौ कल्पितौ । अथवा अजभुजदझभुजो च तुल्यौ कल्पितौ ।

यदि अबभुजदहभुजौ तुल्यौ कल्पितौ तत्र बजभुजहझभुजौ यदा समानौ स्तस्तदास्माकमभीष्टमेव स्यात् । यदि तुल्यौ न भवतस्तदेदमनुपपन्नम् ।

अत्रोपपत्ति: ।

तत्र बतं हझतुल्यं कार्यम् । तअरेखा च कार्या । एवं अतबत्रिभुजं दझहत्रिभुजम च तुल्ये भवत: । पुन: तअबकोणःदहकोणौ तुल्यौ भविष्यत: । पुनर्जअबकोणझदहकोणौ तुल्यौ स्थितावेव । तस्मात् जअबकोणतअबकोणौ तुल्यौ स्याताम् । इदं बाधितम् । कुत: ।

एककोणस्य द्वितीयकोणखण्डत्वात् ।।

अथ बजहझभुजौ यदि तुल्यौ भवतस्तदा बअभुजहदभुजौ तुल्यौ भवत: वा अतुल्यौ स्त: । तत्र यदि तुल्यौ तदास्माकमभीष्टमेव सिद्धम् ।

यद्यतुल्यौ तत्रेदं दूषणम् ।

अत्रोपपत्ति:।

तत्र बवं दहतुल्यं कार्यम् । जबरेखा च कार्या । एवं तत्र जवबत्रिभुजं झदहत्रिभुजम चैते तुल्ये स्याताम् । जवबकोणझदहकोणावपि तुल्यौ स्याताम् । पुनर्जअबकोणस्तु झदहकोनतुल्य: स्थित: । तस्माज्जवबकोणजअवकोणौ तुल्यौ भविष्यत: । इदमनुपपन्नम् ।।

पुन: प्रकारान्तरम् ।

तत्र यदि अबरेखा दहरेखोपरि क्रियते तदा अजभुजो दझभजोपरि स्थास्यति बजभुजश्र्च हझभुजोपरि स्थास्यति । यत: अकोणो दकोणतुल्य: अबं दहतुल्यं च कल्पितमेवास्ति । एवं तत्र जकोणो झकोणे स्थास्यति । त्रिभुजं च त्रिभुजोपरि स्थाप्य: अबरेखा हदरेखायां स्थाप्या तदा जचिन्हं झचिन्हे पतिष्यति । तदा दकोण: अकोणोपरि स्थास्यति ।

यदि न स्थास्यति तदाऽन्यस्मिंश्र्चिन्हे पतिष्यति । यथा वचिन्हे पतितस्तदा जवबकोणो जअबकोणतुल्यो भविष्यति । यथा वचिन्हे पतितस्तदा जचबकोणो जअबकोणतुल्यो भविष्यति । इदमनुपपन्नम् । तस्मात् बकोणो हकोणे अकोणो दकोणे च स्थास्यति । तदा द्वौ त्रिभुजौ समानौ जातौ । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ सप्तविंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र रेखाद्वयोरन्यरेखायां संपात: कृत: तत्रैककोणो द्वितीयदिक्संबन्धिकोनश्र्चैतौ यदि भवत:  तदा रेखाद्वयं समानान्तरालकं भवति ।

यथा अबरेखायां जदरेखायांहझरेखा संपातं करोति । तत्र अहझकोणो दझहकोणेन समानो यदि जातस्तदा अबरेखा जदरेखा च समानान्तरा भवति ।

 यदि च रेखे समानान्तरे न भवतस्तदा उभे रेखे वर्द्धिते वचिन्हे मिलिष्यत: । तत्र वहझत्रिभुजं भविष्यति ।

 एवं त्रिभुजाद्बहिस्थ: अहझकोणस्त्रिभुजान्तर्गत: हझवकोणश्र्चैतौ तुल्यौ स्याताम् । इदमनुपपन्नम् ।

तस्माद्रेखाद्वयं समानान्तरकं भवतीति सिद्धम् ।।

अथाष्टाविंशतितमं क्षेत्रम् ।

तत्र रेखाद्वयेनान्या तृतीया रेखा संपातं करोति तदा बहिर्गतकोणोऽन्तर्गतद्वितीयरेखासमीपस्थकोणसमो भवति वान्तर्गतैकदिक्कोणद्वययोग: समकोणद्वयसमानो भवति तदा रेखाद्वयं समानान्तरं स्यात् ।

यथा अबरेखया जदरेखाया च हझवरेखा संपातं करोति । तत्र हझबकोणो बहिर्गत: झवदकोणौऽन्तर्गतश्र्च समानौ कल्पितौ । पुनर्बझवकोणझवदकोणौ युक्तौ द्वाभ्यां समकोनाभ्यां समानौ कल्पितौ । तदा अबरेखा जदरेखासमानान्तरा भविष्यति ।

अत्रोपपत्ति: ।

तत्र हझबकोण: अझवकोणसमानोऽस्ति । झवदकोणस्यापि समान: । अझव कोणझवदकोणावपि समानौ । तदा अबरेखा जदरेखासमानान्तरा जाता । पुनरपि बझवकोण अझवकोणयोर्योग: द्वयो: समकोणयो: समानोऽस्ति ।

बझवकोणझवदकोणावपि द्वयो: समकोणयो: समानौ । तस्मात् अझवकोणझवदकोणौ समानौ जातौ । अबरेखाजदरेखे च समानान्तरे जाते । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।-------

अथैकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

अस्योपपत्तिरष्टभि: क्षेत्रैर्ज्ञायते

तत्प्रथमक्षेत्रं निरूप्यते ।

एकाऽभीष्टरेका कार्या । तदुपर्यभीष्टं चिन्हं कार्यम् । तस्माद्रेखापर्यन्तमभीष्टा रेखा नेया: तासु यालम्बरेखा सा सर्वरेखाभ्यो न्यूना भवति ।

यथा अचिन्हं बजरेखा च कल्पिता । अचिन्हात् अबलम्बश्र्च कृत: । अयं लम्ब: सर्वरेखाभ्यो न्यूनौऽस्ति । अत्रोपपत्ति; ।

अचिन्हात् अजरेखा कारया । तत्र अबजकोणो न्यूनकोणोऽस्ति । अबभुजश्र्च अजभुजान्न्यूनोऽस्ति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ द्वितीयक्षेत्रम् ।

तत्रैकस्यां रेकायां यदि लम्बद्वयं समानं भवति तदा तयोर्मस्तकलग्नाऽन्या रेखा कार्या । एवमत्र लम्बरेखासंपातजनितौ कोणौ परस्परं समानौ भवत: ।

यथा समानौ अबलम्बजदलम्बौ बदरेखायां पतितौ । तन्मस्तकलग्ना अजरेखा कृता । तत्र बअजकोणदजअकोणौ समानौ भविष्यत: ।

अत्रोपपत्ति:।

अदरेखा बजरेखा च कार्या । अनयोर्हचिन्हे संपातो जात: । एवं अबदत्रिभुजे अबभुज: बदभुज: अबदकोणश्र्च द्वितीयत्रिभुजस्य जदबस्य जदभुजदबभुजजदबकोणै: समान: । अदबकोणजबदकोणावपि समानौ । अदबकोणजबदकोणावपि समानौ जातौ । एवं हबदत्रिभुजे हदबकोण हदबत्कोणौ समानौ । तर्हि बहभुजदहभुजौ च समानौ जातौ । पुन: अहभुजजहभुजौ च समानौ जातौ । तस्माद् अहजत्रिभुजे अहभुज: हजभुजश्र्च समानौ जातौ । पुन: हअजकोणहजअकोणश्र्चैतावपि समानौ जातो । दअबकोणबजदकोणौ पूर्वं समानौ स्य़ितौ । तस्मात् बअजकोणदजअकोणौ  समानौ जाताविति सिद्धम् । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

एकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् (३)

अथ तृतीयं क्षेत्रम् ।

तत्रैकरेखायां लम्बद्वयं समानं भवति तदा तयोर्मस्तकलग्नान्या रेखा कार्या एवं तयोर्लम्बरेखान्यरेखान्यरेखादंपातजनितौ कोणौ समकोणौ भविष्यत: । 

यथा दबरेखायाम अबरेखा जदरेखा च लम्बौ जातौ । अजरेखा च कृता । तत्र बअजकोणदजअकोणौ समानावुत्पन्नौ समकोणौ च जातौ ।

कुत: ।

यदि द्वौ समकोणौ न भवत: तदोभावधिककोणौ अथवा न्यूनकोणौ भविष्यत: । तत्र यद्यधिककोणौ तदा अचिन्हात् अहलम्ब: अजरेखायां नेय: । अयं लम्ब: अबजदरेखयोरन्तराले पतिष्यति । तदा अहदकोण: अबहकोणश्र्च समकोणोऽस्ति । तस्मात् अहदकोण: अदिककोणो जात: । पुनर्चिन्हात् हझलम्बो हदरेकायां नेय: । अयं लम्ब: अहजदरेखयोरन्तराले पतिष्यति । तत्र हझजकोणौऽप्यधिककोणो भविष्यति । पुनर्झचेन्हात् झवलम्ब: झजरेखोपरि कारय: वचिन्हात् वतलम्बश्र्च वदरेखायां नि:सृता एते कम्बा: अबझहतवसंज्ञका ज्ञेया:/ एते पूर्वस्मादुत्तरोत्तरमधिका भवन्ति । सर्वेभ्यो न्यून: अवलम्ब: । कुत: । यतो अबहत्रिभुजे बकोण: समकोणोऽस्ति । हकोणश्र्च न्यूनकोणोऽस्ति । अबभुजश्र्व अहभुजान्न्यून: । एवं अहझत्रिभुजे अ: समकोणोऽस्ति। झ: न्यूनकोणश्र्चास्ति । अहभुजो हझभु जाल्यूनो जात: । वं हझभुजो  झवभुजान्न्यूनो जात: । झवभुजोऽपि वतभुजाल्यून: । अबभुज: अहभुजान्न्यूनोऽस्ति । अहभुजो हझान्न्यून: । पुनर्हझभुजो झवभुजान्न्यून:। इत्थं रेखा उत्तरोत्तरमधिका भवन्ति । अजरेखाया बदरेखाया: सकाशादन्तरं जदिश्यधिकं भवति अदिश्यन्तरं न्यूनं भवति । अथ च दजअकोणोऽप्यधिककोणोऽस्ति । एवं अजरेखाया: बदरेखाया: सकाशादन्तरं अदिस्यधिकं भवति । प्रथमं साधितं अदिश्यन्तरं स्वल्पमस्तीत्यनुपपन्नम् । विलक्षणत्वात् ।।

यदि च अजकोणौ भवत: तदापि पूर्वोक्तप्रकारेण लम्बा; कार्या:। अजरेखायां बचिन्हाल्लम्बस्यारम्ब: कार्य: । एते लम्बा अबजदरेखान्तर्गता भवन्ति । ते च अबहझवतसंज्ञा उत्तरोत्तरँ न्यूना एव भवन्ति । अजरेखा जदिशि बदरेखाया: निकटे भवति अदिशि दूरस्थिता च भवति । पुनर्दचिन्हाल्लम्बा: कार्या: । एवं पूर्वप्रकारेण अजरेखा अदिशि बदरेखाया निकटे भवति जदिशि दूरस्थिता च भवति । एवमेकरेखा एकस्यां दिशि दूरस्थिता बवति तस्यामेव च निकटस्थिता भवतीत्यनुपपन्नम् । विलक्षणत्वात् । तस्मादुभौ अजकोणौ समकोणौ भवत इति सिद्धम् । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ चतुर्थक्षेत्रम् ।

तत्र समकोणस्य चतुर्भुजस्य परस्परसन्मुकं भुजद्वयं समानं भवति ।

यता अबजदसमकोणचतुर्भुजे अबभुजजदभुजौ तुल्यौ स्त: ।

यथा अबजदसमकोणचतुर्भुजे अबभुजजदभुजौ तुल्यौ स्त: । यदि च समौ न स्तस्तदा एको भुजोऽधिक: स्यात् । स जदभुज: कल्पित: । अथ दजरेखायां अबतुल्यं दहं पृथक्कार्यम् । अहरेखा च कार्या। एवं तत्र बअहदौ लम्बो समानौ स्त: । बअजकोणदजअकोणौ समकोणौ कल्पितौ । तस्मात् बअजकोणो बअहकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ । बअहकोणश्र्च बअजकोणस्य खण्डमस्ति । इदमनुपपन्नम् ।

एवमेव अजदकोण: अजहत्रिभुजान्तर्गत: अहदकोनश्र्च त्रिभुजाद्बहिर्गत: एतावपि समानौ स्याताम् । इदमप्यनुपपन्नम् । तस्मात् अबजदभुजावेव समानावित्युपपन्नम् । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ पञ्चमं क्षेत्रम़ ।

 तत्रैकरेखायां लम्बद्वयं कार्यमन्या रेखा लम्बद्वये यथा संपातं करोति तथा कार्या तत्रोत्पन्नं प्रतिलम्बं कोणचतुष्ट्यं तत्र लम्बस्यैकदिश्युत्पन्न: कोण: द्वितीयलम्बस्यान्यदिश्युत्पन्नेन कोणेन सम: स्यादेवमेकलम्बस्य बहिर्गतकोणो द्विथीयलम्बस्यान्तर्गतकोणेन च सम: पुनरेकलम्बस्यान्तर्गतकोणो द्वितीयलम्बस्यान्तर्गतकोणश्र्चानयोर्योग: समकोणद्वयेन समान: ।

यथा झदरेखायां हझजदलम्बौ पतितौ । तत्र अबरेखया संपात: कृत: । पुनर्वतचिन्हयोर्दवतकोणहतवकोणौ समानौ स्त: ।

अवजकोणो बहि:स्थ: अतहकोणौऽन्तर्गतश्र्चैतौ समानौ स्त: । हतवकोणजवतकोणयोर्योग: समकोणद्वयेन समानोऽस्ति ।

अत्रोपपत्ति: । 

तत्र तझरेखावदरेखे यदि समे तदा तयौ: कोणचतुष्ट्यं समकोणमेव स्यात् । तदास्माकमभीष्टसिद्धिरेव ।

यदि तझरेका वदरेखा समाना न भवति किं तु वदमधिकं स्यात् तदा दवरेखायां झततुल्या दकरेखा परथक्कार्या । कतरेखा च कार्या । कवतुल्या तलरेखा पृथक्कार्या । वलरेखा कार्या । एवं तत्र वलतकसमकोणं चतुर्भुजं जातम् । वलतत्रिभुजे वलभुजो लतभुजो लकोणश्र्च वकतत्रिभुजस्थेन तकभुजेन कवभुजेन ककोणेन च समान: । पुन: कवतकोण: वतलकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ । एवं तवककोण: अवजकोणेन सम:। अवजकोणवतहकोणौ समानौ । पुन: जवतकोणअवजकोणयोर्योगो द्वयो: समकोणयो: समान: । पुन: जवतकोणो वतहकोणश्र्च एतावपि द्वयो: समकोणयो: समानौ जातौ । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।

तदेवं सिद्धं या रेखा लम्बद्वयोर्मध्ये एकस्मंल्लम्बे लम्बरूपा भवति सा द्वितीये लम्बेऽपि लम्बरूपा भवत्येव ।।

अथ षष्ठं क्षेत्रम् ।

यत्र रेखाद्वयसंपातेन समुत्पन्नकोणचतुष्ट्यं तद्यदि समकोणं न भवति तदैकरेखोपरिस्थापितलम्बो न्यूनकोणदिशि द्विथीयरेखया संपातं करिष्यति ।

यथा अबरेखाजदरेखासंपातो हचिन्हे जात: । अहजकोणश्र्च न्यूनकोणो जात: । जहबकोणोऽधिककोणो जात: । तत्र जदरेखायां झवलम्बो निष्कास्य: । अयं लम्ब: अदिशि अबरेखायां संपातं करिष्यति ।

अत्रोपपत्ति: ।

अहरेखायां तचिन्हं कार्यम् । तकलम्बो जदे कार्य: । अयम लम्बो झहचिन्हयोर्मध्ये पतिष्यति वा ःचिन्हे पतिष्यति वा झचिन्हाद्भहि: पतिष्यतीति विचार्यम् ।

यदि झहमध्ये पतति तदा;न्या रेखा कार्या । तस्या हकतुल्या विभागा: कार्या:। तत्र यावन्तो विभागा हझे भवन्ति तेभ्यो;धिका विभागा: कार्या: । ते च सततशशछछखसज्ञका भवन्ति । अहरेखायां हततुल्यं तसं सअं अफं समानं कार्यम् । पुन: सफअचिन्हेभ्य:सललम्बअमलम्बफनलम्बा जदरेखायां कार्या:। तचिन्हात् तयलम्ब: सललम्बोपरि कार्य: । एवं हतकत्रिभुजे हतककोण: तसयकोणश्र्चैतौ कोणौ समानौ । पुन: हकतकोणतयसकोणौ समानौ । हतभुज: तसभुजेन समान: । यतलकावेतौ भुजौ समानौ जातौ । एवं लम: मनश्र्चैतौ समानौ जातौ । एवं हनस्य यावन्तो विभागा: परस्परं समाना भवन्ति खसविबागतुल्याश्र्चएव भवन्ति । पुन: हनरेखाखसरेखे च समाने । खसमधिकं हझात् । हनमधिकं हझात् । पुन: फनलम्बो झहचिन्हाद्बहिर्जात: / वझलम्ब: फनहत्रिभुजान्तर्जात: । पुन: वझलम्बो वर्द्धित: फहभुजे संपातं करोति ।

पुन: अबरेकायां संपातं करिष्यति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

पुन: तकलम्बो झचिन्हे यदा भविष्यति तदा वझतकावेकत्र भविष्यत: । तदा संपातोऽपि भविष्यत्येव । यदि तकलम्बो झहचिन्हाद्भहिर्भविष्यति तदा वझलम्ब: तकहत्रिभुजान्तर्भविष्यति नियमेन च संपातं करिष्यतीति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

अथ सप्तमं क्षेत्रम् ।

तत्रैककोणस्य भुजद्वयान्तश्र्चिन्हं यदा भवति तदा तच्चिन्हस्पृष्टा रेखा  भुजद्वयसमानसंलग्ना कर्त्तुं शक्यते ।

यथा दचिन्हं अबजकोणस्य अबबजभुजयोर्मध्येऽस्ति । तत्र बकेन्द्रं कृत्वा बदतुल्येनार्द्धव्यासेन हदझचापं कारयम् । हझरेखा च कार्या । पुन: हबझकोणस्य बवरेखया विभागद्वयं कार्यम् । द्वौ विभागौ न्यूनकोणौ भवत: । हबवत्रिभुजे झबवत्रिभुजे च हबभुजो बवभुजोहबवकोणो झबभुजेन बवभुजेन झबवकोणेन च समान: ।

पुन: बवहकोणो बवझकोणश्र्चैतौ समानो जातौ । तेनैतो कोणौ समकोणौ जातौ । पुन: बवरेखा यचिन्हपर्यन्तं कार्या। इयं रेखा हदझचापे तचिन्हे संपातं करिष्यति । बवरेका च द्व्यादिगुणिता तथा वर्द्धिता कार्या यथा बवतरेखयाऽधिका भवति । सा रेका अससंज्ञा अन्यत्र कल्प्या । पुन: बअभुजे एकादिगुणितबहतुल्या विभागा: कार्या: । ते च बहहकसंज्ञा: कल्पिता: । पुन: हकचिन्हाभ्यां बयरेकोपरि हवलम्ब: कललम्बश्र्च कार्य: । एतौ लम्बौ बयरेखाया: बववलविभागौ समानौ करिष्यत: । एतौ विभागौ असविभागाभ्यां समानौ जातौ । तेनैतौ मिलितौ विभागौ बतादधिकौ भविष्यत:। तस्मात् कललम्बो बतरेखाया: बहि: पतिष्यति ।

 पुन: बजभुजात् बकतुल्यम बमं पृथक्कार्यम् । लमरेखा कार्या एवं बकलत्रिभुजे बमलत्रिभुजे कबभुजो बलभुज: कबलकोणश्र्च मबभुजेन बलभुजेन मबलकोणेन समानोऽस्तीति । बलककोणबलमकोणौ समानौ भविष्यत: । पुन: बलककोण: समकोणोऽस्ति । बलमकोणोऽपि समकोणोऽस्ति । तेन कलमरेखा सरलाऽस्ति । पुन: बदरेखा नपर्यन्तं कार्या। दचिन्होपरि नदरेखाया: दनलकोणेन सम: नदफकोन: कार्य: । तदा फदकमरेखे समानान्तरे जाते । पुन: फदरेखा बकनत्रिभुजाद्यथा बहिर्गता भविष्यति तथा वर्द्धिता कार्या । बकभुजस्य फचिन्ह बमभुजे छचिन्हे च संपातं करिष्यति । फदछरेखा च दचिन्हगता अबबजभुजयो: संलग्ना जाता । इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।

एकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् (८)

अथाष्टमक्षेत्रम् । 

तत्र रेखाद्वयोपर्येका रेखा यदा संपातं करोति तदा तदन्तर्गतकोनद्वययोरेकदिक्कयोर्योगो यदि द्वयो:  समकोणोणयोर्न्युनो भवति तदा रेखाद्वयं तद्दिश्येव संपातं करिष्यति।

यथा अबजदरेखे तदुपरि तृतीया रेखा बदसमज्ञा संपातम करोति । तत्र अबदकोणो जदबकोणश्र्चानयोर्योगो द्वयो: समकोनयोर्न्यूनोऽस्तीति कल्पितम् । तदा रेकाद्वयं अजदिस्येव संपातं करिष्यति ।।

अत्रोपपत्ति: ।

बदरेका उभयत्र हचिन्हपर्यन्तं दीर्घा कार्या । बअरेखायां बदतुल्या बवरेखा पृथक्कार्या । तत्र अबदकोणो जदबकोणयुक्तो द्वयो: समकोणयोर्न्यूनोऽस्ति । अबहकोणयुक्तो द्वयो: समकोणयो: समान: । तेन अबहकोणो जदबकोणादिक: । पुनर्बचिन्होपरि बवरेखाया: सकाशात् जदबकोणतुल्य: वबतकोन: कार्य: । तबबझरेखे बखोणसंबन्धिभुजे ये तयो: संपातं कुर्वती वचिन्हगता तवयरेखा कार्या । तत: तवबकोणो वबदकोणाददिक; स्यात् । पुनर्वचिन्होपरि अबदकोणतुल्यो बवककोण: कार्य: । तत्र वकरेखा तथा वर्द्धिता  कार्या यथा तबरेकायां कचिन्होपरि संपातं करोति । तदनन्तरं अबजदरेखासंपातो भविष्यति ।

अत्रोपपत्ति: ।

वबरेखायां बदरेखां स्थापयेत् तदा दजरेका बकरेखायां स्थास्यति । बअरेका वकरेखायां च पतिष्यति । तस्मात् अबरेका जदरेखयो: संपातो भविष्यति ।। इत्यष्टौ क्षेत्राणि समाप्तानि ।।

अथैकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

समानान्तररेकयोर्यदि तृतीया रेखा संपातं करोति तत्रैककोणोन्तर्गतोऽभीष्टदिश्युत्पन्नो द्वितीयरेखान्तर्गतकोणश्र्च द्वितीयदिक्क: एतौ समानौ भवत: । एवं बहिर्गतकोणो द्वितीयरेकाया अन्तर्गतकोणेन समानो भवति । एवमेकदिक्कमन्तर्गतकोणद्वयं द्वयो: समकोणयो: समानं भवति ।

यथा अबरेखायां जदरेखायां हझवरेखया संपात: कृतोऽस्ति । तत्र अझवकोणदवझकोणश्र्चैतौ समौ कोणौ भविष्यत: । अथ यदि समानौ न भविष्यत: तदा अझवकोणोऽधिककोण: कल्पित:। पुन: बझवकोकोणस्य अझवकोणेन योग: कार्य: दवझकोणेनापि योग: कार्य:।

तत्र प्रथमयोग: द्वयो: समकोणयो: समान: द्वितीययोगादधिको भवति । तदा द्वितीययोग: द्वयो: समकोणयोर्न्यूनो जात: । यता अबजदरेकयो: हझवरेखया संपात: कृत: तत्र बझवकोणदवझकोणयोर्योगो द्वयो: समकोणयोर्न्यूनो जातस्तदा अबरखाजदरेखे बददिशि मिलिष्यत: ।

पुन: हझबकोणो हवदकोणेन समानोऽस्ति । कुत: । हझबकोणअझवकोणयो: समानत्यात् ।

पुन: बझवकोणदवझकोणयोर्योगो द्वयो: समकोणयो: समानोऽस्ति । कुत: । बझवकोणअझवकोणयोगस्य द्वयो: समकोणयो: समानत्वात् । पुन: दवझकोणअझवकोणौ समानौ जातौ। इदमेवास्माकमिष्टम् ।।

अथ त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।

तत्र यावत्यो रेखा एकरेखाया: समानान्तरा भवन्ति ता रेखा: परस्परं समानान्तरा एव भविष्यति ।

यथा अबरेखा जदरेखा च हझरेखाया: समानान्तारास्ति तदा अबरेखा जदरेका च परस्परं समानान्तरा भविष्यति ।

अत्रोपपत्ति:।

वतकरेखया तिसृणां रेखाणां संपात: कृत: । तत्र अबरेखा हझरेखा च परस्परं समानान्तरास्ति तदा अवतकोण झतवकोणश्र्चैतौ समानौ भविष्यत:। पुन: जदरेका हझरेका च समानान्तरास्ति तदा दकतकोणोऽन्तर्गतश्र्चैतौ समानौ भविष्यत: । तदा अवककोणदकवकोणौ समानो जातौ । तदा अबरेखा जदरेखा परस्परं समानान्तरा जाता ।। इदमेवास्माकमिष्टम् ।

--------

CoPilot

🔺 एकविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: त्रिकोणातील कोणत्याही दोन बाजूंचा योग तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठा असतो.

📘 मराठी अनुवाद:

कोणत्याही त्रिकोणात दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा अधिक असते. उदाहरणार्थ, अबज त्रिकोणात, जर आपण अब आणि अज या दोन बाजूंचा योग घेतला, तर तो बज या तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठा असतो.

🧠 सिद्धता:

1. बअ रेषा वाढवून द पर्यंत नेली.

2. अज रेषेसमान अद रेषा तयार केली.

3. दज रेषा तयार केली.

4. आता बजद कोन > अजद कोन, कारण बजद हा बाह्य कोन आहे.

5. पण अजद कोन = अदज कोन, कारण अज = अद.

6. म्हणून बजद कोन > अदज कोन, आणि त्यामुळे बद > अद = अज.

7. आणि अब = बअ + अद, म्हणून अब + अज > बज.

🔁 प्रकारांतर सिद्धता:

• जर अब + अज ≤ बज, तर कोणाची बेरीज समकोणद्वयासमान किंवा त्याहून कमी ठरेल—हे विरोधाभास निर्माण करतो.

• त्यामुळे कोणत्याही दोन बाजूंचा योग तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठा असतो.

ही रचना Euclid's Elements मधील अत्यंत मूलभूत आणि सार्वत्रिक तत्त्वांपैकी एक आहे, जी सर्व त्रिकोणांमध्ये लागू होते.

आपण पुढे द्वाविंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली द्वाविंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 22) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 द्वाविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: तीन दिलेल्या रेषा, ज्या कोणत्याही दोन रेषांची बेरीज तिसऱ्या रेषेपेक्षा जास्त आहे, त्यांचा उपयोग करून एक त्रिकोण रचता येतो.

📘 मराठी अनुवाद:

जर तीन रेषा अशा असतील की कोणत्याही दोन रेषांची बेरीज तिसऱ्या रेषेपेक्षा जास्त आहे, तर त्या तीन रेषांचा उपयोग करून एक त्रिकोण रचता येतो.

उदाहरणार्थ, रेषा अ, ब, आणि क दिल्या आहेत, आणि:

• अ + ब > क

• ब + क > अ

• क + अ > ब

तर या तीन रेषांचा उपयोग करून एक त्रिकोण तयार करता येतो.

🧠 सिद्धता:

1. रेषा अ, ब, आणि क यांची लांबी मोजून त्या प्रमाणात तीन रेषा तयार करा.

2. एका बिंदूपासून रेषा अ काढा.

3. तिच्या शेवटच्या बिंदूपासून रेषा ब काढा.

4. आता तिसरी रेषा क ही पहिल्या आणि दुसऱ्या रेषेच्या टोकांना जोडते.

5. कारण कोणत्याही दोन रेषांची बेरीज तिसऱ्या रेषेपेक्षा जास्त आहे, म्हणून त्या टोकांना जोडता येते.

6. परिणामी, एक बंद आकृती तयार होते—ती म्हणजे त्रिकोण.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व त्रिकोण रचनेसाठी मूलभूत आहे. जर कोणत्याही तीन रेषा या अटी पूर्ण करतात, तर त्या त्रिकोण तयार करण्यास सक्षम असतात. अन्यथा, त्या रेषा एकमेकांशी जुळून बंद आकृती तयार करू शकत नाहीत.

आपण पुढे त्रयोविंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली त्रयोविंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 23) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 त्रयोविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: दिलेल्या कोणाच्या समतुल्य कोण एका दिलेल्या बिंदूपासून एका दिलेल्या रेषेवर रचना करता येतो.

📘 मराठी अनुवाद:

जर एखादा कोन दिला असेल आणि एक रेषा व त्यावरील एक बिंदू दिला असेल, तर त्या बिंदूपासून त्या रेषेवर दिलेल्या कोनाच्या समतुल्य कोन रचना करता येतो.

उदाहरणार्थ:

• दिलेला कोन: ∠XYZ

• दिलेली रेषा: AB

• दिलेला बिंदू: A (रेषेवर)

तर ∠XYZ च्या समतुल्य कोन ∠BAC रचना करता येतो.

🧠 सिद्धता:

1. दिलेल्या कोन ∠XYZ मध्ये कोणाच्या प्रत्येक बाजूवर एक बिंदू ठेवा: Y आणि Z वरून समान अंतरावर बिंदू D आणि E.

2. रेषा AB वर बिंदू A पासून त्या समान अंतरावर बिंदू F आणि G ठेवा.

3. D आणि E मधील अंतर मोजून, F आणि G मधील तितक्याच अंतरावर बिंदू H ठेवा.

4. A, F, आणि H यांना जोडून ∠HAF तयार करा.

5. हा कोन ∠XYZ च्या समतुल्य आहे.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व कोणत्याही कोनाची प्रतिकृती तयार करण्यासाठी वापरले जाते—विशेषतः रचनात्मक भूमितीत, जसे की समकोण, समतुल्य त्रिकोण, किंवा समांतर रेषा रचताना.

आपण पुढे चतुर्विंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली चतुर्विंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 24) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 चतुर्विंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन त्रिकोणांमध्ये दोन बाजू अनुक्रमे समान असतील, आणि त्या दोन बाजूंमध्ये असलेला कोन एका त्रिकोणात दुसऱ्या त्रिकोणातील कोनापेक्षा मोठा असेल, तर त्या त्रिकोणाची तिसरी बाजूही दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन त्रिकोण आहेत—अजब आणि दहझ. जर:

• अज = दह

• अब = दझ

• आणि ∠A (अजब त्रिकोणातील कोन) > ∠D (दहझ त्रिकोणातील कोन)

तर निष्कर्ष असा की:

• बज > हझ

🧠 सिद्धता:

1. दोन बाजू समान आहेत: अज = दह, अब = दझ

2. पण कोन ∠A > ∠D

3. जर आपण तिसऱ्या बाजू बज आणि हझ यांची तुलना केली, तर:

   • मोठ्या कोनासमोरची बाजू मोठी असते (पूर्वीच्या क्षेत्रांनुसार)

4. म्हणून बज > हझ

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व त्रिकोणांची तुलना करताना उपयोगी ठरते—विशेषतः कोणाच्या फरकामुळे तिसऱ्या बाजूच्या लांबीवर काय परिणाम होतो हे समजण्यासाठी.

आपण पुढे पञ्चविंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली पञ्चविंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 25) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 पञ्चविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन त्रिकोणांमध्ये दोन बाजू अनुक्रमे समान असतील, आणि तिसऱ्या बाजूही समान असेल, तर त्या त्रिकोणांचे कोणेही अनुक्रमे समान असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन त्रिकोण आहेत—अजब आणि दहझ. जर:

• अज = दह

• अब = दझ

• बज = हझ

तर निष्कर्ष असा की:

• ∠A = ∠D

• ∠B = ∠H

• ∠J = ∠Z

🧠 सिद्धता:

1. दोन त्रिकोणांमध्ये तीनही बाजू अनुक्रमे समान आहेत.

2. पूर्वीच्या क्षेत्रांनुसार, जर दोन बाजू आणि त्यांच्यातील कोन समान असतील, तर तिसरी बाजू आणि उर्वरित कोणेही समान असतात.

3. येथे तीनही बाजू समान असल्यामुळे, कोणत्याही दोन बाजू आणि त्यांच्यातील कोन निवडून हे तत्त्व लागू करता येते.

4. परिणामी, तीनही कोणे अनुक्रमे समान ठरतात.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व त्रिकोणांची पूर्ण समता सिद्ध करण्यासाठी वापरले जाते. जर तीनही बाजू समान असतील, तर त्या त्रिकोणांचे कोणेही पूर्णतः जुळतात—म्हणजेच ते त्रिकोण एकमेकांशी सर्व प्रकारे सम आहेत.

आपण पुढे षट्‌विंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली षट्‌विंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 26) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 षट्‌विंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन त्रिकोणांमध्ये दोन बाजू अनुक्रमे समान असतील आणि त्या दोन बाजूंमध्ये असलेला कोनही समान असेल, तर त्या त्रिकोणांचे उर्वरित घटक (तिसरी बाजू आणि कोणे) देखील अनुक्रमे समान असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन त्रिकोण आहेत—अजब आणि दहझ. जर:

• अज = दह

• अब = दझ

• आणि ∠A = ∠D (म्हणजे अज आणि अब दरम्यानचा कोन)

तर निष्कर्ष असा की:

• बज = हझ

• ∠B = ∠H

• ∠J = ∠Z

🧠 सिद्धता:

1. दोन बाजू आणि त्यांच्यातील कोन समान असल्यामुळे, हे तत्त्व पूर्वीच्या क्षेत्रांनुसार लागू होते.

2. अशा स्थितीत, तिसरी बाजू आणि उर्वरित कोणेही अनुक्रमे समान असतात.

3. परिणामी, दोन्ही त्रिकोण पूर्णतः सम (congruent) ठरतात.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व त्रिकोणांची समता सिद्ध करण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त आहे—विशेषतः दोन बाजू आणि कोन दिले असता, संपूर्ण त्रिकोण जुळतो हे दर्शवण्यासाठी.

आपण पुढे सप्तविंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली सप्तविंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 27) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 सप्तविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन सरळ रेषा तिसऱ्या रेषेशी अशा प्रकारे कोन तयार करतात की समोरील कोणे समान असतात, तर त्या दोन रेषा एकमेकांना कधीही छेदणार नाहीत—म्हणजेच त्या समांतर असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन रेषा AB आणि CD आहेत, आणि त्यांना तिसरी रेषा EF छेदते. जर ∠AEF = ∠CFD (म्हणजे समोरील कोणे समान आहेत), तर AB आणि CD या रेषा एकमेकांना छेदणार नाहीत—म्हणजेच त्या समांतर आहेत.

🧠 सिद्धता:

1. समोरील कोणे समान असल्यामुळे, जर आपण रेषा वाढवून पाहिल्या, तरी त्या कधीही एकमेकांना छेदणार नाहीत.

2. कारण जर त्या छेदल्या असत्या, तर कोणे समान राहिले नसते—हे विरोधाभास निर्माण करतो.

3. म्हणून, रेषा AB आणि CD या समांतर असतात.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व समांतर रेषा ओळखण्यासाठी मूलभूत आहे. कोणत्याही दोन रेषा जर तिसऱ्या रेषेशी समान समोरील कोणे तयार करतात, तर त्या समांतर आहेत—हे रेखागणितातील एक अत्यंत महत्त्वाचे तत्त्व आहे.

आपण पुढे अष्टाविंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली अष्टाविंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 28) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 अष्टाविंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन सरळ रेषा तिसऱ्या रेषेशी अशा प्रकारे कोन तयार करतात की एक समोरील कोन आणि एक समांतर बाजूवरील अंतर्गत कोन एकत्रितपणे दोन समकोणांइतके असतात, तर त्या दोन रेषा एकमेकांना कधीही छेदणार नाहीत—म्हणजेच त्या समांतर असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन रेषा AB आणि CD आहेत, आणि त्यांना तिसरी रेषा EF छेदते. जर:

• ∠AEF (बाह्य कोन) + ∠EFD (अंतर्गत कोन) = 180° (दोन समकोण)

तर AB आणि CD या रेषा समांतर असतात.

🧠 सिद्धता:

1. जर दोन कोणांची बेरीज दोन समकोणांइतकी असेल, तर त्या रेषा एकमेकांना छेदल्यास विरोधाभास निर्माण होतो.

2. कारण छेदन झाल्यास कोणे बदलतील आणि बेरीज 180° राहणार नाही.

3. म्हणून, रेषा AB आणि CD या समांतर असतात.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व समांतर रेषा ओळखण्यासाठी आणि सिद्ध करण्यासाठी वापरले जाते—विशेषतः कोणांची बेरीज वापरून समांतरता सिद्ध करताना.

आपण पुढे एकोनत्रिंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली एकोनत्रिंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 29) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 एकोनत्रिंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन समांतर रेषा तिसऱ्या रेषेने छेदल्या जात असतील, तर त्या समांतर रेषा आणि छेदक रेषा यांमधून तयार होणारे समोरील कोणे, समांतर बाजूवरील अंतर्गत कोणे, आणि समांतर बाजूवरील बाह्य कोणे हे सर्व कोणे एकमेकांशी समान असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा दोन समांतर रेषा AB आणि CD आहेत, आणि त्यांना तिसरी रेषा EF छेदते. तर खालील कोणे एकमेकांशी समान असतात:

• समोरील कोणे (alternate angles): ∠AEF = ∠CFD

• अंतर्गत कोणे (interior angles on same side): ∠AEF + ∠EFD = 180°

• बाह्य कोणे (corresponding angles): ∠A = ∠C

🧠 सिद्धता:

1. समांतर रेषा आणि छेदक रेषा यांमधून तयार होणारे कोणे विशिष्ट प्रकारचे असतात.

2. पूर्वीच्या क्षेत्रांनुसार, समोरील कोणे समान असतात (Proposition 27).

3. अंतर्गत कोणांची बेरीज दोन समकोणांइतकी असते (Proposition 28).

4. त्यामुळे समांतर रेषा छेदताना तयार होणारे कोणे एकमेकांशी समतुल्य असतात.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व समांतर रेषा ओळखण्यासाठी आणि कोणांची समता सिद्ध करण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त आहे. याचा उपयोग रेखागणितातील अनेक रचनांमध्ये केला जातो—विशेषतः समकोण, समांतरता, आणि त्रिकोणांची समता सिद्ध करताना.

आपण पुढे त्रिंशतितम् क्षेत्रम् घेऊ इच्छिता का?

उत्तम, Suresh. खाली त्रिंशतितम् क्षेत्रम् (Proposition 30) चे स्पष्ट आणि शुद्ध मराठी भाषांतर सादर करतो, Euclidean तत्त्वाच्या तर्कशुद्ध स्पष्टीकरणासह:

🔺 त्रिंशतितम् क्षेत्रम्

तत्त्व: जर दोन रेषा तिसऱ्या रेषेशी समांतर असतील, तर त्या दोन रेषा एकमेकांशीही समांतर असतात.

📘 मराठी अनुवाद:

समजा तीन रेषा आहेत—AB, CD, आणि EF. जर:

• AB ∥ EF

• आणि CD ∥ EF

तर निष्कर्ष असा की:

• AB ∥ CD

🧠 सिद्धता:

1. AB आणि CD या दोन्ही रेषा EF ला समांतर आहेत.

2. त्यामुळे त्या दोन्ही रेषा EF सोबत समान प्रकारचे कोणे तयार करतात.

3. हे कोणे एकमेकांशी समान असल्यामुळे, AB आणि CD या एकमेकांशीही समांतर असतात.

4. अन्यथा, कोणे विषम झाले असते—हे विरोधाभास निर्माण करतो.

🔁 तत्त्वाचा उपयोग:

हे तत्त्व समांतर रेषांची साखळी सिद्ध करण्यासाठी वापरले जाते. जर दोन रेषा एकाच तिसऱ्या रेषेला समांतर असतील, तर त्या एकमेकांशीही समांतर असतात—हे रेखागणितातील एक अत्यंत मूलभूत आणि सार्वत्रिक तत्त्व आहे.