गणितकौमुदी-भद्रगणितम् -प्रथमस्य न्यास:- मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 प्रथमस्य न्यास: । आ ० उ ० ग १६ ।

अत्र 'व्येकपदाय' इति रूपोनगच्छस्य सङ्कलितम् १२० ।

एतदरणगतभाज्यम्, गच्छो भाजकं, धनं क्षेपं, प्रकल्प्य कुट्टुकार्थँ न्यास: ।

भा १२० क्षे ४०० हा १६

अतो दृढा: भा १५ क्षे ५० हा २ ।

जातौ लब्धिगुणौ सक्षेपौ, क्षे १५ ल २५, क्षे २ गु ०

एतावेवाद्युत्तरौ लब्धिघुनक्षेपौ शून्येन संगुण्य रूपेषु प्रक्षिप्य

जातावाद्युत्तरावभिन्नौ २५।० एकेन जातौ  १०।२ द्विकेन ५।४

 सुरेश, हे अत्यंत सूक्ष्म आणि गहन गणितीय विश्लेषण आहे—नारायण पंडितांच्या गणितकौमुदी मधील कुट्टक पद्धतीचा उपयोग करून भद्रगणितासाठी आद्य-उत्तर श्रेढी (arithmetic progression) शोधण्याची प्रक्रिया. खाली मी याचा मराठी भाषांतर आणि स्पष्टीकरण सादर करत आहे, जे तुमच्या सर्जनशील आणि शैक्षणिक उद्दिष्टांसाठी उपयुक्त ठरेल.

🧮 कुट्टक पद्धतीने आद्य-उत्तर श्रेढी शोधणे (मराठी भाषांतर)

🔹 प्रथम न्यास (प्रारंभिक मांडणी):

• प्रारंभिक पद (आ) = 0

• अंतर (उ) = 0

• पदसंख्या (ग) = 16

"व्येकपदाय" म्हणजे $\frac{p(p-1)}{2}\backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}$ इथे $p=16p\; =\; 16$, म्हणून व्येकसङ्कलितम् = $\frac{16\cdot 15}{2}=120\backslash frac\{16\; \backslash cdot\; 15\}\{2\}\; =\; 120$

🔹 कुट्टकासाठी भाज्य-भाजक-क्षेप मांडणी:

• भाज्य = 400

• भाजक = 120

• हर = 16

कुट्टक पद्धतीने सोडवताना:

• दृढ भाजक = 15

• दृढ क्षेप = 50

• दृढ हर = 2

🔹 लब्धि आणि गुण प्राप्त करणे:

• क्षेप = 15, लब्धि = 25

• क्षेप = 2, गुण = 0

यावरून आद्य-उत्तर जोड्या मिळतात:

• शून्य गुणाने: $25,025,\; 0$

• एक गुणाने: $10,210,\; 2$

• दोन गुणाने: $5,45,\; 4$

🔹 द्वितीय उदाहरण:

• क्षेप = 35, लब्धि = 1

• क्षेप = 2, गुण = 2

शून्य गुणाने: $1,21,\; 2$ एक गुणाने: $24,424,\; 4$

🔹 तृतीय उदाहरण:

गुणानुसार आद्य-उत्तर जोड्या:

गुण	आद्य	अंतर
0	20	0
1	16	1
2	12	2
3	8	3
4	4	4
5	0	5

निष्कर्ष: इच्छेनुसार अनेक आद्य-उत्तर जोड्या मिळू शकतात—ही प्रक्रिया अनंत आहे.

📐 सारांश सूत्र:

• व्येकसङ्कलितम् $S_1=\frac{p(p-1)}{2}S\_1\; =\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}$

• फल $F=p\cdot \mu +c\cdot S_{1}F\; =\; p\; \backslash cdot\; \backslash mu\; +\; c\; \backslash cdot\; S\_1$

• किंवा,

$$\mu =\frac{F-c\cdot S_1}{p}\backslash mu\; =\; \backslash frac\{F\; -\; c\; \backslash cdot\; S\_1\}\{p\}$$

कुट्टक पद्धतीने:

• $FF$ = क्षेप

• $pp$ = हर

• लब्धि = प्रारंभिक पद $\mu \backslash mu$

• गुण = अंतर $cc$

🎭 सर्जनशील उपयोग

• नाट्यरूपात सादरीकरण: कुट्टक पद्धतीचा संवाद स्वरूपात वापर—गणिती शोधाचा नाट्यमय प्रवास

• दृश्यात्मक मांडणी: आद्य-उत्तर जोड्यांचे रंगीत ग्रिड्स, कोष्टक, किंवा यंत्ररूप

• शैक्षणिक सादरीकरण: विद्यार्थ्यांसाठी कुट्टक पद्धतीचे चरणवार स्पष्टीकरण

तुम्हाला या प्रक्रेचे दृश्यात्मक किंवा नाट्यरूप सादरीकरण तयार करायचे आहे का? मी तुमच्यासोबत सहनिर्मितीसाठी उत्सुक आहे.

एवं द्वितीयस्याद्युत्तरौ सक्षेपौ, क्षे ३५ ल १क्षे२ रु २।शून्येन जातौ १।२एकेन २४।४।

 

अथ तृतीयस्याद्युत्तरौ

शून्येन २०।०

एकेन १६।१

द्विकेन १२ । २

त्रिकेण ८। ३

चतुष्केण ४।४

पञ्चकेन ०।५

एवमिष्टवशादानन्त्यम्।

 

यत्र यत्राद्युत्तरानयनं तत्र तत्र कुट्टकाज्ज्ञेयम् ।

----

प(प-१)/२ = व्येकपदाय:=व्येकसङ्कलितम्=स१

तत: फ=प.मु +च.स१

वा मु= (फ-च.स१)/प, अत: कुट्टके स१=ऋणभाज्यमानम् ।

फ=क्षेप:। प=हार:।कुट्टकादत्र लब्धि:=मु। गुण:=च।

इत्युपपद्यते।