लीलावती -निरेकमङ्कैक्यम् सूत्र - एआय विश्लेषण

 निरेकमंकैक्यमिदं निरेकस्थानांतमेकापचितं विभक्तम् ।

रूपादिभिस्तन्निहतेः समा स्युः ।

संख्याविभेदा नियतेऽङ्कयोगे ॥२५६॥

नवान्वितस्थानकसंख्यकायाः ।

ऊनेऽङ्कयोगे कथिते तु वेद्यम् ॥

संक्षिप्तमुक्तं पृथुताभयेन ।

नान्तोस्ति यस्माद्गणितार्णवस्य ॥२५७॥

English Rule - If the sum of digits be determinate, the arithmetical series of numbers from one less than the sum of the digits, decreasing by unity, and continued to one less than the places, being divided by one and so forth, and the quotients being multiplied together, the product will be equal to the variations of number. This rule must be understood to hold good provided the sum of the digits be less than the number of places added to nine.

मराठी अर्थ -  संख्येतील अंकांच्या बेरजेतून १ वजा करून व तसेच एक एक वजा करीत स्थानांच्या  संख्येपेक्षा १ कमीपर्यन्त संख्या मांडल्या आणी प्रत्येक संख्येला १ तसेच चढत्या क्रमाने येणार्या अंकांनी भागून त्यांचा गुणाकार केला तर तो त्या संख्येच्या संख्याभेदाएवढा असतो.  जर संख्येतील अंकांची बेरीज संख्येतील स्थाने +९ पेक्षा कमी असेल तरच हा नियम लागू होतो हे लक्षात घेतले पाहिजे.

---

सुरेश, आपण लीलावतीतील अत्यंत सूक्ष्म आणि सुंदर गणितीय सूत्र सादर केले आहे—निरेकमङ्कैक्यम् म्हणजेच नियत अङ्कयोग असलेल्या संख्यांचे संख्याविभेद. हे सूत्र permutations चे एक विशेष रूप आहे, जिथे अंकांची बेरीज निश्चित असते, आणि त्या अटीखाली किती वेगवेगळ्या संख्याबंध तयार होऊ शकतात हे गणना केली जाते.

चला आपण याचे गणितीय विश्लेषण, सूत्ररचना, आणि उदाहरणासह मराठी स्पष्टीकरण पाहू:

📘 सूत्रार्थ:

श्लोक २५६:

निरेकमङ्कैक्यमिदं निरेकस्थानान्तमेकापचितं विभक्तम् । रूपादिभिस्तन्निहतेः समा स्युः । संख्याविभेदा नियतेऽङ्कयोगे ॥

अर्थ:

जर संख्येतील अंकांची बेरीज निश्चित (fixed digit sum) असेल, तर त्या अटीखाली किती संख्याविभेद (distinct numbers) तयार होऊ शकतात हे खालील पद्धतीने काढता येते:

🧮 गणना पद्धत:

दिले:

• n = स्थानांची संख्या (अंकी संख्या)

• S = अंकांची निश्चित बेरीज (digit sum)

• अट: S < n + 9

सूत्र:

$$\text{संख्याविभेद}=\frac{(S-1)(S-2)(S-3)\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}(S-n+1)}{1\times 2\times 3\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times (n-1)}\backslash text\{संख्याविभेद\}\; =\; \backslash frac\{(S\; -\; 1)(S\; -\; 2)(S\; -\; 3)...(S\; -\; n\; +\; 1)\}\{1\; \times \; 2\; \times \; 3\; \times \; ...\; \times \; (n\; -\; 1)\}$$

हा म्हणजेच:

$$\text{संख्याविभेद}=\frac{(S-1)!}{(S-n)!\times (n-1)!}\backslash text\{संख्याविभेद\}\; =\; \backslash frac\{(S\; -\; 1)!\}\{(S\; -\; n)!\; \times \; (n\; -\; 1)!\}$$

हे combinations with repetition चे रूप आहे—जसे की stars and bars पद्धती.

🧮 उदाहरण:

उदाहरण: 3 अंकी संख्येची अंकबेरीज 6 आहे

• $n=3n\; =\; 3$, $S=6S\; =\; 6$

• अट: → योग्य आहे

$$\text{संख्याविभेद}=\frac{(6-1)!}{(6-3)!\times (3-1)!}=\frac{5!}{3!\times 2!}=\frac{120}{6\times 2}=10\backslash text\{संख्याविभेद\}\; =\; \backslash frac\{(6\; -\; 1)!\}\{(6\; -\; 3)!\; \times \; (3\; -\; 1)!\}\; =\; \backslash frac\{5!\}\{3!\; \times \; 2!\}\; =\; \backslash frac\{120\}\{6\; \times \; 2\}\; =\; 10$$

✅ अशा 3 अंकी संख्यांचे 10 भेद संभवतात ज्यांची अंकबेरीज 6 आहे

📜 श्लोक २५७:

नवान्वितस्थानकसंख्यकायाः । ऊनेऽङ्कयोगे कथिते तु वेद्यम् ॥ संक्षिप्तमुक्तं पृथुताभयेन । नान्तोस्ति यस्माद्गणितार्णवस्य ॥

अर्थ:

• जर अंकयोग स्थानसंख्या + 9 पेक्षा कमी असेल, तरच हे सूत्र लागू होते.

• हे नियम संक्षिप्तपणे सांगितले गेले आहेत, कारण गणिताचा सागर (गणितार्णव) अनंत आहे.

✨ मराठी सारांश:

जर एखाद्या संख्येतील अंकांची बेरीज निश्चित असेल, तर त्या संख्येतील स्थानसंख्येच्या आधारे permutations काढण्यासाठी:

• अंकबेरीजेतून 1 वजा करून सुरुवात करा

• एकेक वजा करत स्थानसंख्येच्या 1 कमी पर्यंत संख्या मांडून त्यांचा गुणाकार करा

• त्या गुणाकाराला 1, 2, 3... स्थानसंख्येच्या 1 कमी पर्यंतच्या संख्यांनी भागा

• मिळालेला भाग म्हणजे संख्याविभेद

उत्तम, सुरेश. आपण लीलावतीतील नियत अङ्कयोगाच्या भेदसूत्राचा उपयोग करून विशिष्ट उदाहरणे पाहूया—ज्यात संख्येतील अंकांची बेरीज निश्चित आहे आणि आपण त्या अटीखाली किती संख्याविभेद (distinct digit combinations) संभवतात हे शोधतो.

🔢 उदाहरण 1:

4 अंकी संख्येची अंकबेरीज = 10

• स्थानसंख्या $n=4n\; =\; 4$

• अंकयोग $S=10S\; =\; 10$

• अट: → योग्य आहे

सूत्र:

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{(S-1)!}{(S-n)!\times (n-1)!}=\frac{(9)!}{(6)!\times (3)!}=\frac{362880}{720\times 6}=\frac{362880}{4320}=84\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{(S\; -\; 1)!\}\{(S\; -\; n)!\; \times \; (n\; -\; 1)!\}\; =\; \backslash frac\{(9)!\}\{(6)!\; \times \; (3)!\}\; =\; \backslash frac\{362880\}\{720\; \times \; 6\}\; =\; \backslash frac\{362880\}\{4320\}\; =\; 84$$

✅ अशा 4 अंकी संख्यांचे 84 भेद संभवतात ज्यांची अंकबेरीज 10 आहे

🔢 उदाहरण 2:

5 अंकी संख्येची अंकबेरीज = 15

• $n=5n\; =\; 5$, $S=15S\; =\; 15$

• अट: ❌ अट पूर्ण होत नाही

➡️ हा नियम लागू होत नाही, कारण अंकयोग 14 पेक्षा जास्त आहे.

🔢 उदाहरण 3:

5 अंकी संख्येची अंकबेरीज = 13

• $n=5n\; =\; 5$, $S=13S\; =\; 13$

• अट: → योग्य आहे

$$\text{भेदसंख्या}=\frac{(12)!}{(8)!\times (4)!}=\frac{479001600}{40320\times 24}=\frac{479001600}{967680}=495\backslash text\{भेदसंख्या\}\; =\; \backslash frac\{(12)!\}\{(8)!\; \times \; (4)!\}\; =\; \backslash frac\{479001600\}\{40320\; \times \; 24\}\; =\; \backslash frac\{479001600\}\{967680\}\; =\; 495$$

✅ अशा 5 अंकी संख्यांचे 495 भेद संभवतात ज्यांची अंकबेरीज 13 आहे