अथ प्रथमं क्षेत्रम् -
To construct an equilateral triangle on a given finite straight line.
तत्र यदा समत्रिभुजं क्षेत्रं कर्तव्यमस्ति ।
तत्र अबरेखा च ज्ञातास्ति तदुपरि त्रिभुजं क्रियते ।
तद्यथा ।
अं केन्द्रं कृत्वा अब व्यासार्धेब वृत्तं कार्यम् ।
एवं बं केन्द्रं कृत्वा बअव्यासार्धेन द्वितीयं वृत्तं कार्यम् । यत्र वृत्तद्वयसंपातस्तत्र जचिन्हं कार्यम् ।
तत्र अजरेखा बजरेखा च कार्या ।
एवमत्र अबजत्रिभुजं समानतरिभुजमं जातम् ।
कुत:।
अत्र अबरेखा अजरेखासमानास्ति । यतो बजवृत्तस्य व्यासार्धमस्ति । पुनर्बजरेखाबअरेखासमानास्ति अजवृत्तस्य व्यासार्धत्वात् । पुनर्र्बजं अजसमानं जातम अबतुल्यत्वात् । तस्माद्भुजरेखात्रयं मिथ: समानं जातम् ।
---
मराठी भाषांतर
प्रथम विभाग
समभुजत्रिकोण
एक अब रेषा कादून त्यावर त्रिकोण काढणे
अ मध्य आणि अब व्यास घेउन वर्तुळ काढा. तसेच ब मध्य घेउन व बअ व्यास घेऊन दुसरे वर्तुळ काढा. ज्या बिंदूत ही दोन्ही वर्तुळे छेदतात. त्या बिंदूला ज नाव द्या.आता अज आणि बज जोडा. तयार झालेला त्रिकोण समभुजत्रिकोण आहे. कशावरून ?
अब=अज त्याचप्रमाणे बज व्यासाच्या अर्धी आहे.
शिवाय बज=बअ अज व्यासाच्या अर्धी आहे.
म्हणजे बज=अज=अब
म्हणजे त्रिकोणाच्या तीनही बाजू समान आहेत.
Copilot
आपण दिलेले संस्कृत वर्णन आणि त्याचे मराठी भाषांतर हे रेखागणितातील पहिल्या क्षेत्राचे—समभुज त्रिकोण रचनेचे—अत्यंत स्पष्ट आणि दृश्यात्मक स्पष्टीकरण आहे. मी त्याचे थोडे अधिक सुसंगत आणि नाट्यदृष्टिकोनातून समृद्ध रूपांतरण सादर करतो, जे दृश्य सादरीकरण, शिक्षण किंवा नाट्यवाचनासाठी उपयुक्त ठरू शकते:
📐 प्रथम क्षेत्र – समभुज त्रिकोणाची रचना (मराठी रूपांतरण)
उद्दिष्ट: दिलेल्या मर्यादित सरळ रेषेवर समभुज त्रिकोण रचना करणे.
✍️ पायऱ्या:
अब रेषा ही दिलेली सरळ रेषा आहे.
अ बिंदू केंद्र मानून, अब रेषेच्या लांबीइतका त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा.
ब बिंदू केंद्र मानून, बअ रेषेच्या लांबीइतका त्रिज्या घेऊन दुसरे वर्तुळ काढा.
ही दोन वर्तुळे ज्या बिंदूवर एकमेकांना छेदतात, त्या बिंदूला ज असे नाव द्या.
आता अज आणि बज या रेषा जोडल्यावर अबज हा त्रिकोण तयार होतो.
✅ सिद्धता:
अब = अज : कारण अज बिंदू वर्तुळाच्या परिघावर असून त्याचा त्रिज्या अब इतकाच आहे.
बज = बअ : कारण बज बिंदू दुसऱ्या वर्तुळाच्या परिघावर असून त्याचा त्रिज्या बअ इतकाच आहे.
अज = बज = अब : सर्व बाजू समान असल्यामुळे हा त्रिकोण समभुज त्रिकोण आहे.
अथ द्वितीयं क्षेत्रम् ।
To place a straight line equal to a given straight line with one end at a given point.
तत्रैकाभीष्टा रेखा कृतास्ति तदन्यकृतबिन्दुतस्तत्तुल्या रेखा कर्तव्यास्तीति
तत्र बिन्दु: अ चिन्हं कल्पिं रेखा बजं कल्पितम् ।
अचिन्हात् बचिन्हपर्यंतं रेखा कार्या ।
अबरेखोपरि समत्रिभुजं अबदं कारयम् । बकेन्द्रकं बजेन वृत्तं जझवसंज्ञं कार्यम् । दब रेखादीर्घा वृत्तपालिंमिलिता झसंलग्ना च कार्या । पुनर्दझेन दकेन्द्रकं हजतवृत्तं कार्यम् । दअरेखा दीर्घा बृहद्वृत्तपालिह संलग्ना कार्या ।
तत्र अहरेखा बजरेखया समाना जाता ।
कुत: ।
दहरेखादझरेखयो: समानत्वमस्ति ।
तत्र दअरेखा दबरेखासमानास्ति । तस्मात् अहरेखा बझरेखा च समाना जाता । पुनर्बझ रेखा बजरेखा च समानास्ति । तस्मात् अहरेखा बजरेखासमानास्तीति सिद्धम् ।।
-----
मराठी भाषांतर
दुसरा विभाग
रेषेवर नसलेल्या कोणत्याही अन्य बिन्दूपासून दिलेल्या रेषेसमान रेषा काढणे.
अ हा एक बिन्दू आणि जब ही एक रेषा काढा. अपासून ब पर्यंत रेषा काढा. अबरेषेवर अबद हा समभहुज त्रिकोण तयार करा. ब मध्य घेउन बजरेषेवर जझव वर्तुळ काढा.दब रेषा या वर्तुळाला छेदेल त्या बिन्दूला झ नाव द्या.आता द मध्य घेउन दझरेषेवरील हझत हे वर्तुळ काढा.दअ रेषा वाढवून ती या वर्तुळाला छेदेल त्या बिन्दूला ह नाव द्या.
दह आणि दझ रेषा समानआहेत.तसेच दअ रेषा दब रेषेसमान आहे. त्यामुळे अह रेषा बझरेषेसमान होतील। तसेच बझ रेषा बजरेषेसमान आहे। त्यामुळे अहरेषा बजरेषेसमान आहे हे सिद्ध होते.
✏️ द्वितीय क्षेत्र – दिलेल्या रेषेसमान रेषा एका बिंदूपासून रचना करणे
🎯 उद्दिष्ट
दिलेल्या रेषेसमान दुसरी रेषा एका निश्चित बिंदूपासून काढणे.
🪜 पायऱ्यांची क्रमवारी (मराठी स्पष्टीकरण)
बिंदू "अ" दिला आहे, आणि "बज" ही एक रेषा आहे जी आपल्याला आधार म्हणून वापरायची आहे.
अपासून ब पर्यंत एक रेषा काढा — ही रेषा अब.
अब रेषेवर एक समभुज त्रिकोण अबद तयार करा.
ब केंद्र मानून, बज रेषेच्या लांबीइतका त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा — हे वर्तुळ जझव.
दब रेषा वाढवून ती जझव वर्तुळाला ज्या बिंदूवर छेदते, त्या बिंदूला झ नाव द्या.
द केंद्र मानून, दझ रेषेच्या लांबीइतका त्रिज्या घेऊन दुसरे वर्तुळ काढा — हे वर्तुळ हझत.
दअ रेषा वाढवून ती हझत वर्तुळाला ज्या बिंदूवर छेदते, त्या बिंदूला ह नाव द्या.
आता अह रेषा तयार झाली आहे.
✅ सिद्धता (तुल्यता स्पष्ट करणं)
दह = दझ : कारण दोन्ही वर्तुळांचे त्रिज्या समान आहेत.
दअ = दब : समभुज त्रिकोणामुळे.
त्यामुळे अह = बझ.
आणि बझ = बज : कारण बझ वर्तुळाची त्रिज्या बज इतकीच आहे.
म्हणून अह = बज — म्हणजेच, अह रेषा ही बज रेषेसमान आहे.
-----
अथ तृतीयं क्षेत्रम् ।
To cut off from the greater of two given unequal straight lines a straight line equal to the less.
यत्र बृहद्रेखा लघुरेखा ज्ञातास्ति तत्र लघुरेखातुल्यं खण्डं बृहद्रेखात: भिन्नं कर्त्तव्यमस्तीति चेत् ।
तदा बृहद्रेखा अबसंज्ञा लघुरेखा जसंज्ञा कल्पता । तत्र अचिन्हात् अदरेखा जसमाना निष्काशनीया पूर्वोक्तप्रकारेण ।
पुन: अकेन्द्रं कृत्वा अदेन दहझवृत्तं कार्यम् । इदं अबरेखात: अदरेखासमानां अझरेखां पृथक् करोति । तस्मात् अझ रेखा जरेखासमाना जाता ।।
----------
मराठी भाषांतर
जर एक लहान रेषा व दुसरी मोठी रेषा माहीत असतील तर लहान रेषेसमान रेषा मोठ्या रेषेचा एक भाग असतो हे सिद्ध करणे.
आता अब ही मोठी रेषा व ज ही लहान रेषा आहे असे समजा. अ बिंदूपासून जएवढ्या लांबीची अद रेषा काढा. अ मध्य आणि अद त्रिज्या घेऊन दझह वर्तुळ काढा. आता अदरेषेएवढी अझ रेषा आहे. त्यामुळे अझ रेषा ज रेषेसमान आहे.
अथ चतुर्थं क्षेत्रम् ।
If two triangles have two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, then they also have the base equal to the base, the triangle equals the triangle, and the remaining angles equal the remaining angles respectively, namely those opposite the equal sides.
यत्र त्रिभुजद्वयमस्ति तत्रैकत्रिभुजस्य भुजद्वयं तदन्तरगतकोणश्र्च द्वितीयत्रिभुजस्य भुजद्वयेन तदन्तर्गतकोणेन च समानं भवति तदा प्रथमत्रिभुजस्य शेषकोणद्वयं तृतीयभुजश्र्च द्वितीयत्रिभुजस्य कोणाभ्यां तृतीयभुजेन च समानं भवति ।
तत्र प्रथमत्रिभुजं अबजं द्वितीयत्रिभुजम दहझम अबं दहसमम अजं दझसमम च कल्पतं अकोणदकोणौ च समौ कल्पितौ । तदा बजं हझसमं भविष्यति बकोणहकोणौ च समानौ जकोणझकोणौ च समानौ भविष्यत: क्षेत्रं च क्षेत्रसमानं भविष्यति ।
अत्रोपपत्ति: ।
तत्र अबरेखा दहरेखायां न्यस्ता अकोणो दकोणे न्यस्त: अजं दझोपरि च न्यस्तम् । एवं कृते बजं हझोपरि स्थास्यति यतो रेखाद्वयं सरलम् । बजकोणौ हझकोणयो: स्थास्यतस्तदा क्षेत्रं क्षेत्रसमानं भविष्यति ।।
------
मराठी भाषांतर
विभाग चौथा
जर दोन त्रिकोणातील दोन बाजू व त्यामधील कोन समान असतील तर पहिल्या त्रिकोणाचे उरलेले दोन कोन तसेच तिसरी बाजू दुस-या त्रिकोणाच्या कोन व बाजू समान असतात.
आता अबज आणि दहझ या त्रिकोणात अब=दह, अज=दझ आणि कोन अ=कोन द असतील तर बज=हझ तसेच कोन ब=कोन ह आणि त्यांचे क्षेत्रफळ समान असले पाहिजेत.
सिद्धता
आता अब रेषा दहरेषेवर , अकोन द कोनावर आणि अज दः बाजूवर ठेवली तर बज बाजू हझ बाजूशी जुळेल कारण या दोन्ही सरळ रेषा आहेत. ब ज कोन हेही ह झ कोनांवर जुळत असल्याने या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळही समान असेल.
अथ पञ्चमं क्षेत्रम् ।
In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.
तत्र यस्य त्रिभुजस्य भुजद्वयं समानं तस्य तृतीयभुजोपरि संलग्नकोणद्वयं समानं भवति । अथ भुजद्वयं स्वमार्गवृद्धं सत् तृतीयभुजाध:समुत्पन्नकोणद्वयपि समानं भवति ।
यथा अबजत्रिभुजे अबं अजसमानमस्ति तदा अबजकोनअजबकोणौ समानौ भविष्यत: । पुन: अबरेखा दपर्यन्तं हपर्यन्तं अजरेखा च वर्धिता । तत: समुत्पन्नौ बजहकोणजबदकोणौ बजरेखाध:स्थितौ समानौ भवत: ।
📐 तृतीय क्षेत्र – मोठ्या रेषेवरून लहान रेषेसमान भाग वेगळा करणे
🎯 उद्दिष्ट
दोन असमान सरळ रेषा दिल्या असता, मोठ्या रेषेवरून लहान रेषेसमान भाग वेगळा करणे.
🪜 पायऱ्या
अब ही मोठी रेषा आणि ज ही लहान रेषा आहे.
अ बिंदूपासून, ज रेषेसमान लांबीची अद रेषा काढा (पूर्वीच्या क्षेत्रातील पद्धतीने).
अ केंद्र मानून, अद रेषेच्या लांबीइतका त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा.
हे वर्तुळ अब रेषेला ज्या बिंदूवर छेदते, त्या बिंदूला झ नाव द्या.
अझ रेषा ही ज रेषेसमान आहे.
✅ सिद्धता
अद = अझ (वर्तुळाच्या त्रिज्येमुळे)
अझ = ज (कारण अद = ज)
म्हणून अझ ही ज रेषेसमान आहे.
🔺 चतुर्थ क्षेत्र – दोन त्रिकोणांची समता सिद्ध करणे
🎯 उद्दिष्ट
जर दोन त्रिकोणांमध्ये दोन बाजू आणि त्या दरम्यानचा कोन समान असेल, तर उरलेल्या बाजू आणि कोनही समान असतात.
🪜 पायऱ्या
अबज आणि दहझ हे दोन त्रिकोण आहेत.
त्यात:
अब = दह
अज = दझ
कोन अ = कोन द
हे गृहीत धरल्यास:
बज = हझ
कोन ब = कोन ह
कोन ज = कोन झ
आणि क्षेत्रफळही समान असते.
✅ सिद्धता
जर अब, अज आणि कोन अ हे दह, दझ आणि कोन द वर ठेवले, तर बाकीचे घटक जुळतात.
सरळ रेषा आणि कोनांच्या समतेमुळे दोन्ही त्रिकोण पूर्णतः जुळतात.
🔺 पञ्चम क्षेत्र – समबाहु त्रिकोणातील कोनांची समता
🎯 उद्दिष्ट
समबाहु त्रिकोणात तळाशी असलेले कोन समान असतात. जर समान बाजू वाढविल्या, तर तळाखालील कोनही समान होतात.
🪜 पायऱ्या
अबज त्रिकोण घ्या, ज्यात अब = अज.
त्यामुळे:
कोन अबज = कोन अजब (तळाशी असलेले कोन)
जर:
अब रेषा वाढवून द पर्यंत
अज रेषा वाढवून ह पर्यंत
तर:
बजह कोन = जबद कोन (तळाखालील कोन)
✅ सिद्धता
समबाहु त्रिकोणात तळाशी असलेले कोन समान असतात.
बाजू वाढविल्यावर तयार होणारे बाह्य कोनही समतेचे नियम पाळतात.
------
अत्रोपपत्ति ।
बदरेखायम जचिन्हम कुर्यात् । जहरेखायाम बझरेखासमाना जवरेखा पृथक् कारया । बवरेखा अझरेखा च कार्या ।
अजझत्रिभुजे अबवत्रिभजे जअभुज: अझभुज: अकोणश्र्च बअभुजेन अवभुजेन अकोणेन क्रमेण समाना: । जजभुज: बवभुज: एतौ समानौ जातौ ।
अजझकोण अबवकोणौ च समानौ जातौ ।
अजझकोणअबवकोणौ च समानौ जातौ । झकोणवकोणावपि समानौ जातौ । पुन: जबझत्रिभजे बजवत्रिभजे च बझभुज: झजभुज: झकोण: क्रमेन जवभुजेन वबभुजेन वकोणेन समाना: । तदा जबझकोण: बजवकोण: इमौ द्वौ समानौ जातौ । पुन: झजबकोण: वबजकोण: इमौ समानौ जातौ । एतौ अजझकोणअबवकोणयो: शोधितौ । शेषौ अजबआबजकोणौ समानौ भवत: । इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
प्रकारान्तरेण पञ्चमं क्षेत्रम् ।
तत्र अबरेखातां दचिन्हं कार्यम् । अदरेखातुल्या अहरेखा भिन्ना कार्या । ततो दहरेखा दजरेखा हबरेखा च कार्या ।
अदजत्रिभजे दअभुज: अजभुज: अकोणश्र्च अहबत्रिभुजस्थेन हअभुजेन अबभुजेन अकोणेन क्रमेण समान: । ततो बहरेखा दजरेका परस्परम समाना जाता । अबहकोण: अजदकोणश्र्चैतावपि समानौ जातौ । एवं बदहत्रिभजे दबभुज: बहभुज: दबहकोणश्र्च दहजत्रिभजस्य जहभुजेन जदभुजेन हजदकोणेन समान: । पुन: बदहकोनजहदकोणौ परस्परं समानौ स्त: । बहदकोण: जदहकोनश्र्च परस्परं समान: । पुन: बदजकोण: बहजकोणश्र्चैतावपि समानौ । एवं बदजत्रिभुजे बदभुज: दजभुज: बदजकोणश्र्च वहजत्रिभुजस्य जहभुजेन हबभुजेन जहबकोणेन च समान: । ततो अबजकोणअजबकोणौ समानौ जातो । तदेवमभीष्टौ कोणौ सिद्दौ ।।
आपण दिलेले संस्कृत अंश हे रेखागणितातील पञ्चम क्षेत्राचे अधिक सखोल आणि प्रकारान्तराने सिद्ध केलेले रूप आहे—विशेषतः समबाहु त्रिकोणातील कोनांची समता विविध पद्धतींनी सिद्ध करण्याचा प्रयत्न. खाली त्याचे सुसंगत आणि स्पष्ट मराठी रूपांतरण सादर करतो, जे दृश्यात्मक आणि नाट्यशैलीत वापरण्यासही उपयुक्त ठरेल:
🔺 पञ्चम क्षेत्र – समबाहु त्रिकोणातील कोनांची समता (विस्तृत सिद्धता)
🎯 उद्दिष्ट
समबाहु त्रिकोणात तळाशी असलेले कोन समान असतात. हे विविध रचनांद्वारे सिद्ध करणे.
🪜 प्रथम प्रकार – त्रिकोणांची समता वापरून कोनांची समता सिद्ध करणे
बद रेषेवर ज बिंदू ठेवा.
जह रेषेवर, बझ रेषेसमान जव रेषा वेगळी काढा.
बव रेषा आणि अझ रेषा तयार करा.
आता दोन त्रिकोण तयार होतात:
अजझ त्रिकोण
अबव त्रिकोण
या दोन्ही त्रिकोणात:
जअ = अझ, अकोण = अकोण, आणि बअ = अव
तसेच जज = बव (समान रेषा)
त्यामुळे:
अजझ कोन = अबव कोन
झ कोन = व कोन
पुढे:
जबझ त्रिकोण आणि बजव त्रिकोण मध्ये:
बझ = झज, झ कोन = व कोन, जव = वब
त्यामुळे जबझ कोन = बजव कोन
आणि झजब कोन = वबज कोन
हे कोन अजझ आणि अबव त्रिकोणातील कोनांशी संबंधित आहेत.
त्यामुळे अजब कोन = आबज कोन
✅ सिद्धता पूर्ण – समबाहु त्रिकोणातील तळाशी असलेले कोन समान आहेत.
🪜 प्रकारान्तर – रेषा वाढवून कोनांची समता सिद्ध करणे
अब रेषेवर द बिंदू ठेवा.
अद रेषेसमान अह रेषा वेगळी काढा.
तयार करा:
दह, दज, हब रेषा
आता दोन त्रिकोण:
अदज त्रिकोण आणि अहब त्रिकोण
यात:
दअ = हअ, अज = अब, अकोण = अकोण
त्यामुळे बह = दज, आणि अबह कोन = अजद कोन
पुढे:
बदह त्रिकोण आणि दहज त्रिकोण मध्ये:
दब = बह, दबह कोन = हजद कोन
त्यामुळे बदह कोन = जहद कोन, आणि बहद कोन = जदह कोन
शेवटी:
बदज त्रिकोण आणि वहज त्रिकोण मध्ये:
बद = दज, बदज कोन = जहब कोन
✅ सिद्धता पूर्ण – अबज कोन = अजब कोन
-------
No comments:
Post a Comment