गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - श्लोक २१ आणि २२- मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 भागो निरग्रको वा

 चरणदलसमावशेषकोनियतम् ।

 यद्यन्यथावशेषं

 तद् भद्रं जायते तु खिलम् ।।२१।।

 

* शून्यक्षेपफलार्द्ध-

प्रमितावादो धनर्णरूपचयौ ।

मुखपङ्क्ते: पूर्वदलं

स्थानेष्वपि परदलेषु च क्षेपो ।।२२।।

 एवं चरणाद्या: स्यु:

समगर्भे विषमगर्भे च ।

------

* उपपत्त्या, शुन्यक्षेपफलाङ्क्घ्र्यर्धमितावादी इति साधु पाठ: ।

यदि च=२_ज तथा मु_१=मु+आ_१, मु_२=मु+आ_२, मु_३=मु+आ_३,..., मु_ज=मु+मुआ_ज ।

तथा मु_ज+१= मु +आ_{ज+ १},..., मु_२ज=मु+आ_२ इति ।

कल्पते यत्र पूर्वसूत्रोपपत्तिसाधने आ_१= आ, आ_२=आ+चच१,...., उ=० तदा पूर्ववत् सर्वेषामाङ्कानां

फलम् = चफ

=च[ (मु+आ_१) + मु+आ_२) +...+(मु+आ_२ज) + च_३(च-१)(च/२)]

 उक्तोदाहरणयोरेकाद्यत्तरवशाज्जाता मुखपङ्क्ति: १।५।९।१३।

वाफ=[[(मु+१)+आ१]+[(मु+१)+आ२]+...+[(मु+१)+आज]+[(मु'-१)+आज+१]+[(मु'-१)+आज+२]+...+[(मु'-१)+आ२ज]

+चच३((च-१)/२)].........(१)

मु, मु' माने यादृक् स्थिति: सैव (मु+१), (मु'-१) मानेऽपि स्थिति:।

अथ(१) एतस्य प्रथमरूपे रूपान्तरेण

फ=मुज + मु'ज+आ, +आ+...+आज+१ +...आ२ज+च३२ज((२ज-१)/२)

=ज(मु+मु')+ज[आ१+आ२ज+च३(२ज-१)]

=ज(मु+मु') + मुफ।

फ-मुफ=क्षेफ = ज(मु+मु')

अत: 'क्षेफ' 'ज' मानेन चरणदलमितेनाऽवश्यं शुध्यति।

अत:स्तद् द्विगुणेन चरणमितेन भक्तेन शेषाबावो वा चरनदलमितं शेषमानम स्यात् ।

अथ क्षेफ/ज = मु + मु'

अत्र यदि मु= ० तदा मु'=क्षेफ/ज

 प्रथमोदाहरणे फलम् ४० क्षेपफलम् ६ अत्र क्षेपफलार्धम् ३ शून्यक्षेपदलमितावादी ०।३ धनैकोत्तरमृणैकोत्तरन्यस्ते जातम्  १।३ एतौ

श्लोक २१ –

"जर चरणदलाच्या संख्येने भागले असता शेष शून्य असेल, तर ते निरग्रह (दोषरहित) मानले जाते. पण जर शेष उरतो, तर तो 'भद्र' — म्हणजेच एक प्रकारचा शुभ किंवा पूरक घटक — ठरतो."

श्लोक २२ –

"शून्य शेष असलेले अर्धफल हे प्रमाणित मूल्य मानले जाते, जे धनैकोत्तर आणि ऋणैकोत्तर या दोन्ही प्रकारच्या संख्यांच्या संचात लागू होते. मुखपंक्तीतील पूर्व अंश तसेच पर अंशांमध्येही क्षेप (excess) आढळतो."

विश्लेषणाचा मराठी सारांश:

• जर आपण एक संख्यात्मक पंक्ती तयार केली जिथे प्रत्येक पद $$ \mu_i = \mu + a_i $$ अशा प्रकारे वाढते, आणि $$ \mu_j+1 = \mu + a_j + 1 $$ पर्यंत चालते, तर एकूण फल (फ) हे पुढीलप्रमाणे मिळते:

• येथे मुखपंक्ती म्हणजे १, ५, ९, १३ अशी पदे, ज्यात धनैकोत्तर आणि ऋणैकोत्तर दोन्ही प्रकारचे संच एकत्रित केले आहेत.

• फल आणि त्याच्या आधारभूत रचनेतील फरक म्हणजेच क्षेपफल.

• जर क्षेपफल / चरणसंख्या = μ + μ′ असेल, आणि μ = ० असे गृहीत धरले, तर μ′ = क्षेपफल / चरणसंख्या.

उदाहरण:

• फल = ४०

• क्षेपफल = ६

• क्षेपफलाचे अर्ध = ३

• शून्य क्षेप असलेला दलमितावादी = ०.३

• मुखपंक्ती: १, ३

• फल - आधार = ६ ⇒ क्षेप

४० - ३४=६