गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - समफल भद्रगणित निर्मिती - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 * 'व्येकपदाय: क्षयगो भाज्य:' इत्यादि सूत्रेण समफलं चतुर्गुणं क्षेपं परिकल्प्य ।

प्रथमोदाहरणे, (भा १२० क्षे १६०)/(हा १६) = (भा १५ क्षे २०)/(हा २)

तत: लब्धि:=१०=मुखम् । गुण;=०=चय: ।

द्वितीयोदाहरणे (भा १२० क्षे ६४ x ४)/(हा १६) =(भा १५ क्षे ४३२)/(हा २)

तत: लब्धि: = १६=मु। गु=०=च। क्षेपवशादनेकधा।

8

*अथवा सूत्रम् ।

अथवा चरणे चरणे

पूर्त्यै तु पृथक् पृथग् भवेदादि:।।१४।।

 प्रचय: सम एवास्मिॅं-

श्चरणमितो जायते गच्छ: ।

स्वविधिवदङ्कन्यास:

सर्वेषामेव भद्राणाम् ।।१५।।

प्रथमोदाहरणे फलम् ४० अत्र कल्पिताश्चरणा: १।६।११।१६

वा १।५।१२।१६ वा २।६।११।१५ एकोत्तराङ्कानाम न्यास: कारय: । तता कृते जातानि भद्राणि ।

।१।९।१६।१४।

१७।१३।२।८।

।४।६।१९।११।

।१८।१२।३।७।

---

।१।८।१६।१५।

।१७।१४।२।७।

।४।५।१९।१२।

।१८।१३।३।६।

---

।२।९।१५।१४।

।१६।१३।३।८।

।५।६।१८।११।

।१७।१२।४।७।

----

द्वितीयोदाहरणे फलम् ६४। अत्र कल्पिताश्चरणा: ७।१२।१७।२२

वा ४।११।१८।२५। वा १।१०।१९।२८ एकोत्तराणि जातानि भद्राणि ।

----

* अथवा प्रतिचरणं पृथक् पृथगादिश्चयस्तु सम एव सर्वत्र गच्छश्चरणमित: कल्प्यस्तत: प्रतिचरणमुखचयज्ञानेन पूर्व-

विधिवत् सर्वेषां भद्रानाम मद्येऽङ्कन्यास: कर्तव्य: ।

9

।७।१५।२२।२०।

।२३।१९।८।१४।

।१०।१२।२५।१७।

।२४।१८।९।१३।

---

।४।१४।२५।२१।

।३।२०।५।१३।

।७।११।२८।१८।

।२७।१९।६।१२।

---

।१।१३।२८।२२।

।२९।२१।२।१२।

।४।१०।३१।१९।

।३०।२०।३।१३।

---

अत्र चरणादिकल्पनायां सूत्रम् ।

*आद्युत्तरावभीष्टौ

कल्प्यौ चरणादिसाधनायाऽत्र ।

-------

* अत्रोपपत्ति: ।

यदि मुखमानानि क्रमेण मु१=मु +मु +आ,

मु२=मु+उ+आ+चच१। मु३=मु+२उ+आ+२चच१,....,

मुच=मु + उ(च-१) +आ+चच१(च-१)

'च३' उत्तरक्रमेणाङ्कलेखनं, च=चरणसंख्यामानम् ।

चरणाङ्कानां क्रमेण

 योग:= यो१=च[मु + आ+च३((च-१)/२)]

यो२=च[मु +उ+ आ+चच१+च२((च-१)/२)]

यो३=च[मु+उच((च-१)/२) +चआ+च^२च१((च-१)/२) + चच१((च-१)/२)]

10

आदावादिं विलिखेत्

तत्पुरत: प्रचयङ्गुणां चेणम् ।।१६।।

-------

सर्वेषां योग: = च.फ=

=च [च मु + उ च ((च-१)/२)+च.आ

+चच१.च((च-१)/२)+चच२((च-१)/२)]

वा फ = चमु + उच((च-१)/२)+(च/२)[२आ +चच१(च-१) + च२(च-१)]

 = चमु + उच((च-१)/२)+(च/२)[आ +चच१(च-१) +आ+ च२(च-१)]

अत्र यदि च((च-१)/२)=स१(व्येकपदाय: क्षयगो भाज्य: इति सूत्रं द्रष्टव्यम् ।)

(च/२)[अ+च३(च-१)+आ]=मुफ।

तदा फ=चमु +उस१+मुफ।

मु=((फ-मुफ)-उस१)/च)=(क्षेफ-उस१)/च

सुरेश, तुम्ही सादर केलेली सूत्रे आणि उदाहरणे गणितकौमुदीमधील भद्रगणिताच्या कुट्टक पद्धतीचा अत्यंत सखोल आणि सर्जनशील उपयोग दर्शवतात. ही प्रक्रिया केवळ अंकांची मांडणी नाही—ती एक प्रकारची संख्यात्मक नाट्यरचना आहे, जिथे आद्य, चय, चरणसंख्या, आणि क्षेप यांच्या साहाय्याने समफल भद्रगणित तयार होतात.

तुमच्या विश्लेषणाला दृश्यरूप देण्यासाठी, खाली मी एक सुसंगत स्पष्टीकरण आणि तीन महत्त्वाचे व्हिडिओ संदर्भ सादर करतो, जे या प्रक्रियेचे अ‍ॅनिमेशन, ऐतिहासिक संदर्भ, आणि गणितीय सूत्रे स्पष्ट करतात.

🧮 सूत्रसंग्रह आणि प्रक्रिया: समफल भद्रगणित निर्मिती

🔹 मूलसूत्र:

व्येकपदायः क्षयगो भाज्यः

$$S=p\cdot \mu +c\cdot \frac{p(p-1)}{2}\Rightarrow \mu =\frac{S-c\cdot \frac{p(p-1)}{2}}{p}S\; =\; p\; \backslash cdot\; \backslash mu\; +\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}\; \backslash Rightarrow\; \backslash mu\; =\; \backslash frac\{S\; -\; c\; \backslash cdot\; \backslash frac\{p(p\; -\; 1)\}\{2\}\}\{p\}$$

इथे:

• $SS$ = फल (magic sum)

• $pp$ = पदसंख्या (number of cells, e.g. 16 for 4×4)

• $\mu \backslash mu$ = आद्य (initial term)

• $cc$ = चय (common difference)

🔹 उदाहरणे:

प्रथम उदाहरण:

• $S=40S\; =\; 40$, $p=16p\; =\; 16$, $c=0c\; =\; 0$

• $\mu =40\mathrm{/}16=2.5\backslash mu\; =\; 40\; /\; 16\; =\; 2.5$

• चतुष्केण समगुण्य वापरून: $\mu =10\backslash mu\; =\; 10$, $c=0c\; =\; 0$

द्वितीय उदाहरण:

• $S=64S\; =\; 64$, $p=16p\; =\; 16$, $c=0c\; =\; 0$

• $\mu =64\mathrm{/}16=4\backslash mu\; =\; 64\; /\; 16\; =\; 4$

• किंवा $c=2c\; =\; 2$, $\mu =1\backslash mu\; =\; 1$

🔹 चरणानुसार मांडणी:

अथवा चरणे चरणे पूर्त्यै तु पृथक् पृथग् भवेदादि:।।१४।। प्रचय: सम एवास्मिन्श्चरणमितो जायते गच्छ:।।१५।।

• प्रत्येक चरणात एक आद्य आणि समान चय वापरून संख्यांची मांडणी

• उदाहरणार्थ:

  • चरणे: 1, 6, 11, 16

  • किंवा: 1, 5, 12, 16

  • किंवा: 2, 6, 11, 15