अथैकत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्राभीष्टरेखाया: कियदन्तरे चिन्हं कृत्वा तद्गतसमानान्तररेखा कर्त्तुं चिकीरषितास्ति ।
यथा बजरेकाया अचिन्हगता रेका समानान्तरा कर्त्तव्यमस्ति । तत्र बजरेखायां दचिन्हम कार्यम् ।
अचिन्हात् दचिन्हपर्यन्तं रेखा नेया । अचिन्हे अदजकोणतुल्य: दअहकोण: कार्य: ।
पुनर्हअरेखा झपर्यन्तं नेया । तदा हझरेखा जबरेखाया: समानान्तरा जाता ।
इदमेवेष्टम् ।।
अथ द्वात्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्रेष्टत्रिभुजस्यैको भुजो वर्द्धनीय: पुनस्तत्रैव यो बहि: स्थित: कोण: स सन्मुखान्तर्गतकोणद्वययोगेन समानो भवति। अन्तर्गतकोनत्रययोगोऽपि द्वयो: समकोणयो: समानो भवति ।
यथा अबजत्रिभुजे बजभुजो दपर्यन्तं वर्द्धित: तत्र अजदकोणो बहि;स्थ: बअकोणद्वययोगेन समानोऽस्ति ।
यतो जचिन्हात् बअरेकाया: समानान्तरा जहरेखाकार्या । तत्र अजहकोणो बअजकोणेन तुल्यो जात: । हजदकोणश्र्च बकोणेन तुल्यो जात: । तदा अजदकोणो बहि:स्थ; बअकोणद्वययोगेन तुल्यो जात:।
पुन: अजदकोण: अजबकोणयुक्तो द्वयो: समकोणयो: समानोऽस्ति ।
तदान्त्गतकोणत्रययोगो द्वयो: समकोणयो: समानो जात: ।
इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।
पुन: प्रकारान्तरम् ।
तत्र अचिन्हात् बदरेकाया: समानान्तरा अझरेका कारया । तदा झाबकोणो बकोणेन तुल्यो जात:। पुन: झअजकोण: अजदकोणेन तुल्यो जात: । तदा अजदकोण: अबकोणयोस्तुल्यो जात: ।।
इदमेवेष्टम् ।।
अथ त्रयस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्र रेखाद्वयं समानं समानान्तरं चास्ति तदग्रयो: संलग्ना रेखा कार्या एवं द्वितीयाग्रयो: संलग्नरेखायास्तद्रेखाद्वयं समानं समानान्तरं भवति ।
यथा अबरेखाजदरेखे समाने समानान्तरे च स्त: ।
तदा तदग्रयो: अजरेखाबदरेखे च कृते । एते रेखे समाने समानान्तरे च भविष्यत: ।
अत्रोपपत्ति:।
बजरेका कार्या । तदा अबजत्रिभुजे बजदत्रिभुजे च अबभुजो बजभुज: अबजकोणश्र्च दजभुजो बजभुजो दजबकोणश्र्चैते य़ाक्रमेण समाना: स्यु: । तदा अजभुजो बदभुजेन समानो जात:। पुन: अजबकोण: दबजकोणश्र्चैतौ समानौ स्त:। तत: अजभुजो बदभुजेन समानान्तरो जात> । इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
पुन: प्रकारान्तम् ।
अदरेखा बजरेखायां हचिन्हे संपातं यथा करोति तथा कार्या। तत्र अहबत्रिभुजे जहदत्रिभुजे च अहबकोणोजहदकोणेन समानोऽस्ति । पुन: अबहकोण: दजहकोणश्र्चैतौ समानौ स्त: । अबभुजो जदभुजसमानोऽस्ति । तदा अहभुजदहभुजौ समानौ जातौ । तदा बहभुजजहभुजौ च समानौ जातौ । पुन: अहजत्रिभुजे बहदत्रिभुजे च अहभुजो हजभुज: अहजकोणश्र्च दहभुजेन बहभुजेन बहदकोणेन च यथाक्रमं समान: । एवं अजभुजबदभुजो समानौ जातो । पुन: अजहकोनदबहकोणौ समानौ जातौ । तदा अजभुजो बदभुजेन समानान्तरो जात: । इदमेवास्माकमिष्टम्।।
अथ चतुर्स्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्र यस्य चतुर्भुजक्षेत्रस्य भुजा: समानान्तरा भवन्ति तस्य परस्परसन्मुखं भुजद्वयं समानं भवति तत्कर्णश्र्च क्षेत्रस्य समानं भागद्वयं करोति ।
यथा अबजदचतुर्भुजक्षेत्रस्य बदकर्ण: कल्पित: ।
अत्रोपपत्ति:।
अदबकोणो जबदकोणेन सम: । पुन: अबदकोण: जदबकोणेन सम: । एवं अदबत्रिभुजे जबदत्रिभुजे च अदबकोण: जबदकोणश्र्चैतौ समानौ स्त:। पुन: अबदकोण: जदबकोणस्चैतो समानौ जातौ । बदभुजश्र्चोभयोस्त्रिभुजयोरेक एव । तर्हि अदभुजबजभुजौ समानौ । अबभुजजदभुजौ च समानौ । पुन: अकोणजकोणौ समानौ जातौ ।
अदजकोणजबअकोणौ च समानौ । एवं द्वौ त्रिभुजौ समानौ । तदा बदकर्णेन चतुर्भुस्य भागद्वयं समानं लृतमित्युपपन्नम् ।।
प्रकारान्तरम् ।
यदि अबभुज: जदभुजेन समानौ न स्यात् तर्हि जहभुजेन समान: स्यात् । तत्र अहरेका कार्या । एवं अहरेका बजरेखाया: सनानान्तरा भविष्यति । पुनर्बजरेखा अदरेखाया: समानान्तरास्ति । तदा अहरेखा अदरेखा समानान्तरा जाता । इदं बाधितम् ।
अथानेन प्रकारेण अदरेका बजरेखाया: समाना भवति ।
यदि बअदकोण: बजदकोणेन समानो न भवति तदा बअहकोणो बजदकोणेन समान: स्यात् । तत्र अजरेखा कार्या । तदा बअजकोणहजअकोणौ समानौ । तदा जअहकोण: अजबकोणेन समानो जात: । जअदकोण: अजबकोणेन समानोऽस्ति । इदमप्यनुपपन्नम् ।। एवं बकोणो दकोणेन समानौऽस्ति । पुन: अदजत्रिभुजं अबजत्रिभुजेन समानम् । इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
अथ पञ्चत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्र चतुर्भुजक्षेत्रद्वयं समानान्तरभुजमेकस्यां भमावेकदिशि व भवति द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्ये च भवति त्श्र्चतुर्भुजद्वयं समानं भवति ।
यथा अबजदचतुर्भुजं हबजझचतुर्भुजं चैते द्वे चतुर्भुजे अझरेखाबजरेखयोर्मध्ये बजरेखोपरि स्त: ते च समाने स्त: ।
अत्रोपपत्ति:।
अदभुज: हझभुजश्र्च बजभुजेन समानोऽस्ति तदा अदभुज: हझभुजश्र्चैतौ समानौ जातौ । पुनर्दहरेका अदरेखायां झहरेखायां ष युक्ता कार्या । तदा हअबत्रिभुजे झदजत्रिभुजे अहभुजझदभुजौ च समानौ । पुन: अबभुजजदभुजौ समानौ । पुनर्बेहकोणजदझकोणौ समानौ । तदैते द्वे त्रिभुजे समाने जाते । पुनरनयोस्त्रिभुजयो: दवहत्रिभुजं दुरीक्रियते वबजत्रिभुजम च योज्यते तदा अबजदचतुर्भुजं हबजझचतुर्भुजं चैते समाने भविष्यत: ।
इदमेवास्माकमिष्टम् ।।
अथाऽस्मिन्क्षेत्रे हचिन्हं अदाद्बहि: पतिष्यति तदा बहजदौ संपातं लतिष्यत: । अथवा हचिन्हं दचिन्हे पतिष्यति । अबअदयोर्मध्ये वा पतिष्यति । अनयो: प्रकारान्तरकृतक्षेत्रयो: प्रथमत्रिभुजे लघुत्रिभुजदूरीकरणं नास्ति त्रिभुजयोग: कर्त्तव्योऽस्ति । द्वितीयक्षेत्रे चतुर्भुजम युक्तं कार्यमेताबान् विशेष: ।।
अथ षट्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
तत्र द्वे चतुर्भुजक्षेत्रे समानान्तरभुजे एकदिशि द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्ये समानभूमिके यदा भवतस्तदा ते द्वे चतुर्भुजक्षेत्रे समाने भवत: ।
यथा अबजदचतुर्भुजम हझवतचतुर्भुजं च अतबवरेखयोर्मध्ये बजझवसमानभुजोपरि भवतस्ते च समाने एव भवत: ।
अस्योपपत्ति: ।
बहरेखाजतरेखा च कार्या । एते रेखे समाने समानान्तरे च भविष्यत: / कथम् । बजरेखाहतरेखे च समाने समानान्तरे च स्त:। पुन: अबजदचतुर्भुजं हबजतचतुर्भुजं चैते समाने स्त:। यत: अतरेखाबजरेखयो: समानान्तरयोर्मध्ये एकभुजोपरि तितिष्ठत:। पुनर्हझवतचतुर्भुजं हबजतचतुर्भुजं चैते समाने जाते ।। इदमेवास्माकमभीष्टम् ।।
अथ सप्तत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
त्रिभुजद्वयमेकभुजोपर्येकदिशि द्वयो: समानान्तररेकयोर्मध्ये यदा भवति तदा तस्त्रिभुजद्वयं समानं भवति।
यथा अबजत्रिभुजम दबजत्रिभुजम च बजभुजोपरि अदबजसमानान्तररेखयोर्मद्येऽस्तीति । तस्माश्र्त्रिभुजद्वयं समानं जातम् ।
अत्रोपपत्ति:।
बचिन्हात् जअरेखाया: समानान्तरा बहरेखा कार्या । पुनर्जचिन्हात् बदरेखाया: समानान्तरा जझरेखा कार्या । पुन: अदरेका दिग्द्वये तता वर्द्धिता कार्या यथा निष्कासितरेखाद्वयसंपातं करोति । तदा हबजअचतुर्भुजं दबजजचतुर्भुजं च बजभुजोपरि समानान्तरयोर्हझरेकाबजरेखयोर्मध्ये तोष्ठति । तदैते द्वे चतुर्भुजे समाने जाते । अनयोरर्द्धे द्वे त्रिभुजे समाने जाते। इदमेवेष्टम् ।।
अथाष्टत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
द्वे त्रिभुजे समानभुजद्वयोपर्येकदिशि द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्ये यदा स्याताम ते द्वे त्रिभुजे समाने एव भवत:।
यथा अबजत्रिभुजं दहझत्रिभुजं बजहझसमानभुजोपरि बझअदसमानान्तररेखयोर्मध्येऽस्ति।
तस्मात्ते समाने जाते ।
अत्रोपपत्ति:।
बचिन्हात् जअरेखाया: समानान्तरा बवरेखा कार्या । झचिन्हात् हदरेखाया: समानान्तरा झतरेखा कार्या। अदरेखा दिग्द्वये वर्द्धिता तथा कार्या यथा वतचिन्हयो: संपायं करोति । एवं बजअवचतुर्भुजं दहझतचतुर्भुजं वजहझसमानभुजोपरि समानान्तररेखयोर्मध्येऽस्ति । तदेते चतुर्भुजे समाने जाते । तदैतयोरर्द्धे त्रिभुजे समाने भवत:। इदमेवेष्टम् ।।
अथैकोनचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
त्रिभुजद्वयं समानमेकदिशि स्थितमेकभुजोपरि यदि भवति तश्र्त्रिभुजद्वयं द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्यवर्तिम भविष्यति ।
यथा अबजत्रिभुजदबजत्रिभुजे बजभुजोपरि स्थिते ।
पुन: अदरेखा कार्या । सा बजरेखाया: समानान्तरा भवति । यदि समानान्तरा न स्यात् तदा अहरेखा बजरेखासमानान्तरा स्यात् । हजरेखा कार्या । तत्र हबजत्रिभुजं अबजत्रिभुजेन समानम् । अबजत्रिभुजं दबजत्रिभुजेन समानम् । तदा हबजत्रुभुजं दबजत्रिभुजेन समानम जातं खण्डस्य साम्यात् । इदमनुपपन्नम् ।।
अथ चत्वारिंशत्तमम क्षेत्रम् ।
तत्र समानं त्रिभुजद्वयमेकरेखायां समानभुजद्वयोपरि भवति तश्र्त्रिभुजद्वयं द्वयो: समानान्तररेखयोर्मध्यवर्ति भवति ।
यथा अबजत्रिभुजं दहझत्रिभुजं बजभुजहझभुजयोरुपरि बझरेखातामस्यि ।
अत्रोपपत्ति: ।
अदरेखा कार्या । इयं रेखा बझरेखाया: समानान्तरास्ति । यदि समानान्तरा न स्यात् तदा अवरेखा समानान्तरा स्यात् । वझरेखा कार्या । तदा वहझत्रिभुजं दहझत्रिभुजंचैते समाने स्यातां स्वखण्डस्य समत्वात् ।
इदमनुपपन्नम् ।।
🔺 एकत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: दिलेल्या रेषेवर एका निश्चित अंतरावर बिंदू घेऊन, त्या बिंदूपासून दिलेल्या कोनाच्या समतुल्य कोन तयार करून त्यावरून समानांतर रेषा रचता येते.
मराठी अनुवाद: जर बज रेषा दिली असेल आणि तिच्यावर द बिंदू असेल, तर अ बिंदूपासून द पर्यंत रेषा नेऊन, अ बिंदूवर दिलेल्या कोनाच्या समतुल्य कोन तयार केला जातो. त्या कोनावरून रेषा वाढवली असता ती बज रेषेला समानांतर ठरते.
🔺 द्वात्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर त्रिकोणाची एक बाजू वाढवली गेली, तर बाह्य कोन हा त्या त्रिकोणातील समोरील दोन अंतर्गत कोनांच्या बेरीजइतका असतो. तसेच, त्रिकोणातील तीनही अंतर्गत कोनांची बेरीज दोन समकोणांइतकी (१८०°) असते.
मराठी अनुवाद: उदाहरणार्थ, अबज त्रिकोणात, जर बज बाजू वाढवली गेली आणि बाह्य कोन अजद तयार झाला, तर ∠अजद = ∠ब + ∠अ आणि ∠अ + ∠ब + ∠ज = १८०°
🔺 त्रयस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन रेषा समान आणि समानांतर असतील, आणि त्यांच्या टोकांवर जोडलेल्या रेषा देखील समान असतील, तर त्या जोडलेल्या रेषा एकमेकांशीही समान आणि समानांतर असतात.
🔺 चतुस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर चतुर्भुजाच्या समोरील बाजू समानांतर असतील, तर समोरील बाजूही समान असतात, आणि कर्ण त्या चतुर्भुजाला दोन समान भागांत विभागतो.
🔺 पञ्चत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन चतुर्भुज एकाच बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर ते चतुर्भुज एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 षट्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन चतुर्भुज समानांतर रेषांमध्ये एकाच आधारावर स्थित असतील, तर ते एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 सप्तत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन त्रिकोण एकाच बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर ते त्रिकोण एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 अष्टत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन त्रिकोण दोन समान बाजूंवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये एकाच दिशेने स्थित असतील, तर ते त्रिकोण सम आहेत.
🔺 एकोनचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन सम त्रिकोण एकाच बाजूवर स्थित असतील, तर ते दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतात.
🔺 चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन सम त्रिकोण एकाच रेषेवर दोन समान बाजूंवर स्थित असतील, तर ते दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतात.
🔺 एकत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: दिलेल्या रेषेवर एका निश्चित अंतरावर बिंदू घेऊन, त्या बिंदूपासून दिलेल्या कोनाच्या समतुल्य कोन तयार करून त्यावरून समानांतर रेषा रचता येते.
मराठी अनुवाद: जर बज रेषा दिली असेल आणि तिच्यावर द बिंदू असेल, तर अ बिंदूपासून द पर्यंत रेषा नेऊन, अ बिंदूवर दिलेल्या कोनाच्या समतुल्य कोन तयार केला जातो. त्या कोनावरून रेषा वाढवली असता ती बज रेषेला समानांतर ठरते.
🔺 द्वात्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर त्रिकोणाची एक बाजू वाढवली गेली, तर बाह्य कोन हा त्या त्रिकोणातील समोरील दोन अंतर्गत कोनांच्या बेरीजइतका असतो. तसेच, त्रिकोणातील तीनही अंतर्गत कोनांची बेरीज दोन समकोणांइतकी (१८०°) असते.
मराठी अनुवाद: उदाहरणार्थ, अबज त्रिकोणात, जर बज बाजू वाढवली गेली आणि बाह्य कोन अजद तयार झाला, तर ∠अजद = ∠ब + ∠अ आणि ∠अ + ∠ब + ∠ज = १८०°
🔺 त्रयस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन रेषा समान आणि समानांतर असतील, आणि त्यांच्या टोकांवर जोडलेल्या रेषा देखील समान असतील, तर त्या जोडलेल्या रेषा एकमेकांशीही समान आणि समानांतर असतात.
🔺 चतुस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर चतुर्भुजाच्या समोरील बाजू समानांतर असतील, तर समोरील बाजूही समान असतात, आणि कर्ण त्या चतुर्भुजाला दोन समान भागांत विभागतो.
🔺 पञ्चत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन चतुर्भुज एकाच बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर ते चतुर्भुज एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 षट्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन चतुर्भुज समानांतर रेषांमध्ये एकाच आधारावर स्थित असतील, तर ते एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 सप्तत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन त्रिकोण एकाच बाजूवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतील, तर ते त्रिकोण एकमेकांशी सम आहेत.
🔺 अष्टत्रिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन त्रिकोण दोन समान बाजूंवर आणि दोन समानांतर रेषांमध्ये एकाच दिशेने स्थित असतील, तर ते त्रिकोण सम आहेत.
🔺 एकोनचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन सम त्रिकोण एकाच बाजूवर स्थित असतील, तर ते दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतात.
🔺 चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम्
तत्त्व: जर दोन सम त्रिकोण एकाच रेषेवर दोन समान बाजूंवर स्थित असतील, तर ते दोन समानांतर रेषांमध्ये स्थित असतात.
No comments:
Post a Comment