नारायण पंडित- गणितकौमुदी-अभ्यासिका पंक्ती-AI विश्लेषण

(१) अन्तिमेनान्तिमाङ्केन गुणितं पुर: अग्रे पुनरन्तिमगुणितं तत्पुर: पुनस्तद्वत् स्थानाधिकं लिखेत् ।

(२) यथाचार्योक्तोदाहरणे अन्तिमाङ्क:=३, स्थानानि =३।

स्थानाहतान्तिमाङ्क: = ३ष३=९ अयं सैक:=१० स्थानसंख्योनित:= १०-३=७ जातं स्थानम्। अन्तिमाङ्कमितचयपङ्क्ति:=१।२।३

अस्या आदिमाङ्क रूपं विहाय परौ २।३ अन्तिमाङ्कहतौ २ष३=६, ३ष३=९ जातौ पङ्क्तौ

तत्पुरोऽङ्कौ एवं पङ्क्ति:=१।२।३।६।९

पुनरन्तिमाङ्कमितचयपङ्क्ति:=३।६।९,

अन्तादिमाङ्क* त्रयं विहाय परौ ६।९ अङ्कौ अन्तिम ३ हतौ १८।२७ तत्पुरो निवेशितौ जाता पङ्क्ति:=१।२।३।६।९।१८।२७। स्थानसंख्यामिता अत्र अङ्का: ।

---

आभ्यासिक्यां पङ्क्तौ

प्रजायते स्थानमानमिह ।

अन्तिममितचयपङ्क्ति-

स्तदादिमाङ्क* विहायचाऽन्येऽङ्का:।।१९।।

अन्तिमहता पुरस्ताद्

विन्यस्य पुन:पुनश्चैवम् ।

तानेवान्तिमनिघ्नान्

यावत् स्थानाङ्कसम्मितिर्भवति ।।२०।।

पङ्क्तिरियं गणकाग्र्यै:

समीरिताऽऽभ्यासिकी पूर्वे:।

---

१०-३=७ जातं स्थानमानम् । अन्तिमाङ्कमितचयपङ्क्ति:=१।२।३

अस्या आदिमाङ्कं रूपं विहाय परौ २।३ अन्तिमाङ्कहतौ २x३ =६,

३x३=९, जातौ पङ्क्तौ तत्पुरोऽङ्कौ एवं पङ्क्ति:= १।२।३।६।९

पुनरन्तिमाङ्क्मितचयपङ्क्ति:=३।६।९, अन्तादिमाङ्कं त्रयं विहाय परौ ६।९ अङ्कौ अन्तिम ३ हतौ १८।२७ तत्परो निवेशितौ जाता पङ्क्ति: = १।२।३।६।९।१८।२७। स्थानसंख्यामिता अत्र अङ्का: ।

---

सुरेश, आपण गणितकौमुदी ग्रंथातील अभ्यासिका पंक्ती (Practice-based or recursive progression) चे अत्यंत सुसंगत विवेचन सादर केले आहे. हे श्लोक आणि उदाहरणे गणितातील पुनरावृत्तीच्या आधारे पंक्ती निर्माण करण्याची प्रक्रिया स्पष्ट करतात, जिथे प्रत्येक नवीन पद पूर्वीच्या पदांवर आधारित असतो—विशेषतः अन्तिमाङ्क (last multiplier) आणि स्थानसंख्या (number of terms) यांच्या साहाय्याने.

चला आपण याचे AI विश्लेषण, मराठी भाषांतर, आणि पायरीवार उदाहरणात्मक स्पष्टीकरण सादर करू:

🪷 श्लोक १९–२०: अभ्यासिका पंक्तीचे सूत्र

📘 श्लोक १९

आभ्यासिक्यां पङ्क्तौ प्रजायते स्थानमानमिह । अन्तिममितचयपङ्क्ति- स्तदादिमाङ्क विहायचाऽन्येऽङ्का: ॥*

📘 श्लोक २०

अन्तिमहता पुरस्ताद् विन्यस्य पुन:पुनश्चैवम् । तानेवान्तिमनिघ्नान् यावत् स्थानाङ्कसम्मितिर्भवति ॥

🗣️ मराठी भाषांतर:

अभ्यासिका पंक्तीमध्ये स्थानसंख्या ही अन्तिमाङ्क × अन्तिमाङ्क + 1 इतकी असते. या पंक्तीत प्रथम अन्तिमाङ्कमित चयपंक्ती लिहावी (उदा. 1, 2, 3). त्यातील आदिमांक वगळून उर्वरित अंकी अन्तिमाङ्काने गुणाकार करावा. मिळालेल्या अंकी पुढे लिहावे. ही प्रक्रिया पुनःपुन्हा करावी, जोपर्यंत स्थानसंख्या पूर्ण होत नाही.

🧮 उदाहरण:

अन्तिमाङ्क = 3, स्थानसंख्या = 3

Step 1:

स्थानाहत अन्तिमाङ्क = 3 × 3 = 9 सैक = 9 + 1 = 10 स्थानसंख्योनित = 10 – 3 = 7 ⇒ पंक्तीत एकूण 7 पदे असतील

Step 2:

अन्तिमाङ्कमित चयपंक्ती = 1 2 3 (चयपंक्ती म्हणजे क्रमवाढीची पंक्ती)

Step 3:

आदिमाङ्क (1) वगळून उर्वरित = 2 3 त्यांचे अन्तिमाङ्काने गुणिले:

• 2 × 3 = 6

• 3 × 3 = 9 ⇒ पुढील पदे = 6 9

⇒ पंक्ती: 1 2 3 6 9

Step 4:

पुन्हा चयपंक्ती: 3 6 9 आदिमाङ्क (3) वगळून उर्वरित = 6 9

• 6 × 3 = 18

• 9 × 3 = 27 ⇒ पुढील पदे = 18 27

⇒ अंतिम पंक्ती: 1 2 3 6 9 18 27 ✅

📘 अंतिम पंक्ती:

अभ्यासिका पंक्ती = 1 2 3 6 9 18 27

• पदसंख्या = 7

• प्रत्येक नवीन पद = मागील पद × अन्तिमाङ्क

• ही पंक्ती recursive exponential growth दर्शवते

✨ AI विश्लेषण:

या अभ्यासिका पंक्तीचे स्वरूप:

• Recursive logic: प्रत्येक नवीन पद पूर्वीच्या पदांवर आधारित

• Exponential progression: गुणोत्तर वाढ

• Structured iteration: स्थानसंख्येवर आधारित विस्तार

या पद्धतीचा उपयोग:

• गणनात्मक अनुक्रम तयार करण्यासाठी

• शैक्षणिक उदाहरणे, नाट्यविन्यास, किंवा दृश्यशिल्प सादरीकरणासाठी

• डेटा जनरेशन, पॅटर्न डिटेक्शन, आणि AI sequence modeling मध्ये