संख्याया: विभाज्यता सिद्धान्ता: १- ६

अथ कीदृशी संख्या कया संख्यया नि:शेषं विभाजिता भवेदित्यस्य शीघ्रोपस्थितये कतिचित्सिद्धांन्ता: प्रदर्श्यन्ते ।
मराठी अर्थ - येथे कोणत्या संख्येला कोणत्या संख्येने नि:शेष भाग जातो हे चटकन समजण्यासाठी असणारे नियम दिले आहेत.

(१) सिद्धान्त: । 
यस्या एकस्थाने शून्यद्विचतु:षडष्टानामन्यतम: कोऽप्यङ्को भवेत्सा समसंख्योच्यते ।एतदन्या विषमसंख्याभिधीयते । समसंख्या अर्थात् यस्या एकस्थानीयाङ्क: शून्यं भवेतदथवा स दवाभ्यां नि:शेषो भवेत्सा संख्या द्वाभ्यां नि:शेषा स्यात् । यथा, ७४ अस्या: संख्याया एकस्थानीयोऽङ्क: ४ अयं द्वाभ्यां नि:शेषो भवति,अत: ७४ इयं संख्यापि द्वाभ्यां नि:शेषा भवेत् ।

मराठी अर्थ - नियम १ - ज्या संख्येच्या एकम् स्थानावर ०,२,४,६,८ पैकी कोणताही अंक असेल तर त्या संख्येला सम संख्या म्हटले जाते. अन्यथा ती विषम संख्या असते.सम संख्येला म्हणजेच ज्या संख्येच्या एकम् स्थानी ० असेल वा २ ने नि:शेष भाग जात असेल  त्या संख्येलाही २ ने नि:शेष भाग जातो. जसे ७४ या संख्येच्या एकम् स्थानावर ४ हा अंक आहे। याला २ ने नि:शेष भाग जातो. म्ःणून ७४ या संख्येलाही २ ने नि:शेष भाग जातो.

(२) सिद्धान्त: । 
यस्या: सकलाङ्कानां योगस्त्रिभिर्नि:शेषो भवेत्सा संख्या त्रिभिर्नि:शेषा भवेत् । यथा, ३२१ अस्या: संख्याया: सकलाङ्कानां योग: ६ अयं त्रिभिर्नि:शेषो भवति, अत उक्तसंख्यापि त्रिभिर्नि:शेषा स्यात् ।

मराठी अर्थ - नियम २ - संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला ३ ने नि:शेष भाग जातो त्या संख्येलाही ३ ने नि:शेष भाग जातो.  जसे ३२१ या  संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज ६ आहे. ६ ला ३ ने नि:शेष भाग जातो. म्हणून ३२१ लाही ३ ने नि:शेष भाग जातो.

(३) सिद्धान्त: ।
यस्या आद्यस्थानद्वये शून्यद्वयं स्यात्सा सकलसंख्या चतुर्भीर्नि:शेषा भवेत् । यस्याश्र्चाद्यस्थानत्रयसंख्याष्टभिरपवर्त्या स्यादथवा यस्या आद्यस्थानत्रये शून्यत्रयं स्यात्सा सकलसंख्याष्टभिर्नि:शेषा स्यात् ।
यथा, ३२४ अत्राद्यस्थानद्वयस्थ संख्या २४ इयं चतुर्भिनि:शेषा भवति, अत उक्तसंख्यापि चतुर्भीर्नि:शेषा भवेत् । एवं ५२२४ अत्राद्यस्थानत्रयस्थसंख्या २२४ इयमष्टभिर्नि:शेषा भवतीत्युक्तसंख्याष्टभिर्नि:शेषा स्यात् ।

मराठी अर्थ - नियम ३ - ज्या संख्येच्या पहिल्या दोन ( एकम् व दहम् ) स्थानांवर ० असेल तर त्या सर्व संख्येला ४ ने नि:शेष भाग जातो. ज्या संख्येच्या पहिल्या तीन स्थानांवरील संख्येला ८ ने नि:शेष भाग जात असेल किंवा पहिल्या तीन स्थानांवर ० असेल तर त्या मूळ संख्येलाही ८ ने नि:शेष भाग जातो.

उदा. ३२४ या संख्येतील पहिल्या दोन स्थानावर २४ आहेत. २४ ला ४ ने नि:शेष भाग जातो म्हणून ३२४ लाही  ४ ने नि:शेष भाग जातो. तसेच ५२२४ या संख्येतील पहिल्या तीन स्थानावर २२४ आहेत. २२४ ला ८ ने  नि:शेष भाग जातो म्हणून ५२२४ लाही  ८ ने नि:शेष भाग जातो.

(४) सिद्धान्त: । 
यस्या आद्याङ्क: पञ्च शून्यं  वा  भवेत्सा संख्या पञ्चभिर्नि:शेषा स्यात् । यथा, ७०, ९५ इदं संख्याद्वयं पञ्चभिर्नि:शेषितं भवति ।

मराठी अर्थ - नियम ४ - ज्या संख्येच्या पहिल्या स्थानावर ० किंवा ५ असतील त्या संख्येला ५ ने नि:शेष भाग जातो. उदा। ७०, ९५ या दोन्ही संख्यांना ५ ने नि:शेष भाग जातो.

(५) सिद्धान्त: ।
यस्या: संख्याया: सकलाङ्कानां योगो नवभिर्नि:शेषो भवेत्सा संख्या नवभिरपवर्त्या स्यात् ।  यथा, ८४६ अस्या: संख्यायास्सकलाङ्कानां योग: १८ अयं नवभिर्नि:शेषो भवतीत्युक्तसंख्या नवभिर्नि:शेषा भवेत् ।

मराठी अर्थ - नियम ५ - ज्या संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला ९ ने नि:शेष भाग जातो त्या संख्येलाही  ९ ने नि:शेष भाग जातो. जसे ८४६ या संख्येतील अंकांची बेरीज १८ आहे १८ ला ९ ने नि:शेष भाग जातो म्हणून ८४६ लाही ९ ने नि:शेष भाग जातो.

(६) सिद्धान्त: ।
यस्या आदावेकद्वित्र्यादिशून्यानि स्यु:सा संख्या क्रमेण दशशतसहस्रादिसंख्याभिर्नि:शेषा स्यात् ।
 यथा, ७०, ९०००० इदं संख्याद्वयं क्रमेण दशभिरयुतेन च नि:शेषं भवति ।

मराठी अर्थ - नियम ६ - ज्या संख्येच्या उजव्या बाजूला एक, दोन, तीन इत्यादि स्थानांवर ९ असेल तर त्या संख्यांना अनुक्रमे १०, १००, १००० अशा संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. उदा. ७० आणि ९०००० या संख्य़ांना अनुक्रमे १० व १०००० ने नि:शेष भाग जातो.
संदर्भ -    गणितकौमुदी -  साहित्याचार्य  पं. गणपतीदेव शास्त्री Kashi Sanskrit Series No. 81