(७) सिद्धान्त: ।
तस्या: संख्याया: प्रथमतृतीयपञ्चमादिविषमस्थानीयाङ्कयोग स्य द्वितीयचतुर्थषष्ठादिसमस्थानीयाङ्कयोगस्य चान्तरं शून्यमेकादशभिर्वा नि:शेषं भवेत्सा संख्यैकादशभिर्नि:शेषा स्यात् ।
यथा, ६९५७५ अस्या: संख्याता: विषमस्थानीयाङ्कानां ५,५,६ एषां योग: १६, समस्थानीयाङ्कयो: ७,९ अनयोर्योग: १६, एतद्योगद्वयस्यान्तरं शून्यमस्तीत्युक्तसंख्यैकादशभिर्नि:शेषा स्यात् । एवमेव ५६५२६१४ अत्र विषमस्थानीयाङ्कानां ४,६,५,५, एषां योग: २०, समस्थानीयाङ्कानां १,२,६ एषां योग: ९, एतद्योगद्वयान्तरं ११ इदमेकादशभिर्नि:शेषं भवतीत्युक्तसंख्यैकादशभिर्नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ७
ज्या संख्येतील पहिल्या तिसर्या, पाचव्या अशा विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज आणि दुसर्या चौथ्या, सहाव्या यासारख्या समास्थानांवरील अंकांची बेरीज यांची वजाबाकी शून्य असेल तर त्या संख्येला ११ ने नि:शेष भाग जातो. उदा. ६९५७५ या संख्येतील विषम स्थानांवर ५,५,६ हे अंक आहेत. यांची बेरीज १६ तसेच समस्थानावरील अंक ७,९ यामची बेरीजही १६ आहे. त्यामुळे त्यांची वजाबाकी शून्य येते. म्हणून संख्येला ११ ने नि:शेष भाग जातो. याचप्रमाणे ५६५२६१४ या संख्येतील विषम स्थानावरील अंक ४,६,५,५ व त्यांची बेरीज २० तर सम स्थानांवरील अंक १,२,६ यांची बेरीज ९ आहे. त्यामुळे या दोहोंची वजाबाकी ११ आहे व त्याला ११ ने नि:शेष भाग जातो. त्यामुळे ५६५२६१४ लाही ११ ने नि:शेष भाग जातो.
(८) सिद्धान्त: ।
काचित्संख्या सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषा भवितुमर्हति नवेत्यस्य निर्णय एवं क्रियते । निर्दिष्टसंख्यास्थिताङ्का दक्षिणपार्श्वतो यथा सम्भवमेवंविधेष्वङ्कसमूहेषु विभाजनीया येष्वङ्कत्रयं भवेत् । तत: प्रथमतृतीयादिविषमसमूहानां योगस्य द्वितीयचतुर्थादिसमसमूहानां योगस्य चान्तरं यदि शून्यं भवेदथवा तदन्तरं यदि सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषं स्यात्तर्हि सा निर्दिष्टसंख्या सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषा भवेत् । यथा, २९१४३५७०४ अस्या: संख्याया: ७०४,२९१ इमौ विषमसमूहौ, अनयोर्योग: ९९५, अत्र समसमूह ४३५ अयमेक एव, ९९, ४३५ अनयोरन्तरं ५६० इदं सप्तभिर्नि:शेषं भवति नत्वेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा, अत उक्त सप्तभिर्नि:शेषा स्यात् । एवमेव ६४३४५३५८ अत्र ३५८,६४ इमौ विषमसमूहौ, अनयोर्योग: ४२२, समसमूहश्र्च ३४५ अनयोरन्तरं ७७ इदं सप्तभिरेकादशभिश्र्च नि:शेषं भवतीत्युक्तसंख्या सप्तभिरेकादशभिश्र्च नि:शेषा स्यात् ।
मराठी अर्थ - नियम ८
एखाद्या संख्येला ७, ११ किंवा १३ ने नि:शेष भाग जातो किंवा नाही याचा निर्णया खालीलप्रमाणे केला जातो. दिलेल्या संख्येच्या उजव्या बाजूने तीन, तीन अंकांचे शक्य तेवढे समूह तयार करा. आता पहिला, तिसरा, पाचवा याप्रमाणे विषम समूहसंख्यांची बेरीज करा. तसेच समसमुकसंख्यामची बेरीज करा . या दोहोतील फरक जर शून्य असेल किंवा तयास ७, ११ वा १३ ने नि:शेष भाग जात असेल तर दिलेल्या संख्येस ७, ११ वा १३ ने नि:शेष भाग जाईल. आता २९१४३५७०४ या संख्येत ७०४ आणि २९१ हे विषम संख्यासमूह असून त्यांची बेरीज ९९५ होते येथे समसमूह ४३५ हा एकच आहे. आता ९९५ अणि ४३५ यांची वजाबाकी ५६० होते. हिला ७ ने नि:शेष भाग जातो. त्यामुळे मुख्य संख्येलाही ७ ने ने नि:शेष भाग जातो.
याचप्रमाणे ६४३४५३५८ याशंख्येत ३५८ आणि ६४ हे विषम संख्यासमूह आहेत त्यांची बेरीज ४२२ होते. ३४५ हा समसंक्यासमूह आहे ४२२-३४५=७७ याला ७ व ११ ने नि:शेष भाग जातो त्यामुळे मुख्य संख्येलादेखील ७ आणि ११ ने नि:शेष भाग जातो.
(९) सिद्धान्त: ।
यस्या अष्टाङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कचतुष्ट्यं क्रमेण तदुत्तरवर्त्यङ्कचतुष्ट्येन तुल्यं भवेत्सा संख्या ७७, १३७ आभ्यां नि:शेषा स्यात् । यथा ७३२१७३२१ अस्या: संख्यायाआदिमाङ्कचतुष्ट्यं ७३२१ इदं क्रमेण तदुत्तरवर्त्यङ्कचतुष्ट्येन ७३२१ अनेन सममत उक्त संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ९
ज्या आठ अंकी संख्येतील पहिले चार अंक अनुक्रमे पुढच्या चार अंकांसमान असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. जसे ७३२१७३२१ या संख्येतपहिले चार अंक ७३२१ हे पुढच्या ७३२१ सारखे आहेत. त्यामुळे या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(१०) सिद्धान्त: ।
यस्या: सप्ताङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कत्रयं क्रमेणान्तिमाङ्कत्रयेण समं तन्मध्ये च शून्यं स्यात्सा संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् । यथा, ३७१०३७१ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम १०
ज्या सात अंकी संख्येतील पहिले तीन अंक त्याच क्रमाने शेवटच्या तीन अंकांसमान असतील व मध्ये शून्य असेल तर तया संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. जसे ३७१०३७१ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(११) सिद्धान्त: ।
यस्या: षडङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कद्वयम क्रमेणान्तिमाङ्क द्वयेन तुल्यं मध्ये च शून्यद्वयं स्यात्सा संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा स्यात् । यथा ९५००९५ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ११
ज्या सहा अंकी संख्येतील पहिले दोन अंक त्याच क्रमाने शेवटच्या दोन अंकांसमान असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. उदा. ९५००९५ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(१२) सिद्धान्त: ।
यस्या: पञ्चाङ्कविशिष्टसंख्याया: प्रथमोऽङ्कोऽन्तिमाङ्केन समस्तन्मध्ये च शून्यत्रयं स्यात्सा संख्यापि ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् । यथा ५०००५ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम १२
ज्या पाच अंकी संख्येतील पहिला अंक शेवटच्या अंकासमान असेल व मध्ये तीन शून्ये असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. उदा. ५०००५ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
संदर्भ - गणितकौमुदी - साहित्याचार्य पं. गणपतीदेव शास्त्री Kashi Sanskrit Series No. 81
तस्या: संख्याया: प्रथमतृतीयपञ्चमादिविषमस्थानीयाङ्कयोग स्य द्वितीयचतुर्थषष्ठादिसमस्थानीयाङ्कयोगस्य चान्तरं शून्यमेकादशभिर्वा नि:शेषं भवेत्सा संख्यैकादशभिर्नि:शेषा स्यात् ।
यथा, ६९५७५ अस्या: संख्याता: विषमस्थानीयाङ्कानां ५,५,६ एषां योग: १६, समस्थानीयाङ्कयो: ७,९ अनयोर्योग: १६, एतद्योगद्वयस्यान्तरं शून्यमस्तीत्युक्तसंख्यैकादशभिर्नि:शेषा स्यात् । एवमेव ५६५२६१४ अत्र विषमस्थानीयाङ्कानां ४,६,५,५, एषां योग: २०, समस्थानीयाङ्कानां १,२,६ एषां योग: ९, एतद्योगद्वयान्तरं ११ इदमेकादशभिर्नि:शेषं भवतीत्युक्तसंख्यैकादशभिर्नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ७
ज्या संख्येतील पहिल्या तिसर्या, पाचव्या अशा विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज आणि दुसर्या चौथ्या, सहाव्या यासारख्या समास्थानांवरील अंकांची बेरीज यांची वजाबाकी शून्य असेल तर त्या संख्येला ११ ने नि:शेष भाग जातो. उदा. ६९५७५ या संख्येतील विषम स्थानांवर ५,५,६ हे अंक आहेत. यांची बेरीज १६ तसेच समस्थानावरील अंक ७,९ यामची बेरीजही १६ आहे. त्यामुळे त्यांची वजाबाकी शून्य येते. म्हणून संख्येला ११ ने नि:शेष भाग जातो. याचप्रमाणे ५६५२६१४ या संख्येतील विषम स्थानावरील अंक ४,६,५,५ व त्यांची बेरीज २० तर सम स्थानांवरील अंक १,२,६ यांची बेरीज ९ आहे. त्यामुळे या दोहोंची वजाबाकी ११ आहे व त्याला ११ ने नि:शेष भाग जातो. त्यामुळे ५६५२६१४ लाही ११ ने नि:शेष भाग जातो.
(८) सिद्धान्त: ।
काचित्संख्या सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषा भवितुमर्हति नवेत्यस्य निर्णय एवं क्रियते । निर्दिष्टसंख्यास्थिताङ्का दक्षिणपार्श्वतो यथा सम्भवमेवंविधेष्वङ्कसमूहेषु विभाजनीया येष्वङ्कत्रयं भवेत् । तत: प्रथमतृतीयादिविषमसमूहानां योगस्य द्वितीयचतुर्थादिसमसमूहानां योगस्य चान्तरं यदि शून्यं भवेदथवा तदन्तरं यदि सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषं स्यात्तर्हि सा निर्दिष्टसंख्या सप्तभिरेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा नि:शेषा भवेत् । यथा, २९१४३५७०४ अस्या: संख्याया: ७०४,२९१ इमौ विषमसमूहौ, अनयोर्योग: ९९५, अत्र समसमूह ४३५ अयमेक एव, ९९, ४३५ अनयोरन्तरं ५६० इदं सप्तभिर्नि:शेषं भवति नत्वेकादशभिस्त्रयोदशभिर्वा, अत उक्त सप्तभिर्नि:शेषा स्यात् । एवमेव ६४३४५३५८ अत्र ३५८,६४ इमौ विषमसमूहौ, अनयोर्योग: ४२२, समसमूहश्र्च ३४५ अनयोरन्तरं ७७ इदं सप्तभिरेकादशभिश्र्च नि:शेषं भवतीत्युक्तसंख्या सप्तभिरेकादशभिश्र्च नि:शेषा स्यात् ।
मराठी अर्थ - नियम ८
एखाद्या संख्येला ७, ११ किंवा १३ ने नि:शेष भाग जातो किंवा नाही याचा निर्णया खालीलप्रमाणे केला जातो. दिलेल्या संख्येच्या उजव्या बाजूने तीन, तीन अंकांचे शक्य तेवढे समूह तयार करा. आता पहिला, तिसरा, पाचवा याप्रमाणे विषम समूहसंख्यांची बेरीज करा. तसेच समसमुकसंख्यामची बेरीज करा . या दोहोतील फरक जर शून्य असेल किंवा तयास ७, ११ वा १३ ने नि:शेष भाग जात असेल तर दिलेल्या संख्येस ७, ११ वा १३ ने नि:शेष भाग जाईल. आता २९१४३५७०४ या संख्येत ७०४ आणि २९१ हे विषम संख्यासमूह असून त्यांची बेरीज ९९५ होते येथे समसमूह ४३५ हा एकच आहे. आता ९९५ अणि ४३५ यांची वजाबाकी ५६० होते. हिला ७ ने नि:शेष भाग जातो. त्यामुळे मुख्य संख्येलाही ७ ने ने नि:शेष भाग जातो.
याचप्रमाणे ६४३४५३५८ याशंख्येत ३५८ आणि ६४ हे विषम संख्यासमूह आहेत त्यांची बेरीज ४२२ होते. ३४५ हा समसंक्यासमूह आहे ४२२-३४५=७७ याला ७ व ११ ने नि:शेष भाग जातो त्यामुळे मुख्य संख्येलादेखील ७ आणि ११ ने नि:शेष भाग जातो.
(९) सिद्धान्त: ।
यस्या अष्टाङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कचतुष्ट्यं क्रमेण तदुत्तरवर्त्यङ्कचतुष्ट्येन तुल्यं भवेत्सा संख्या ७७, १३७ आभ्यां नि:शेषा स्यात् । यथा ७३२१७३२१ अस्या: संख्यायाआदिमाङ्कचतुष्ट्यं ७३२१ इदं क्रमेण तदुत्तरवर्त्यङ्कचतुष्ट्येन ७३२१ अनेन सममत उक्त संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ९
ज्या आठ अंकी संख्येतील पहिले चार अंक अनुक्रमे पुढच्या चार अंकांसमान असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. जसे ७३२१७३२१ या संख्येतपहिले चार अंक ७३२१ हे पुढच्या ७३२१ सारखे आहेत. त्यामुळे या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(१०) सिद्धान्त: ।
यस्या: सप्ताङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कत्रयं क्रमेणान्तिमाङ्कत्रयेण समं तन्मध्ये च शून्यं स्यात्सा संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् । यथा, ३७१०३७१ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम १०
ज्या सात अंकी संख्येतील पहिले तीन अंक त्याच क्रमाने शेवटच्या तीन अंकांसमान असतील व मध्ये शून्य असेल तर तया संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. जसे ३७१०३७१ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(११) सिद्धान्त: ।
यस्या: षडङ्कविशिष्टसंख्याया आदिमाङ्कद्वयम क्रमेणान्तिमाङ्क द्वयेन तुल्यं मध्ये च शून्यद्वयं स्यात्सा संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा स्यात् । यथा ९५००९५ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम ११
ज्या सहा अंकी संख्येतील पहिले दोन अंक त्याच क्रमाने शेवटच्या दोन अंकांसमान असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. उदा. ९५००९५ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
(१२) सिद्धान्त: ।
यस्या: पञ्चाङ्कविशिष्टसंख्याया: प्रथमोऽङ्कोऽन्तिमाङ्केन समस्तन्मध्ये च शून्यत्रयं स्यात्सा संख्यापि ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् । यथा ५०००५ इयं संख्या ७३, १३७ आभ्यां नि:शेषा भवेत् ।
मराठी अर्थ - नियम १२
ज्या पाच अंकी संख्येतील पहिला अंक शेवटच्या अंकासमान असेल व मध्ये तीन शून्ये असतील तर त्या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो. उदा. ५०००५ या संख्येला ७३ आणि १३७ या दोन्ही संख्यांनी नि:शेष भाग जातो.
संदर्भ - गणितकौमुदी - साहित्याचार्य पं. गणपतीदेव शास्त्री Kashi Sanskrit Series No. 81
No comments:
Post a Comment