श्रीभास्कराचार्य कृत ‘लीलावती’ अङ्क-पाशम् -३

श्रीभास्कराचार्य कृत ‘लीलावती’ 
अङ्क-पाशम् -३


अनियताङ्कैरतुल्यैश्र्च विभेदे करणसूत्रं वृत्तार्धम् ।
स्थानान्तमेकापचितान्तमाङ्कघातोऽसमाङ्कैश्र्च मितिप्रभेदा: ।

उपपत्ति:।
अत्रान्तमाङ्को नवैव ग्राह्योऽङ्कानां नवमितत्वात् । अथ संख्यायां यद्येकं स्थानं भवेत्तदा नवभिरङ्कैर्नवभेदा भवन्ति तत्राङ्कस्यानियतत्वात्। यदि संख्यायां स्थानद्वयं तदा पूर्वकथितैकस्थानभेदेषु प्रत्येकेषु निजातिरिक्ताङ्कस्तापनेनैकोनान्तिमाङ्कतुल्या भेदास्तथा स्थानत्रयात्मकसंख्यायाम स्थानद्वयाङ्कभेदेषु प्रत्येकेषु निजाङ्कद्वयातिरिक्ताङ्कस्थापनेन द्व्यूनान्तिमाङ्कसमाभेदा भवन्ति । ततोऽनुपातेन - स्थानद्वयसंख्या भेदा: = (अन्तिम अङ्क -१)xसर्वभेद/१भेद । एवं स्थानत्रयसंख्याभेदा भवन्ति, यथा - स्य़ानद्वयभेदेष्येकभेदेन यदि द्व्यूनान्तिमाङ्कसमभेदास्तदा सर्वेषु स्थानद्वयभेदेषु किमिति जाता भेदा: -

स्थानत्रयसंख्याभेद = स्थानद्वयभेद x(अन्तिमाङ्क -२)/१
=(अन्तिमाङ्क -१)xसर्वभेदx(अन्तिमाङ्क -२)/१
अत्र सर्वभेद=अन्तिमाङ्क, अत: (अन्तिमाङ्क -१)xअन्तिमाङ्कx(अन्तिमाङ्क -२)

एवमग्रेऽपि शेषमत उपपन्नं सर्वम् ।

 मराठी अर्थ -
संख्येतील कोणत्याही एका स्थानावर सर्वात मोठा अंक हा ९  असू शकतो. त्यामुळे जर एक अंकी संख्या असेल तर एकूण संख्याभेद ९ असतील. जर दोन अंकी संख्या असेल तर पूर्वी सिद्ध केल्याप्रमाणे एकूण संख्याभेद =एक अंकी  संख्येचा संख्याभेद गुणिले (अन्तिम अङ्क -१) म्हणजे ९ गुणिले ८ असेल. तीन अंकी संख्येचे संख्याभेद = दोनअंकी संख्येचे संख्याभेद गुणिले (अन्तिम अङ्क -१) अशाप्रकारे दिलेल्या संख्येत वेगवेगळे अंक असतील तर शेवटच्या सर्वात मोठ्या अंकापासून (९) सुरुवात करून एक एक कमी करत संख्येतील अंकांच्या संख्येएवढे अंक लिहून त्यांचा गुणाकार केला की तया संख्येचे सर्व भेद काढता येतात.


उदाहरणम् ।
स्थानषट्‌कस्थितैरङ्कैरस्न्योन्यं खेन वर्जितैः ।
कति संख्याविभेदाः स्युर्यदि वेस्ति निगद्यताम्‌ ॥२५५॥
अत्रान्तिकाङ्को नव ९ । अत्रान्त्याङ्को यावत्स्थानमेकापचितेन न्यास:।
९।८।७।६।५।४।एषां घाते जाता: संख्याभेदा: ६०४८० ।

 मराठी अर्थ -
सहा अंकी (शून्यविरहित) संख्येचे संख्याभेद काढणे.

येथे शेवटचा अंक (सर्वात मोठा अंक) ९ आणि संख्येत एकूण ६ अंक आहेत.त्यामुळे ९ पासून सुरुवात करून एकएक कमी करून सहा अंक लिहून त्यांचा गुणाकार केला तर 
९ x ८ x ७ x ६ x ५ x ४=६०४८० म्हणजे एकूण संख्याभेद= ६०४८०.