इ. स. १३५६ मध्ये पंडित नारायण यांनी लिहिलेल्या 'गणितकौमुदी' या संस्कृत ग्रंथात आकड्यांच्य़ा चौकोनांमध्ये उभ्या, आडव्या व तिरक्या दिशेतील बेरीज एकसारखी येण्यासाठी अंकांची कशी मांडणी करावी याचेी सूत्रे दिली आहेत.
यापैकी एक सूत्र व एक ते नऊ अंकांची १५ बेरीज येणारे विविध चौकोन.
सूत्रम् ।
इष्टं च प्रथमे कोष्ठे श्रेढ्यङ्कं प्रथमं न्यसेत् ।
तत्प्रत्याशा प्रान्त्यकोष्ठसमीपभवने तत:।।४३।।
अस्मादल्पश्रुतिगृहेष्वाङ्कनेकादिकान् न्यसेत् । (लिखेत्)
कर्णकोष्ठे पुर: साङ्के तत् स्यात् पादप्रपूरणम् ।।४४।।
तत्पृष्ठगान् पुनस्चैवं पादानां पूरणम क्रमात् ।
अथवैवं भवेत् तस्मिन् भेदा भद्रे च वैषमे ।।४५।।
उदाहरणम् ।
रूपादिरूपोत्तरितैर्यदङ्कैस्त्रिणद्रमाशु प्रवदार्यवर्य ।
प्राग्यानि यानि प्रमितानि भद्राण्यतुल्यानि व वेत्सि मितर ।।१२।।
यथोक्तकारणेन जातान्येकाद्येकोत्तरैरभद्राणि । फलम् १५
कृती- प्रथम संख्याक्रमातील पहिली संख्या (१) वरच्या मधल्या रकान्यात घालावी. नंतर त्यापुढची संख्या (२) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. नंतर पुढची संख्या (३) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. पुढची संख्या (४) जवळच्याच पण तिेरक्य़ा दिशेतील रकान्यात घालावी जर रकाना भरलेला असेल तर ती पहिल्या संख्येच्या (३ च्या) खालच्या रकान्यात लिहावी. याचप्रमाणे पुढील सर्व रकाने भरावेत. खाली असा चौकोन दाखविला आहे.
वरील चौकोन ९० अंशातून वळविला की दुसरा असाच चौकोन तयार होईल. यातील ओळींची अदलाबदल करून अनेक चौकोन तयार करता येतील.
पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल
यापैकी एक सूत्र व एक ते नऊ अंकांची १५ बेरीज येणारे विविध चौकोन.
सूत्रम् ।
इष्टं च प्रथमे कोष्ठे श्रेढ्यङ्कं प्रथमं न्यसेत् ।
तत्प्रत्याशा प्रान्त्यकोष्ठसमीपभवने तत:।।४३।।
अस्मादल्पश्रुतिगृहेष्वाङ्कनेकादिकान् न्यसेत् । (लिखेत्)
कर्णकोष्ठे पुर: साङ्के तत् स्यात् पादप्रपूरणम् ।।४४।।
तत्पृष्ठगान् पुनस्चैवं पादानां पूरणम क्रमात् ।
अथवैवं भवेत् तस्मिन् भेदा भद्रे च वैषमे ।।४५।।
उदाहरणम् ।
रूपादिरूपोत्तरितैर्यदङ्कैस्त्रिणद्रमाशु प्रवदार्यवर्य ।
प्राग्यानि यानि प्रमितानि भद्राण्यतुल्यानि व वेत्सि मितर ।।१२।।
यथोक्तकारणेन जातान्येकाद्येकोत्तरैरभद्राणि । फलम् १५
कृती- प्रथम संख्याक्रमातील पहिली संख्या (१) वरच्या मधल्या रकान्यात घालावी. नंतर त्यापुढची संख्या (२) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. नंतर पुढची संख्या (३) जवळच्या ओळीत पण विरुद्ध दिशेच्या शेवटच्या रकान्यात घालावी. पुढची संख्या (४) जवळच्याच पण तिेरक्य़ा दिशेतील रकान्यात घालावी जर रकाना भरलेला असेल तर ती पहिल्या संख्येच्या (३ च्या) खालच्या रकान्यात लिहावी. याचप्रमाणे पुढील सर्व रकाने भरावेत. खाली असा चौकोन दाखविला आहे.
पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या आडव्या ओळींची अदलाबदल
पहिल्या व तिस-या उभ्या ओळींची अदलाबदल
या संस्कृत ग्रंथाचे दोन भाग असून एकूण पृष्ठसंख्या ५७५ आहे. यात अंकगणित, बीजगणित व भूमिती यांची आकृत्यांसह अनेक सूत्रे असून त्यांचा अभ्यास होण्याची गरज आहे. अधिक माहितीसाठी माझा याआधीचा इंग्रजीतील लेख पहावा.
ज्ञानदीपच्या संस्कृतदीपिका या वेबसाईटवर या ग्रंथातील सर्व पाने चित्रस्वरुपात उपलब्ध करून देण्यात येणार आहेत. संस्कृत व गणित यांचा अभ्यास करू इच्छिणा-या व्यक्तींनी याचा अवश्य लाभ घ्यावा.
No comments:
Post a Comment