अथ नवमं क्षेत्रम् ।
तत्र कोणस्य समानभागद्वयकरणं प्रदर्श्यते । तद्यथा बअजकोण: कल्पनीय: । बअभजे दचिन्हं कृतम् । तत्तुल्यमेव द्वितीयेऽपि भुजे हचिन्हं कार्यम् । दहरेखाकार्या । दहरेखोपरि दझहं समत्रिभुजं कार्यम् ।
अझरेखा कार्या । इयं रेखा अकोणस्य समं भागद्वयं करोति ।
यतो दअझत्रिभुजे हअझत्रिभजे दअभुज: हअभुजश्र्च मिथ: समान: । दझभुजहझभुजौ समानौ । अझ उभयोरेक एवास्ति । उभयोस्त्रिभुजयोर्भुजा: समाना: । कोणा अपि समाना भवन्ति । तस्मात् झअदकोणझअहकोणौ समानौ जातौ । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।।
यदि झचिन्हं रेखयोरन्तर्गतप्रदेशमध्ये भवति रेखोपरि वा रेखाया बहिरन भवति तदेयमुपपत्तिरूपपन्ना भविषगयति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति ।
कुत: ।
यदि मध्ये न भविष्यति तदा रेखायां बहिरया भविष्यति । तदैतादृशं क्षेत्रं स्यात्तदृर्शनम् ।
तत्र झदहकोणझहदकोणौ समानौ भविष्यत: । जहदकोण: बदहकोणेन सम: । झचिन्हं यदि बदभुजे पतति तदा दहजबृहत्कोणखण्डं च इमौ समानौ जातौ । इदमनुपपन्नम् ।
यदि झचिन्हं बदभुजाद्बहिर्भविष्यति तदा झदहकोण: बदहकोणान्महान् भविष्यति । दहजकोणादपिभविष्यति ।
यतो बदहकोणो दहजकोणश्र्चेमौ समौ स्त: । झदह: महान्कोण: दहझकोणेनसमोऽस्ति । पुन: दहझकोणखण्डं दहजकोणान्महज्जातम् । तदिदमनुपपन्नम् । यत: खण्डं कोणादधिकं न भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यति ।।
पुन: प्रकारान्तरेण कोणस्यार्द्धकरणम् ।
तत्र दबरेखायां झचिन्हं कार्यम् । दझरेखातुल्यं हहवं पृथक्खार्यम् । झहवदरेखे कार्ये । संपात: तसंज्ञ: कल्पनीय: । अतरेखा कार्या । इयं अकोणस्य समानम भागद्वयं करोति ।
अत्रोपपत्ति:।
तत्र पञ्चमक्षेत्रकश्र्चितोपपत्या झहदकोण: वदहकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ । दतं हतं समानम् । दअतत्रिभुजं हअतत्रिभुजं समानम् । तस्मात् अकोणस्य भागद्वयं समानं जातम् ।।
तत्र कोणस्य समानभागद्वयकरणं प्रदर्श्यते । तद्यथा बअजकोण: कल्पनीय: । बअभजे दचिन्हं कृतम् । तत्तुल्यमेव द्वितीयेऽपि भुजे हचिन्हं कार्यम् । दहरेखाकार्या । दहरेखोपरि दझहं समत्रिभुजं कार्यम् ।
अझरेखा कार्या । इयं रेखा अकोणस्य समं भागद्वयं करोति ।
यतो दअझत्रिभुजे हअझत्रिभजे दअभुज: हअभुजश्र्च मिथ: समान: । दझभुजहझभुजौ समानौ । अझ उभयोरेक एवास्ति । उभयोस्त्रिभुजयोर्भुजा: समाना: । कोणा अपि समाना भवन्ति । तस्मात् झअदकोणझअहकोणौ समानौ जातौ । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् ।।
यदि झचिन्हं रेखयोरन्तर्गतप्रदेशमध्ये भवति रेखोपरि वा रेखाया बहिरन भवति तदेयमुपपत्तिरूपपन्ना भविषगयति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति । अथ झचिन्हं रेखयोरन्त:प्रदेशमध्येऽवश्यं भविष्यति ।
कुत: ।
यदि मध्ये न भविष्यति तदा रेखायां बहिरया भविष्यति । तदैतादृशं क्षेत्रं स्यात्तदृर्शनम् ।
तत्र झदहकोणझहदकोणौ समानौ भविष्यत: । जहदकोण: बदहकोणेन सम: । झचिन्हं यदि बदभुजे पतति तदा दहजबृहत्कोणखण्डं च इमौ समानौ जातौ । इदमनुपपन्नम् ।
यदि झचिन्हं बदभुजाद्बहिर्भविष्यति तदा झदहकोण: बदहकोणान्महान् भविष्यति । दहजकोणादपिभविष्यति ।
यतो बदहकोणो दहजकोणश्र्चेमौ समौ स्त: । झदह: महान्कोण: दहझकोणेनसमोऽस्ति । पुन: दहझकोणखण्डं दहजकोणान्महज्जातम् । तदिदमनुपपन्नम् । यत: खण्डं कोणादधिकं न भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यतीति । तस्मात् झचिन्हं भुजयोर्मध्य एव भविष्यति ।।
पुन: प्रकारान्तरेण कोणस्यार्द्धकरणम् ।
तत्र दबरेखायां झचिन्हं कार्यम् । दझरेखातुल्यं हहवं पृथक्खार्यम् । झहवदरेखे कार्ये । संपात: तसंज्ञ: कल्पनीय: । अतरेखा कार्या । इयं अकोणस्य समानम भागद्वयं करोति ।
अत्रोपपत्ति:।
तत्र पञ्चमक्षेत्रकश्र्चितोपपत्या झहदकोण: वदहकोणश्र्चैतौ समानौ जातौ । दतं हतं समानम् । दअतत्रिभुजं हअतत्रिभुजं समानम् । तस्मात् अकोणस्य भागद्वयं समानं जातम् ।।
No comments:
Post a Comment