वैदिक गणित - संकेताक्षरे

संकेत अक्षर म्हण्जे अंकाऎवजी विशिष्ट अक्षर घ्यायचे. या अक्षरांचा उपयोग करून काही अर्थवाही शब्द्  बनविता येतात व मग मोठी संख्यादेखील लक्षात ठेवणे अगदी सोपे जाते.

प्राचीन काळी सर्व माहिती पाठ करून ठेवावी लागे. अशा वेळी या संकेत अक्षरांचा उपयोग करून संख्या शब्दरुपात ( नव्हे श्लोकरुपात ) मांडण्याची पद्धत वापरली जायची. अशा प्रकारचे अनेक संकेत वापरात आहेत. त्यातील एक  असा आहे.

‘ कादि नव टादि नव, पादि पञ्चक यादि अष्टक, क्ष शून्यम‌ । ’

आपली वर्णमाला आपल्याला पाठ असतेच. त्यातील क पासून झ पर्यंत १ ते ९ अंक, तसेच  त पासून ध पर्यंत ९ अंक, प पासून म पर्यंत ५ अंक, य पासून ह पर्यंत ८ अंक आणि क्ष ( कधी कधी न) म्हणजे शून्य असे संकेत वापरावयाचे.

१	२	३	४	५	६	७	८	९	०
क	ख	ग	घ	ङ	च	छ	ज	झ
ट	ठ	ड	ढ	ण	त	थ	द	ध	न
प	फ	ब	भ	म
य	र	ल	व	श	ष	स	ह
									क्ष

 
 यात स्वरांना किंमत नाही आणि जोडाक्षरांमध्ये पूर्ण अक्षरांचीच फक्त किंमत धरायची.
 उदाहरणार्थ ११ साठी कप,काटा, पाट, टाक, पाक असा कोणताही शब्द वापरता येईल.

गोपीभाग्यमधुवात शृंगिशोददधिसंधिग ।
खलजीवितखाताव  गलहालार संधर ॥

 या संस्कृत श्लोकाचा सरळ अर्थ् पाहिला, तर हा शिव आणि कृष्णस्तुतीपर श्लोक् आआहे. पण वरील संकेत वापरले तर आपल्याला पाय / १० ची  ३२ अंकी किंमत मिळते.

३	१	४	१	५	९	२	६
गो	पी	भा	ग्य	म	धु	वा	त
५	३	५	८	९	७	९	३
शृं	गि	शो	द	धि	सं	धि	ग
२	३	८	४	६	२	६	४
ख	ल	जी	वि	त	खा	ता	व

 तुम्हीही व्यवहारात तुमच्या घराचा क्रमांक, बसचा क्रमांक, दूरध्वनी क्रमांक या संकेताक्षराम्चा उपयोग करून लक्षात ठेवू शकता.

 यावरून आठवले. आम्ही संस्कृत शब्दकोशातील मराठी व संस्कृत शब्दांचा क्रम लावण्यासाठी अशाच पण वेगळ्या संकेत प्रणालीचा वापर केला होता.

कॉम्प्युटरमध्ये सर्व चिन्हांसाठी व  इंग्रजी अक्षरांसाठी संख्या वापरल्या जातात हे आपल्याला ठाऊक आहे. (  म्हणजे ६५  म्हणजे ६६ इत्यादी. ) त्यामुळे इंग्रजी शब्दांचा क्रम लावणे सोपे जाते. मराठी ( देवनागरी) वर्णमाला इंग्रजी अल्फाबेटपेक्षा वेगळी असल्याने या पद्धतीने मराठीभाषेतील शब्दांचा क्रम लावणे अशक्य होते. त्यावेळी म्हणजे दहा वर्षांपूर्वी आम्हाला इतर कोणत्याही पद्धतींचे ज्ञान नव्हते.

त्यावेळी  आम्ही प्रत्येक अक्षरा साठी दोन २ अंकी संख्यांची योजना करून ( अ म्हणजे ००, क म्हणजे ०१, ख म्हणजे ०२ असे ज्ञ पर्यंत)  व स्वराप्रमाणे अ, आ, इ, ई साठी ०१, ०२, अशी योजना करून  देवनागरी शब्दांच्या क्रमवारीसाठी वेगळी संख्या संकेत म्हणून वापरली होती. अर्थात् त्या वेळी आम्हाला फक्त पहिल्या दोन अक्षरांपुरतीच योग्य क्रमवारी करता येत असे. पुढे युनिकोडचा वापर सुरू झाल्यावर अशा द्राविडी प्राणायामाची गरज उरली नाही. आता संस्कृतदीपिकेतील संस्कृत - मराठी - इंग्रजी शब्दकोशातील शब्दांचे बिनचूक क्रम ( सॉर्टींग)  होऊ शकते.  

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ६

सूत्र ६ - एकन्यूनेन पूर्वेण ।

अर्थ - ज्या गुणाकारात गुणकातील सगळे अंक ९ असतील, म्हणजे ९, ९९, ९९९ इत्यादी तिथे या सूत्राचा उपयोग होतो.
गुणक याप्रमाणे निश्चित झाल्यावर गुण्यात किती अंक आहेत यावरून या पद्धतीच्या गुणाकाराचे तीन भाग पडतात.

(अ) गुण्य व गुणकात तितकेच अंक उदा. ७x९, ८१ x९९

(ब) गुण्य गुणकापेक्षा कमी अंकांचा उदा. ६x९९, ५७ x९९९

(क) गुण्य गुणकापेक्षा जास्त अंकांचा उदा. ७९x९, ७५८१ x९९


(अ) गुण्य व गुणकात तितकेच अंक
अशा संख्यांचा गुणाकार करताना गुण्यातून ‘१’ वजा करायचा आणि नंतर या आलेल्या संख्येतील प्रत्येक अंकाचा ९ शी असणारा पूरक एकापुढे एक असा लिहायचा.
उदा. (१)७x९
(७-१) /(९ - (७-१))
६ /(९-६) = ६ / ३ = ६३

(२) ८x९
(८-१) / ( ९ - ( ८-१))
७ / (९-७) = ७ / २ = ७२

(३) ६७ x९९
( ६७-१) / (९९ - (६७-१) )
६६ / ( ९९-६६) = ६६ / ३३ = ६६३३

(३) ९१ x९९
(९१-१) / (९९ - (९१-१))
९० / (९९-९०) = ९० /०९=९००९

(४) ८६५३९२२ x९९९९९९९
(८६५३९२२-१) / (९९९९९९९ - (८६५३९२२-१))
८६५३९२१ / ( ९९९९९९९- ८६५३९२१) = ८६५३९२१ / १३४६०७८ = ८६५३९२११३४६०७८ हे उत्तर
( येथे ९९९९९९९- ८६५३९२१ ही वजाबाकी करताना केवळ ८६५३९२१चे पूरक अंक लिहिले की उत्तर येते)

(ब्) गुण्य गुणकापेक्षा कमी अंकांचा
उदा. १४ x९९९
आता गुणकात जितके ‘९’ तितकेच अंक गुण्यात येण्यासाठी शून्ये लिहावीत.
म्हणजे १४ x९९९ हे ०१४ x९९९ असे लिहावेत.
आता मघाचीच पद्धत वापरावी
(०१४ -००१) /( ९९९ - (०१४ - ००१))
०१३ / ( ९९९ - (०१३) ) = ०१३ / ९८६ = ०१३९८६ = १३९८६

वरीलप्रमाणे खालील उदाहरणे सोडवा.
(१) २८३ x९९९ (२) ९९९ x९९९ (३) १८५९२ x९९९९९९ (४) २७ x९९९७३

(क) गुण्य गुणकापेक्षा जास्त अंकांचा

उदा. १३x९
(१) सुरुवातीला गुण्याचे दोन भाग करायचे. पैकी उजवीकडचा भाग असा करायचा की, त्यात गुणकात जितके ९ असतील तितकेच अंक येतील. येथे एकच ९ आहेत म्हणून उजवीकडे फक्त ३ हा अंक येईल.
१३ x ९
१ / ३
(२) आता डावीकडच्या भागात जी संख्या असेल तिच्यात एक मिसळून आलेली संख्या उजवीकडच्या भागाखाली लिहायची आणि मूळचा उजवीकदचा भाग हा तिरकी रेघ काढून त्यापुढे लिहायचा.
१:३
:२ /३
(३) आता खालचे ३ हे १० मधून वजा करायचे आणि उत्तर् आदव्या रेघेखाली लिहायचे. म्हणजे तिथे ७ येतील. डावीकडे नेहमीप्रमाणे वजाबाकी करायची. तिनातून २ वजा केले की १ राहतो.
१:३
२/३ १० - ३=७
------
१ १/७
१३ x ९ = ११७

(१) २८ x९
२:८
:३/८ १०-८=२
----
२५२
२८ x९=२५२
(२) ९५ x९
९ : ५
१ ०/५
-------
८५५
९५ x९ =८५५
(१) ११३५ x९ (२) ३९५७३ x९
(३) २८२ x९९ (४) २५७९१ x९९

जेव्हा गुणक ९ असेल तेव्हा गुण्याला १० ने गुणायचे आणि या गुणाकातून गुण्य एकदा वजा करायचा. जेव्हा गुणक ९९ असेल, तेव्हा गुण्याला १०० ने गुणायचे आणि या गुणाकारातून गुण्य एकदा वजा करायचा हीच पद्धत ९, ९९, चा नव्हे तर पायाच्या अलीकदच्या व पलीकदच्या काही गुणकासाठीही उपयोगात आणता येते.

म्हणजे एखाद्या संख्येला ९८ ने गुणायचे असेल तर अगोदर १०० ने गुणायचे म्हणजेच मूळ संख्येवर २ शून्ये लिहायची व त्यातून २xगुण्य वजा करायचे. समजा १०२ ने गुणायचे असेल तर गुण्याला १०० ने गुणायचे आणि त्यात २xगुण्य मिसळायचे.

खालील गणिते सोडवा.
(१) १८१x९ (२) ३७७८ x९९ (३) १५९९९ x ९९९९
(४) ८१५४७ x ९९ (५) ५७३६१ x ९ (६)१२८७ x ९९९

उजळणी -
(१) ९४ x८३ (२) ८६ x ११४ (३) ३३x९६
(४) ११६ चा वर्ग (५) १२५ चा वर्ग (६) ३९५३ x ९९९९९
(७) ३७३ x ९ (८) २४३ x २४७

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ५

सूत्र ५ - अन्त्ययोर्दशकेऽपि ।

अर्थ - शेवट १० असेल तेव्हा सुद्धा
ज्या दोन संख्यातील शेवटच्या अंकांची बेरीज १० आहे व त्या आधीचे अंक दोन्ही संख्यात सारखे आहेत् अशा ठिकाणी या सूत्राचा उपयोग करतात्.

उदाहरणार्थ (१) ३२x३८
अशा संख्यांच्या गुणाकारालाही ‘एकाधिकेन पूर्वेण ’ हे सूत्र वापरता येते.

डावीकडचा भाग मिळविण्यासाठी दोन्ही संख्यांमधील समान अंकाला त्यात १ मिळवून येणार्‍या अंकाने गुणायचे. येथे समान अंक ३ आहे म्हणजे ३ x ( ३+१) = ३x४=१२
३२ x ३८
३( ३+१ ) / ( २ x८)
३x४ /१६
१२ /१६
३२ x३८=१२ /१६ = १२१६

(२) ५४ x५६
५४ x५६ = ( ५ x(५+१)) / (४ x६ ) = ५x६ /२४ = ३०/२४ = ३०२४

खालील उदाहरणे सोडवा ( उजवीकडे २ अंक येतील हे पहा)
(१) ४१ x ४९ (२) ७३ x ७७ (३)९२ x९८ (४) ८५ x ८५

तीन किंवा अधिक अंकी संख्येलाही हे सूत्र लागू पडते.
(१) १०३ x१०७ = ( १० x११) / (३x७) = ११० /२१ = ११०२१
(२) १११ x ११९ = ( ११x१२) / ( १x९) = १३२ / ०९ = १३२०९
(३) १०३२ x १०३८ = ( १०३x१०४) / ( २x८) = १०७१२ / १६ = १०७१२१६

समजा गुण्य व गुणक यातील शेवटचे दोन अंक घेतले व त्यांच्ची बेरीज १०० होत असेल तरीही हे सूत्र वापरता येते.
मात्र यावेळी उत्तरात उजवीकडे ४ अंक असावे लागतात

उदा. (१) १९७ x१०३
१/९७
१/०३
(१x२) / (९७ x३) = २ / ०२९१ = २०२९१

(२) ५९४ x ५०६
५ /९४
५ / ०६
(५x६) /(९४ x०६) = ३० / ०५६४ - ३००५६४

(३) ३८५ x ३१५
३ /८५
३ / १५
(३x४) / (८५ x१५) = १२ / १२७५ = १२१२७५

(४) ३४५ x ३५५
३/४५
३/५५
(३x४) / ( ४५ x५५)
आता ४५x५५ हा गुणाकार् वेगळा खालीलप्रमाणे करून घ्यावा
४५:५
५५:५
५(५०) / (-२५) = २५०० -२५ =२४२५
आता
(३x४) / ( ४५ x५५) = १२ / २४२५ = १२२४२५

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ४

सूत्र ४ - एकाधिकेन पूर्वेण ।
अर्थ - शेवटच्या आधीच्या अंकात १ मिळवून
ज्या संख्यातील शेवटचा अंक ५ आहे अशा संख्यांचा वर्ग करण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाते.
उदा. ५, १५, २५,२१५,९९५ इत्यादी.
समजा आपल्याला १५ चा वर्ग करावयाचा आहे तर १५ ची फोड १ / ५ अशी करायची.
उजवीकडे ५ चा वर्ग २५ लिहावयाचा आणि डावीकडे १ व ( १ + १) असे लिहून त्यांचा गुणाकार करायचा
म्हणजे १५ चा वर्ग = १ x(१+१) / २५ = १x२ / २५ = २/२५ = २२५ (येथे तिरकी रेघ म्हणजे भागाकाराचे चिन्ह नाही हे लक्षात ठेवावे.)

(२) २५ चा वर्ग = २x ( २+१) / २५= ६/२५ = ६२५

(३) ११५ चा वर्ग = ११ x ( ११ +१) / २५ = १३२ / २५ = १३२२५

(४) ६५ चा वर्ग = ( ६ x७) / २५=४२२५

(५) ३५ चा वर्ग = ( ३ x४) / २५=१२२५

(६) १९५ चा वर्ग = ( १९+२०) / २५ = ३८० / २५ = ३८०२५

(७) १३५ चा वर्ग = ( १३ x१४) /२५ = १८२ / २५ = १८२२५

खालील संख्यांचे वर्ग काढा
(१) ८५ (२) ९९२ (३) १४ (४) ७५ (५) ९१ (६) १००८
(७) ११२ (८) १०००५ (९) ९९९९

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ३

सूत्र ३ - यावदूनं तावदूनीकृत्य वर्गं च योजयेत्‌ ।
अर्थ - वर्ग करण्यासाठी, संख्या ( पायापेक्षा) जितक्यानं कमी, तितकेच संख्येतून आणखी कमी करायचे आणि संख्या व पाया यांच्यातला हा जो फरक, त्याचा वर्ग करायचा.
उदा.(१) ९ चा वर्ग करावयाचा असेल पाया १० घ्यावा. आता पायापेक्षा ९ ही संख्या १ ने कमी आहे त्यामुळे १ हा ९ मधून वजा करावा. म्हणजे ८ हा डावीकडील अंक मिळाला. तसेच या वजाबाकीच्या अंकाचा वर्ग केला की उअजवीकडील अंक मिळतो.
९ = १०-१
९-१=८
९ चा वर्ग = ८ /१चा वर्ग = ८/१=८१
(२) ७ चा वर्ग
पाया १०
७=१०-३
७-३=४
४/(३ चा वर्ग) = ४/९ = ४९ हा ७ चा वर्ग होय.
(३) ८ चा वर्ग
८= १०-२
८-२=६
डावीकडील अंक ६ व वजाबाकीच्या अंकाचा वर्ग म्हणजे २ चा वर्ग ४
म्हणजे ८ चा वर्ग= ६/४ = ६४
(४) ६ चा वर्ग
६= १०-४
६-४=२
डावीकडील अंक २ व उजवीकडील संख्या =४ चा वर्ग= १६
६ चा वर्ग= २ / १६ आता पाया १० असल्याने त्यात एक ० आहे म्हणून् उअजवीकडे फक्त एकच अंक असावा लागतो. त्यामुळे उअजवीकडील् १६ मधील् १ डावीकडिल २ मध्ये मिसळावा.
६ चा वर्ग २ / १६ = (२+१)/६= ३६
(५) ९८ चा वर्ग
पाया १००
९८= १००-२
९८-२= ९६
डावीकडील अंक ९६. डावीकडील संख्या वजाबाकीचा वर्ग म्हणजे २ चा वर्ग. मात्र पाया १०० मध्ये २ शून्ये असल्याने उजवीकडे २ अंक असणे जरूर आहे.
९८ चा वर्ग = ( ९८-२) / २ चा वर्ग = ९६ / ०४ = ९६०४
खालील संख्यांचे वर्ग काढा.
(१) ९९ (२) ९३ (३) ८९
आता १००० पाया जवळच्या संख्यांचे वर्ग करा
(१) ९९९ (२) ९९० (३)९८६ (४)९५०
वरील गणिते करताना जर २५ पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग पाठ असतील तर उजवीकडील भाग मिळविणे सोपे जाते.
असे शक्य नसले तर मूळ वर्गाच्या पोटातला हा दुसरा वर्ग आधी वेगळा करून घ्यायचा.
संख्या जर पायापेक्षा मोठी असेल तर संख्या पायापेक्षा जितक्या नं अधिक तितके संख्येत मिळवायचे आणि या फरकाचा वर्ग करायचा.
उदा. ( १) १२ चा वर्ग पाया १०
१२ = १०+ २
१२+२=१४ ही डावीकडील संख्या आली. फरकाचा वर्ग म्हणजे २ चा वर्ग = ४ ही उजवीकडील संख्या आली.
१२ चा वर्ग = १४ / ४ = १४४
(२) १५ चा वर्ग = (१५+५) / ५ चा वर्ग= २० /२५ पाया १० असल्याने उजवीकडे फक्त एक अंक राहू शकतो. म्हणून
२५ मधील् २ हे डावीकडील २० मध्ये मिसळावेत
१५ चा वर्ग = २० / २५ = (२०+२) /५ = २२५
(३) १७ चा वर्ग
१७ = १० + ७
१७ चा वर्ग= (१७ + ७) / ७ चा वर्ग = २४ / ४९ = ( २४+४)/९ = २८९
(४) १०५ चा वर्ग
१०५= १००+५
१०५ चा वर्ग= ( १०५ + ५) / ( ५ चा वर्ग) = ११० / २५ = ११०२५
(५) ११२ चा वर्ग पाया १००
११२= १००+ १२
११२ + १२= १२४
११२ चा वर्ग= ( ११२+१२) / ( १२ चा वर्ग) = १२४ / १४४ = ( १२४ + १) / ४४ = १२५४४
( ६) १००४ चा वर्ग
१००४ = १०००+४
१००४ + ४=१००८
१००४ चा वर्ग = ( १००४ + ४) / ( ४ चा वर्ग) = १००८ / १६
येथे पायात ३ शून्ये असल्याने उजवी कडील संख्या ३ अंकांची हवी
१००४ चा वर्ग = १००८ /०१६ = १००८०१६ हे उत्तर
(७) १०२१ चा वर्ग
१०२१= १०००+ २१
१०२१ + २१= १०४२
१०२१ वा वर्ग = १०४२/ २१ चा वर्ग = १०४२ / ४४१ = १०४२४४१

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र २ - आनुरूप्येण

सूत्र २ - आनुरूप्येण
ज्यावेळी गुण्य वा गुणक १० च्या पटीतील संख्येच्या जवळ नसतील तर पाया गुण्य व गुणकांना अनुरूप परंतु  १० च्या घातांकाशी सहज जोडता येणारा निवडणे.
 उदा. ४२x४८ या गुणाकारासाठी १००/२ = ५० हा पाया घ्यावा.
(१) ५० मधून गुण्य व गुणक वजा करावे व वजाबाकी विराम चिन्हासह लिहावी
(२)तिरकी बैजिक करून डावीकडे लिहावी व उजवीकडील अंकांचा गुणाकार उजवीकडे लिहावा
 ४२:८
४८:२
----
 ४०/१६
आता डावीकडील संख्येस पाया ५० ( १००/२) ने गुणून् येणार्‍या संख्येत उजवीकडील संख्या मिळवावी
२०००
१६
----
२०१६ हे उत्तर.

सूचना -  प्रत्यक्ष पुस्तकातील पद्धत जरा वेगळी आहे. तेथे डावीकडील संख्येस १/२ ने गुणून येणार्‍या संख्येस १०० ने गुणावे असे लिहिले आहे. मात्र येथे विषम संख्या असल्यास अपूर्णांक येऊन गणित अधिक क्लिष्ट बनते. यासाठी डावीकडील संख्येस सरळ पायाने गूणणे अधिक श्रेयस्कर आहे.

 शिवाय वरील गणितात पाया ५० ऎवजी ४० घेतला तरीही गुणाकार करणे सोपे होते.
खालील गणिते सोडवा
(२) ८३x७७ (३) ८९३x९०५ (३) ३७५x७९९

पाया बदलण्याची क्रिया जशी ’अनुरूप्येण’ उपसूत्राने करू शकतो.तशीच क्रिया आपण गुण्य वा गुणक बदलण्यासाठी केल्यासही गुणाकार करण्यात सुलभता येऊ शकते.
 उदा. ९९९x२४९ हा गुणाकार आपण १००० पाया धरून खालीलप्रकारे करू शकतो.

९९९:१
२४९:७५१
---
२४८/७५१
२४८०००
७५१
-----
२४८७५१
वरील गणितात आपण २४९ ला ४ ने गुणून ९९६ ही संख्या घेऊन गुणाकार केल्यास
९९९:१
९९६:४
-----
९९५/४
९९५०००
४
------
९९५००४
या संख्येला ४ ने भागून २४८७५१ हे उत्तर मिळू शकते.  या ठिकाणी मूळ संख्येला ( गुण्य वा गुणक) ४ ने गुणले तर संपूर्ण उत्तराला ४ ने भागल्यावर अंतिम उत्तर येते.
संख्या बदलणे व पाया बदलणे
उदाहरण १५९ x७९३
येथे पाया ८x१०० = ८०० घेऊ.
१५९ ऎवजी १५९ x ५= ७९५ ही संख्या घेऊ.
आता ७९५ x७९३
हा गुणाकार करू
७९५:५
७९३:७
------
(१/५)(८००(७८८)/३५)
=(१/५)(६३०४००+३५)
=(१/५)(६३०४३५)
= १२६०८७ हे उत्तर
 वरील पद्धतीने खालील गणिते सोडवा.
(१) ३१५ x १००५ (२) २९९ x ९०३
उजळणी -
(१) ८x१२ (२) ४८x९७ (३) ९८x१०५
(४) ३३७x१००८ (५) ९९९४ x १०१२ (६० ४९८x४९२
(७) १९८५x१९८२ (८) २०९x२१३ (९) २२९x १०४०

वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र १

संदर्भ पुस्तके- वैदिक गणित या विषयावर खालील पुस्तके उपलब्ध आहेत.
१. वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) मूल्य - १५ रुपये
२. वैदिक गणित ( भाग दुसरा : भागाकार आणि अपूर्णांक) मूल्य - २२ रुपये
३. वैदिक गणित ( भाग तिसरा : संकीर्ण अंकगणित) मूल्य - १५ रुपये
४. वैदिक गणित ( भाग चौथा : बीजगणित) मूल्य - २२ रुपये
आद्य संशोधक - ब्रह्मलीन स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ -शंकराचार्य : गोवर्धन मठ
मराठी रूपांतर -ब. गं. बापट, दिलीप कुलकर्णी,
प्रमुख विक्रेते - उज्वल ग्रंथ भांडार, अप्पा बळवंत चौक, पुणे ४११००२
खालील लेखांत फक्त ‘भाग पहिला : गुणाकार’ या पुस्तकातील गणितांचा गोषवारा दिलेला आहे. सर्व वैदिक गणित नीट समजण्यासाठी वरील मूळ पुस्तके वाचणे योग्य ठरेल.

---

सूत्रांची यादी
(१) निखिलम्‌ नवतः चरमं दशतः ।
(२) आनुरुप्येण ।
(३) यावदूनम्‌ तावदूनीकृत्य वर्गं च योजयेत् ।
(४) एकाधिकेण पूर्वेण ।
(५) अन्त्ययोर्दशकेऽपि ।
(६) एकन्यूनेन पूर्वेण ।
(७) ऊर्ध्वतिर्यरभ्याम्‌ ।
(८) ऋणांक पद्धत

---

सूत्र १- निखिलं नवतः चरमं दशतः । याचा अर्थ म्हणजे नऊतून सगळे आणि दहातून शेवटचे.
गुण्य - जिला गुणायचे ती संख्या
गुणक - जिने गुणायचे ती संख्या
गुणाकार = गुण्य x गुणाकार

---

उदा: १
९x८
पहिली पायरी
गुण्य व गुणक यांच्या जवळचा १० चा घातांक १० आहे.
पाया = १०
म्हणून हा पाया धरून त्यातून गुण्य व गुणक वजा करायचे. गुण्य व गुणक यांच्यापुढे विसर्ग चिन्ह लि्हून त्यापुढॆ आलेली वजाबाकी लिहावी. ९:१
८:२
या अंकांच्या खाली आडवी रेघ व मध्यभागी तिरकी रेघ काढा.
------
/
दुसरी पायरी
तिरक्या रेघेच्या डावीकडचा उत्तराचा भाग काढण्यास चार पद्धती
१) १+२=३ १०-३=७
२) ९+८=१७ १७-१०=७
३) ९-२=७
४) ८-१=७
तिरक्या रेघेच्या उजवीकडील उत्तराचा भाग मिळण्यासाठी १,२ यांचा बैजिक गुणाकार करा.
गुणाकार= ७/२= ७२
इतर उदाहरणे
९x९, ९x५,८x७,७x९
पाया मानलेल्या संख्येत जितकी शून्यं असतील तितके आणि तितकेच अंक तिरक्या रेघेच्या उजवीकडे ठेवायचे. जास्तीचे अंक हातचे समजून डावीकडच्या अंकात मिळवायचे
७x४
७:३
४:६
---
डावीकडील अंक १
उजवीकडील अंकांचा बैजिक गुणाकार ३x६=१८
१०
१८
---
२८ हे उत्तर
उदाहरणे - ९२x८९,९५x९५,८८x८८
९९x९८
९९:१
९८:२
---
९७ ०२ ( ९७२ नव्हे)
१००० पाया घेऊन काही उदाहरणे सोडवा
९९८x८९२, ६९५x९९७, ९८८x८९९, ९९९x९९७,९९१x९९६
गृहपाठ
(१) ७x९ (२) ९५x८९ (३)९८८x९८४ (४) ९९९८x९८७६ (५) ९४ x९२
(६) ९९९९२ x९९९८४ (७) ९९९x२३५ (८) ९९९५ x९८९८
गुणाकाराच्या संख्या पायापेक्षा मोठ्या असतील तर या सूत्राचा खालीलप्रमाणे उपयोग करावा.

उदा. ११x१२ पाया १०
११:१
१२:२
तिरक्या बेरजांनी डावीकडील संख्या काढा ११+२ किंवा १२+१ = १३
१ आणि २ यांचा बैजिक गुणाकार करून उजवीकडील संख्या काढा. १x२=२
उत्तर १३/२ = १३२
१० पाया असणारी उदाहरणे (१) १४x१२ (२) १९x१२ (३) १७x१७
याप्रमाणे १००, १००० किंवा १०,००० पाया घेऊन उदाहरणे सोडवा
(१)१११x१०२ (२)११२x१०९ (३)१०५x१०१ (४) १०१५x१०१०
(५) १००५x१००१ (६) १९०१x१००२ (७)१०,००९x१०,००७ (८) १०,३००x१०,००५
(९)१५,००१x१०,०१०
गुण्य पायापेक्षा मोठा आणि गुणक पायापेक्षा लहान. उदा. १२x९.

१२x९
१२:२
९:१
---
११/२
११०
२
-----
१०८

१९x८
१९:९
८:२
---
१७/१८
१७०
१८
-----
१५२

२१x५
२१:११
५:५
---
१६/५५
१६०
५५
-----
१०५

१७x६
१७:७
६:४
---
१३/२८
१३०
२८
-----
१०२
१०० हा पाया धरून खालील उदाहरणे सोडवा
(१)१०९x९८ (२)११५x९२ (३) १०३ x ९९
(४)१०२७ x ९९८ (५) १०८१x ९९५ (६) ११५० x ९८९
(७) १०,०७३x९९९९ (८) १०७५४x९९९८ (९) ९९७५x१२५००

सांगली आयटी पार्क सुरू होण्याची गरज

	सांगली येथील विश्रामबाग रेल्वेस्टेशन नजिक सांगलीच्या आय टी पार्क चे बांधकाम झाले. त्याचे उद्‌घाटनही थाटात झाले. आमच्या ज्ञानदीप इन्फोटेकने त्यात जागा मिळण्यासाठी अर्ज केला होता.
आम्ही या सांगली आयटी पार्कची वेबसाईटही डिझाईन केली होती.

माहिती तंत्रज्ञानाच्या क्षेत्रात सांगलीचे आय टी पार्क नावलौकीक मिळवेल. सांगलीच्या उद्योगजगतास नवी संजीवनी मिळेल व येथील या क्षेत्रातील विद्यार्थ्यांना याचा लाभ होईल अशी आशा सर्व सांगलीकर बाळगून होते.

मात्र डेक्कन एज्युकेशन सोसायटी व महाराष्ट्र उद्योग विकास मंडळ यांच्यात काही न्यायालयीन वाद निर्माण होऊन आयटी पार्क कार्यान्वित होण्यात अडचणी आल्या. आज या आयटी पार्कची तयार इमारत उपयोगाविना रिकामी पडून आहे.

सर्व संबंधित घटकांनी एकत्र येऊन न्यायालयीन वाद बाजूला ठेवून संयुक्तरीत्या आयटी पार्क चालविण्यासाठी पुढाकार घेतला तर सांगलीचे भाग्य उजळेल. सांगलीच्या विकासासाठी राजकीय पक्षांनी जर यात पुढाकार घेऊन समन्वय घडवून आणला व शासनाकडे पाठपुरावा करून बाकी अडचणी दूर केल्या तर तो निवडणुकीच्या दृष्टीने त्यांची एक महत्वाची उपलब्धी ठरेल. ज्ञानदीप फौंडेशन याबाबतीत आवश्यक ते सर्व सहकार्य करण्यास तयार आहे.

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ९

प्रकरण ९
घनमूळ काढण्याची रीत

 श्लोक २८
आद्यं घनस्थानमथाघने द्वे । पुनस्तथान्त्याद्‌घनतो विशोध्य ॥
घनं पृथवस्थं पदमस्य कृत्या । त्रिघ्न्या तदाद्यं विभजेत्‌ फलं तु ॥ २८ ॥

श्लोक २९
पंक्त्यां न्यसेत्तत्कृतिम अन्त्यनिघ्नी । त्रिघ्नीं त्यजेत्तत्प्रथमात्फलस्य ॥
धनं तदाद्यात्‌ घनमूलमेवं । पंक्तिं भवेदेवमतः पुनश्च ॥ २९ ॥

ज्या संख्येचे घनमूळ पाहिजे असेल तिच्या आद्यांकावर म्हणजे उजवीकडील अंकावर एक उभी रेषा काढावी. या स्थानास घनस्थान म्हणतात्. त्याच्या डाव्या बाजूची दोन स्थाने ( दशं व शतं) ही अघनस्थाने होत. तेथील अंकावर दोन आडव्या खुणा कराव्या. त्यापुढील घनस्थानावर उभी रेघ व नंतर दोन आडव्या रेषा याप्रमाणे अन्त्य म्हणजे डावे बाजूच्या अंकापर्यंत खुणा करून संख्येचे विभाग पाडावे.

यानंतर डाव्या बाजूच्या प्रथम विभागातून जो घन वजा दिल्यावर जी बाकी राहाते तीवर पुढल्या विभागातला एक आकडा घ्यावा व पूर्वोक्त तिप्पटीने त्यास भाग जातो का ते पहावे. ( नक्की कितीचा भाग जातो ते पहावे) हा अंक पहिल्या घनमूळावर मांडावा. नंतर पूर्वोक्त तिप्पट व हा अंक यांचा गुणाकार दुसर्‍या विभाज्यातून वजा करावा.

 उरलेल्या बाकीवर दुसर्‍या विभागामधले अंक घेऊन नवीन भाज्य तयार करावा. नंतर पंक्तीतल्या आद्यांकाच्या तिप्पटीने दुसर्‍या अंकाच्या वर्गास गुणून हा गुणाकार या भाज्यातून वजा करावा व त्यावर दुसर्‍या विभागाचा शेष अंक घेऊन भाज्य तयार करावा व पंक्तीतल्या ( घनमूळ) दुसर्‍या अंकाचा घन त्यातून वजा करावा.

यानंतर हीच रीत पुनःपुन्हा वापरावी म्हणजे संख्येचे घनमूळ येते.

नवीन अंकगणितातही हीच रीत वापरली आहे. फरक एवढाच की नवीन गणितात विभागाचे तीन आकडे एकदम घेतात. भास्कराचार्य ते एक, एक असे घेतात. त्यामुळे काम सुकर होते.
 खाली १९६८३ या संख्येचे घनमूळ कसे काढायचे ते दाखविले आहे.
-  । -  - ।
१ ९ ६  ८ ३
वरील संख्येत पहिला विभाग १९ व दुसरा ६८३ आहे.

आता पहिल्या विभागातून म्हणजे १९ मधून सर्वात मोठा घन ८ ( २ चा घन) वजा करा. ( २ हा पंक्तीतील पहिला आकडा झाला.) बाकी १९-८=११ येते. यावर दुसर्‍या विभागातील पहिला अंक लिहिला की ११६ ही संख्या ( भाज्य) येते.

आता २ च्या वर्गाची तिप्पट म्हणजे ४ ची तिप्पट १२ हा भाजक घेऊन ११६ ला भाग कितीचा जातो ते पाहिले. ८, व ९ ने ११६ ला भाग् जातात मात्र हे भाग लावले तर पुढे वजाबाकी होणार नाही म्हणून ७ चा भाग धरून १२ x ७ = ८४ हे ११६ मधून वजा केले ( ७ हा पंक्तीतील दुसरा आकडा झाला.) बाकी ३२ वर ८ घेऊन ३२८ हा पुढील भाज्य तयार झाला.

आता ३  x २ x ७ चा वर्ग = २९४ हे ३२८ मधून वजा केले. उरलेल्या ३४ वर पुढील ३ घेऊन ३४३ हा भाज्य आला.

त्यातून ७ चा घन ३४३ वजा केला बाकी शून्य झाली म्हनजे घनमूळ २७ आले.
 खाली १९५३१२५ या संख्येचे घनमूळ कसे काढायचे ते दाखविले आहे.
। - - ।  -  - ।
१ ९ ५ ३ १ २ ५

वरील संख्येत पहिला विभाग १ व दुसरा ९५३ आहे. आता पहिल्या विभागातून म्हणजे १ मधून सर्वात मोठा घन १ ( १ चा घन) वजा करा. ( १ हा पंक्तीतील पहिला आकडा झाला.)

बाकी १-१=० येते. यावर दुसर्‍या विभागातील पहिला अंक लिहिला की ९ ही संख्या ( भाज्य) येते. आता १ च्या वर्गाची तिप्पट म्हणजे १ ची तिप्पट ३ हा भाजक घेऊन ९ ला भाग कितीचा जातो ते पाहिले. २ चा भाग धरून ३ x २= ६ हे ९ मधून वजा केले ( २ हा पंक्तीतील दुसरा आकडा झाला.)

 बाकी ३ वर ५ घेऊन ३५ हा पुढील भाज्य तयार झाला. आता ३  x १ x २ चा वर्ग = १२ हे ३५ मधून वजा केले. उरलेल्या २३ वर पुढील ३ घेऊन २३३ हा भाज्य आला. त्यातून २ चा घन ८ वजा केला बाकी २२५ झाली.

त्यावर् पुढील अंक १ घेऊन २२५१ ही संख्या आली. आता १२च्या वर्गाची तिप्पट ( २९२) हा भाजक झाला या भाजकाने २२५१ ला कितीने भाग जातो ते पाहिले. ५ हा भाग धरून २९२x५=२१६० ही संख्या २२५१ मधून वजा केली ( ५ हा पंक्तीतील तिसरा आकडा झाला.)

उरलेल्या ९१ वर पुढचा अंका घेऊन ९१२ ही संख्या आली. आता ३ x१२ x५चा वर्ग = ३x१२x२५=९०० ही संख्या ९१२ मधून वजा केली. उअर्लेल्या १२ वर् पुढील अंक ५ घेतल्यावर् १२५ ही संख्या आली त्यातून ५ चा घन १२५ वजा केल्यावर् बाकी ० आली म्हणजे घनमूळ १२५ हे आले.  

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ८

प्रकरण ८ - घन करण्याचे सूत्र
रीत १
श्लोक २४
समत्रिघातश्च घनः प्रदिष्टः । स्थाप्यो घनिन्त्यस्य ततोऽन्त्यवर्गः ॥
आदित्रिनिघ्नस्तत आदिवर्गः । त्यन्त्याहतोऽथादिघनश्च सर्वे ॥ २४ ॥

श्लोक २५
स्थानान्तरत्वेन युतो घनः स्यात्‌ । प्रकल्प्य तत्खंडयुगं ततोऽन्त्यम् ॥
एवं मुहुर्वर्गनप्रसिद्धा - । वाद्यंकतो वा विधिरेष कार्यः ॥ २५ ॥

अर्थ - घन म्हणजे तीच संख्या तीनदा घेऊन झालेला गुणाकार. दोन अंकी संख्येचा घन करावयाचा असल्यास प्रथम अंत्य म्हणजे डाव्या बाजूच्या अम्काचा घन करावा. त्याखाली एक घर उजवीकडे सरकवून ३ x अन्त्यचा वर्ग x आदि ( उजवीकडील अंक ) हा गुणाकार मांडावा. त्याखाली एक घर उजवीकडे सरकवून  ३ x आदिचा वर्ग x   अन्त्य हागुणाकार लिहावा. शेवटी आदि म्हणजे उअजवीकडील अंकाचा घन लिहून सर्व संख्यांची बेरीज करावी म्हणजे दिलेल्या संख्येचा घन मिळेल. संख्येत जर दोनपेक्षा जास्त अंका असतील तर प्रथम डावीकडच्या दोन अंकांचा घन करून घ्यावा व या अंकास अन्त्य समजून पुढे क्रिया चालू ठेवावी.

रीत २ -
श्लोक् २६
खंडाभ्यांच हतो राशिस्त्रिघ्नः खंडघनैक्ययुक्‌ ।
वर्गमूलघनः स्वघ्नो वर्गराशेर्घनो भवेत्‌ ॥ २६ ॥

अर्थ - एखाद्या संस्थेचे २ खंड करून त्यांच्या गुणाकारास संख्येच्या तिप्पटीने गुणावे. हा गुणाकार खंडांच्या घनांच्या बेरजेत मिळवावा म्हणजे इष्ट घन मिळतो.
एखाद्या वर्गसंख्य्चा घन करावयाचा असल्यास त्या संख्येच्या वर्गमूळाचा घन करून त्या घनाचा वर्ग करावा म्हणजे इष्ट संख्येचा घन मिळेल.
श्लोक २७
 नवघनं त्रिघनस्य घनं तथा । कथय पंचघनस्य घनं च मे ॥
घनपदं च तोऽपि घनात्सखे । यदि घनेऽस्ति घना भवतो मतिः ॥ २७ ।।

 अर्था ९, २७ व १२५ या संख्यांचे घन सांग. तसेच या घनांची घनमुळे ( घनपदे) काय ते  सुद्धा, जर तुझ्या बुद्धीला घनक्रिया समजली असेल तर सांग.
९ चा घन =९ x ९ x ९ = ८१ x ९ = ७२९
२७ चा घन करणे
रीत १ -
२ चा घन = २ x २ x २ = ८
३ x अन्त्यचा वर्ग x आदि = ३ x ४ x ७ = ८४
३ x आदिचा वर्ग x   अन्त्य =३ x २ x ४९ = २९४
७ चा घन =७ x ७ x ७ = ३४३
  ८०००
  ८४००
  २९४०
   ३४३
-------
१९६८३
२७ चा घन = १९३६३
 रीत - २
२७ चे २ खंड १५ व १२ असे केले
१५ चा घन =१५ x १५ x १५ = २२५ x१५= ३३७५
१२ चा घन =१२ x १२ x १२ = १४४ x१२= १७२८
३ x २७ x १५ x १२ = ८१ x१८० = १४५८०
३३७५ + १७२८ + १४५८० = १९६८३ हा २७ चा घन होय. येथे एकांतर बदल नाही.
---
 १२५ चा घन करताना त्याचे १२ व ५ असे विभाग ( खंड नव्हे) पाडावेत
१२ चा घन = १७२८
३ x १२ चा वर्ग x ५ = ३ x १४४ x ५ = २१६०
३ x १२ x ५ चा वर्ग = ३ x १२ x २५ = ९००
५ चा घन = ५ x ५ x ५ = १२५
१७२८०००
 २१६०००
   ९०००
    १२५
--------
१९५३१२५ हा १२५ चा घन होय.

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ७

प्रकरण ७ – वर्गमूळ काढणे
श्लोक २२

त्यक्त्वान्त्याद्विषमात् कृतिं द्विगुणयेन्मूलं समे तद्धृते ।
त्यक्त्वा लब्धकृतिं तदाद्यविषमाल्लब्धं द्विविघ्नं न्यसेत् ॥
पंक्त्या पंक्तिहृते समेऽन्त्यविषमात्त्यक्त्वाप्तवर्ग फलम् ।
पंक्त्यां तद्द्विगुणं न्यसेदिति मुहुः पंक्तेर्दलं स्यात्पदम् ॥ २२ ॥

ज्या संस्थेचे वर्गमूळ काढावयाचे असेल तिच्यावर एकं स्थानापासून डावीकडे उभा दंड, आडवा दंड अशा खुणा कराव्या. म्हणजे दोन दोन अंकांचे, संख्येचे  विभाग पडतील.

सर्वात डावीकडचा विभाग एक अंकी किंवा द्व्यंकी होऊन, विभागाच्या अंतिम अंकावर उभ्या दंडाची खूण येईल. या विभागातल्या सर्वात डाव्या विभागातून शक्य तितका मोठा वर्ग वजा करावा.

नंतर ज्या अंकाचा वर्ग वजा केला असेल त्याची दुप्पट शेजारीच थोड्या अंतरावर लिहून ठेवावी. यास पंक्ति म्हणतात.

आता पहिल्या विभागातून वर्ग वजा केल्यानंतर उरलेल्या बाकीवर दुसर्‍या विभागातील सम अंक ( आडव्या रेषेखालचा) घ्यावा. या संख्येस प्रथम पंक्तिने भाग लावावा. ( हा लागलेला भाग ९ पेक्षा अधिक होत असेल तर भाग ९ चाच लावावा. )

येणार्‍या भागांकाची दुप्पट पहिल्या पंक्तीमध्ये एक घर सरकवून मिळवावी म्हणजे दुसरी पंक्ति तयार होईल.

नंतर राहिलेल्या शेषावर दुसरा विषमांक घ्यावा व त्यातून दुसर्‍या भागांकाचा वर्ग वजा द्यावा.

 उर्वरित बाकीवर दुसरा समांक घेऊन येणार्या भाज्यास दुसर्‍या पंक्तीने भाग द्यावा म्हणजे वर्गमूळाचा तिसरा अंक मिळेल.

या तिसर्‍या अंकाची दुप्पटा एक घर सरकवून दुसर्‍या पंक्तीत मिळवावी म्हणजे तिसरी पंक्ति तयार हॊईल.


 नंतर पूर्वोक्त भागाकारातल्या बाकीवर पुढला विषमांक ( उभ्या रेषेखालचा) घ्यावा व त्यातून तृतीयांकाचा वर्ग वजा द्यावा. याप्रमाणे पुनः पुनः करून शेवटच्या पंक्तीच्या अर्धी संख्या घ्यावी.

हेच दिलेल्या संख्येचे वर्गमूळ होय़.

श्लोक २३

 मूलं चतुर्णां च तथा नवानां । पूर्वं कृतानां च सखे कृट्नाम्‌ ।
पृथक्‌-पृथक्‌ वर्गपदानि विद्धि । बुद्धेर्विवृद्धिर्यदि तेऽत्र जाता ॥ २३ ॥

हे सखी, जर तुझ्या बुद्धीस याठिकाणी चालना मिळाली असेल ४,९  व पूर्वी केलेले वर्ग, १९६, ८१,८८२०९,व १००१०००२५ यांची वर्गपदे ( वर्गमूळे) सांग.

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ६

भास्कराचार्यलिखित लीलावती ( पाटीगणित)
प्रकरण ६ – वर्ग करण्याचे सूत्र
श्लोक १९
रीत पहिली

समद्विघातः कृतिरुच्यतेऽथ । स्थाप्योन्त्यवर्गो द्विगुणान्त्यनिघ्नाः ॥
स्वस्वोपरिष्ठाच्च तथाऽपरेऽङ्काः । त्यक्त्वान्त्य मुत्सार्य पुनश्च राशिम ॥ १९ ॥

दोन समान संख्यांच्या गुणाकारास वर्ग किंवा कृति म्हणतात. वर्ग करताना खालील रीत लावावी.

१. प्रथम डावीकडच्या आकड्याचा वर्ग त्याचे डोक्यावर लिहावा.

२. नंतर याच आकड्याच्या दुपटीने डावीकडून दुसर्‍या अंकास गुणून गुणाकार याच आकड्याच्या डोक्यावर लिहावा.

३. नंतर तिसर्‍या अंकास याच दुपटीने गुणून गुणाकार तिसर्‍या  अंकाच्या डोक्यावर लिहावा.

४. अशा रीतीने एकं स्थानापर्यंत आल्यावर डावीकडचा अंक खोडावा व उरलेली संख्या एक घर ( किंवा स्थान ) उजवीकडे सरकवावी.

५. नंतर उर्वरित राशीवर  वरच्यासारखीच क्रिया करावी.

६. शेवटी या सर्व गुणाकारांची बेरीज करावी. आलेली बेरीज ही वर्ग होईल.

रीत २ –
श्लोक २०
खण्डद्वयस्याभिहतिर्द्विनिघ्नी । तत्खण्ड वर्गैक्ययुता कृतिर्वा ॥
इष्टोनयुग्राशिवधः कृतिः स्यात् । इष्टस्य वर्गेण समन्वितो वा ॥ २० ॥

दिलेल्या संख्येचे दोन विभाग करून, विभागांच्या गुणाकाराच्या दुपटीत, विभागाच्या वर्गांची बेरीज मिळवावी. येणारी बेरीज संख्येचा वर्ग होतो.

 रीत – ३
 दिलेल्या संख्येत एखादी इष्ट म्हनजे सोयीस्कर संख्या मिळवावी व तीतून वजा करावी. या बेरीज, वजाबाकी यांच्या गुणाकरात इष्ट संख्येचा वर्ग मिळवावा म्हनजे दिलेल्या संख्येचा वर्ग होतो.

श्लोक २१
 सखे नवानां च चतुर्दशानाम् । ब्रूहि त्रिहीनस्य शतत्रयस्य ॥
पंचोत्तरस्याप्ययुतस्य वर्गम् । जानासि चे द्वर्गविचारमार्गम् ॥ २१ ॥

अग सखी, नऊ, चौदा, २९७ व दहा हजार पाच ( १०००५) या संख्यांचे वर्ग, जर तुला वर्ग करण्याची कृति ठाऊक असेल, तर सांग.

खाली २९७ चा वर्ग पहिल्या पद्धतीने कसा करता येतो हे दाखविले आहे.

	८	८	२	०	९	प्रथम अ ओळीत २९७ लिहा. २ चा वर्ग ४ हा एक अंकी आहे. तो २ च्या डोक्यावर लिहा. आता २ ची दुप्पट ४ या संख्येने ९ ला गुणून य़ेणारी संख्या ३६ ही संख्या ९ च्या रकान्यात वरच्या बाजूस ६ येतील अशी लिहा. आता ४ ने ७ ला गुणून येणारी संख्या ( २८) ७ च्या रकान्यात ८ येतील अशी लिहा. आता ट ओळीत २९७ चे खाली एक घर उजवीकडे सरकवून २९७ लिहा व त्यातले २ खोडा. आता राहिलेल्या ९७ वर वरीलप्रमाणेच क्रिया करा. म्हणजे ९ चा वर्ग ८१ लिहिताना १ हा ७च्या रकान्यात येईल अशी संख्या लिहा नंतर ९ ची दुप्पट १८ ह्याने ७ ला गुणून गुणाकार १२६ हा ट ओळीतील ७ चे रकान्यात ६ येतील अशा पद्धतीने लिहा. नंतर ठ ओळीत दाखविल्याप्रमाणे २९७ ही संख्या एक घर उजवीकडे सरकवून लिहा व त्यातले २ व ९ खोडा. उरलेल्या ७ चावर्ग ४९ हा ७ च्या रकान्यात ९ येतील अशा प्रकारे लिहा. सर्व उपगुणाकार लिहून झाले की त्यांची बेरीज करा म्हणजे ८८२०९ हा वर्ग येतो.
ड				४	९
क		१	२	६
		८	१
ब		२	८
	३	६
	४
अ	२	९	७
ट		२	९	७
ठ			२	९	७

रीत दुसरी - २९७ चे २ विभाग २९० + ७ असे करावेत. नंतर २९० चा वर्ग =८४१०० व ७ चा वर्ग =४९ आणि २९० x ७ x २ =४०६० या तीनही संख्यांची बेरीज करावी. ८४१०० + ४९ +४०६० = ८८२०९ हे उ्त्तर येते. रीत तिसरी - २९७ मध्ये इष्टांक ३ मिळवावा व व्जा करावा म्हणजे ३०० व २९४ या संख्या येतात. या दोन संख्यांच्या गुणाकारात ३ च आ वर्ग ( ९) मिळवावा ८८२०० + ९ = ८८२०९ हे उत्तर.

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ५

पहिली रीत (रूपगुणरीत)	दुसरी रीत (खंडगुणरीत)	तिसरी रीत (विभागगुणरीत)
१३५ x   १२ -----------     ६०   ३६ १२  ---------- १६२०	गुणक १२ चे विभाग ८+४ १३५    १३५ x  ८   x  ४ -------------- १०८०   ५४० -------------    १०८० +  ५४० -----------    १६२०	गुणक १२ चे अवयव ३ x ४      १३५     x  ४      ----       ५४०      x  ३ ---------      १६२०

चौथी रीत (स्थानगुणनरीत)	पाचवी रीत ( इष्टांक पद्धत)
गुणक १२ मध्ये एकं स्थानी २ व दहं स्थानी १ आहे म्हणून प्रथम २ ने गुणून २७० येतील. व नंतर १ ने गुणून १३५ येतील. २७० एकं स्थानापासून व १३५ दहंस्थानापासून एकाखाली एक लिहावे व त्यांची बेरीज करावी.         २७०    + १३५ ---------       १६२०	१२ या गुणकाचे सोयीनुसार १० व २ असे भाग पाडून १३५ ला १० ने गुणावे म्हणजे १३५० येतील १३५ ला आता २ ने गुणावे ते २७० येतील. त्यांची बेरीज करावी     १३५० +   २७० --------     १६२०

प्रकरण ५ – भागहार ( भागाकार)
 
श्लोक १८
 
भाज्याध्दुरः शुध्द्युतियद्गुणः स्यात् । अन्त्यात्फलं तत्खलु भागहारे ॥
समेन केनाप्यपवर्त्य हार – (भाज्यो भवेद्वा सति संभवे तु ॥ १८ ॥
 
अर्थ भाज्याच्या अंतिम अंकांतून (सुरुवातीचा, डावीकडचा) भाजक जितके वेळा वजा जाऊ शकेल तितका भागाकार येतो किंवा भाज्य व भागाजक यांना एकाच संख्येने भाग जात असेल तर तसा भाग देऊन ( संक्षिप्त करून ) नंतर भागाकार केल्यास तोच भागाकार येईल.

भागक्रियेत तीन राशि असतात. भाज्य म्हणजे ज्यास भागावयाचे ती संख्या, भाजक किंण्वा हर म्हणजे जिने भागावयाचे ती संख्या व भागक्रिया केल्यानंतर येणारी संख्या म्हणजे भागाकार ( किंवा भागफल, भजनफल किंवा लब्धि) 

उदाहरण – १६२० या संख्येस १२ ने भागिले असता भागाकार काय?
पहिली रीत- १२ हा भाजक १६ मधून एक वेळा अपवर्तित  म्हण्जे वजा होतो. म्हणून भाकारातील प्रथमांक १ झाला. शेष म्हणजे बाकी ४ राहिली. त्यावर २ घेऊन पुढील उपभाज्य ४२ झाला. यातून १२ ची तिप्पट ३६ वजा जाते. म्हणून भागाकारातील द्वितीय अंक ३ झाला. भाज्य असारीतीने शुद्ध केल्यावर शेष ६ व भाज्यातील शून्य त्यापुढॆ ठेवल्यावर अन्त्य भाज्य ६० आला. १२ ने भागून फलांक ५ आला. म्हणजे भागाकार १३५ झाला.

 दुसरी रीत –
भाज्य व भाजक यांना ३ व ४ ने भाग जातो. त्यामुळे प्रथम १६२० ला ३ ने भागावे  व नंतर येणार्या भागाकारास ४ ने भागावे म्हणजे भागाकार १३५ यॆईल.

पहिली रीत	दुसरी रीत
१२ ) १६२० ( १३५         १२ --------         ०४२          ३६ ---------          ०६०            ६० -----------            ००	३ ) १६२० ( ५४०      १५ -------       ०१२        १२ --------       ०००         ०० --------         ००	४ ) ५४० ( १३५      ४ --------      १४      १२ --------      ०२०        २० --------        ००

वरील उदाहरणात शेष शून्य आहे. पण जर भागाकारात बाकी उरत असेल तर भाज्य/भाजक याला संक्षेपरूप दिल्याने बाकी बदलेल पण भजनफल तेच राहील. यासाठी दुसरी पद्धत सशेष भागाकारास लागू पडत नाही.

मराठी विज्ञान प्रबोधिनी, सांगली

 मराठी विज्ञान प्रबोधिनी, सांगली आणि आकाशवाणी यांच्या संयुक्त विद्यमाने जानेवारी १९८४ मध्ये म्हैशाळ, सांगली येथे एक विज्ञान मेळावा घेण्यात आला होता. त्यावेळी प्रकाशित केलेल्या स्मरणिकेतील मराठी विज्ञान प्रबोधिनी, सांगली या संस्थेचा परिचय करून देणारा माझा एक लेख खाली देत आहे. 

 

 

संशोधनाचे स्फूर्तिकेंद्र - विज्ञान छंदगृह

मराठी विज्ञान प्रबोधिनी, सांगली आणि आकाशवाणी यांच्या संयुक्त विद्यमाने जानेवारी १९८४ मध्ये म्हैशाळ, सांगली येथे एक विज्ञान मेळावा घेण्यात आला होता. त्यावेळी प्रकाशित केलेल्या स्मरणिकेतील माझा एक लेख खाली देत आहे. 

 

 

विज्ञानमहर्षि भास्कराचार्य भाग - ४

लीलावती ( पाटीगणित) प्रकरण - ४
गुणनप्रकार ( गुणाकाराच्या पद्धती )
या प्रकरणात दोन श्लोक ( १५ व १६) आणि एक अर्धा श्लोक आहे.

श्लोक-१५
गुण्यांत्यमंकं गुणकेन हन्यात् । उत्सारितेनैवमुपान्त्यमादीन् ॥
गुण्यस्त्व्धोऽधो गुणखण्डतुल्यः । तैः खण्डकैः संगुणितो युतो वा ॥ १५ ॥

श्लोक-१६
भक्तो गुणाः शुद्धति येन तेन । लब्ध्या च गुण्यो गुणितम् फलं वा ॥
द्विधा भवेद्रूपविभाग् एवं । स्थानेः पृथग्वा गुणितः समेतः ॥ १६ ॥

अर्धा श्लोक
इष्टोनयुक्तेन गुणेन निघ्ने । ऽभीष्टघ्नगुण्यान्वितवर्जितो वा ॥

वरील श्लोकात गुणाकाराच्या पाच पद्धती सांगितल्या आहेत्. त्या खाली दिल्या आहेत.

रूपगुणरीत -
गुण्य म्हणजे जिला गुणावयाचे त्या संख्येच्या अंत्य अंकास म्हणजे एकं स्थानच्या अंकास गुणक संख्येने गुणावे. नंतर गुणकांकाने उपान्त्य म्हणजे दहं स्थानच्या अंकास गुणावे. याप्रमाणे आदिम अंकापर्यंत करावे. या पद्धतीला रूपगुणरीत म्हणतात.
खंडगुणरीत -
गुणकाचे खंड किंवा विभाग करून प्रत्येक खंडाने गुण्यास गुणून गुणाकार एकाखाली एक लिहून बेरीज करावी.
विभागगुणरीत -
गुणक संख्येचे अवयव पडत असतील तर एका अवयवाने प्रथम् गुणून नंतर येणार्‍या गुणाकारास उरलेल्या अवयवाने गुणावे.
स्थानगुणनरीत -
गुणकांत जितकी स्थाने असतील त्या त्या अंकांनी गुण्यास स्वतंत्र रीतीने गुणून त्या त्या स्थानाखाली ते गुणाकार लिहून बेरीज करावी.
इष्टांक वजा करण्याची किंवा मिळविण्याची रीत.
दिलेल्या गुणकांतून एक सोयीस्कर अंक वजा करावा व उरलेल्या संख्येने गुण्यास गुणावे व त्यांत इष्टांकाचा व गुण्याचा गुणाकार् मिळवावा. किंवा गुणकांत एक सोयीस्कर अंक मिळवून त्याने गुण्यास गुणावे व त्यातून इष्टांक व गुण्य यांचा गुणाकार वजा करावा.

श्लोक् – १७
बाले बालकुरंगलोलनयने लीलावति प्रोच्यताम्‌ ।
पंचत्र्येकमिता दिवाकरगुणा अंकाः कति स्युर्यदि ॥
रूपस्थानविभागखंडगुणने कल्पासि कल्याणिनि ।
छिन्नास्तेन गुणेन ते च गुणिता अंकाः कति स्युर्वद ॥ १७ ॥

हरिणाच्या पाडसाच्या डोळ्यांप्रमाणे मोहक डोळे असणार्‍या मुली, जर तुला रूपस्थानविभाग खंडगुणाकाराची रीत  नीट समजली असेल तर १३५ ला १२ ने गुणिले असता गुणाकार काय होईल ते सांग. तसेच त्या गुणाकारास गुणकाने भागले तर काय उत्तर येईल ते सांग.