पाणिनि ऋषींच्या अष्टाध्यायी (इ. स. पूर्व ५०० वर्षे) मध्ये सप्तस्वरांचा उगम खालील श्लोकात दिलेला आहे.
संदर्भ - डॉ. एम. जी प्रसाद, स्टीव्हन्स इन्स्टीट्यूट ऑफ् टेक्नॉलॊजी यांचा लेख
Sunday, April 6, 2014
Wednesday, April 2, 2014
वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) घन
वापरावयाचे सूत्र - आनुरुप्येण ।
या पद्धतीने दोन अंकी संख्यांचे घन करता येतात. मात्र् यासाठी १ ते १० पर्यंतच्या संख्यांचे घन पाठ असावे लागतात.
ते खालीलप्रमाणे आहेत्.
१:१, २:८, ३:२७, ४:६४,५:१२५
६:२१६, ७:३४३, ८:५१२, ९:७२९, १०:१०००
उदा. १२ चा घन
एकूण चार स्थानांवर अंक किंवा संख्या मांडाव्या. व याची सुरुवात डावीकडून करावी.
पायरी १ - सहस्र स्थानावर, दिलेल्या संख्य्तील दशम्‌ स्थानाच्या अंकाचा घन मांडावा. १ चा घन : १.
पायरी २ - आता मूळ संख्येच्या दशम्‌ आणि एकम्‌ स्थानातील अंकाचे एकमेकाशी काय प्रमाण आहे ते पाहून त्या प्रकारे पुढचे तीन अंक मांडावेत. १:२ ४ ८
पायरी ३ - शतम्‌ स्थानी २ म्हणून दशम्‌ स्थानी ४ ( प्रमाण तेच १:२)
पायरी ४ - दशम्‌ स्थानी ४ म्हणून एकम्‌ स्थानी ८
पायरी ५ - आता मधल्या दोन स्थानांवर ( शतम्‌ आणि दशम्‌ ) जे अंक आहेत, त्यांची दुप्पट त्या त्या अंकांखाली लिहा.
पायरी ६ - आता उभी बेरीज करा.
१२ चा घन
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
१ : २ : ४ :८
: ४ : ८ :
-------------
१ : ७ : २ : ८
----------
१२ चा घन =१७२८
(२) २३ चा घन करा
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
८ : १२ : १८ : २७
: २४ : ३६:
-----------------
८ : ३/६ : ५:४ : २/७
------------------
एका स्थानी फक्त एकच अंक राहू शकतो. त्यामुळे त्या आधीचे अंक हातचे असतात. म्हणून ते डावीकडील अंकात मिसळा.
(८+३) : (६+५): (४+२) : ७
११:११:६:७
(११+१):१:६:७
१२१६७
२३ चा घन = १२१६७
याचप्रमाणे ३६ आणि ७८ चे घन करा.
यात ७८ चा घन करताना प्रमाणात संख्या काढणे अवघड जाते. अशावेळी बीजगणितातील सूत्र वापरावे
( अ+ब) चा घन =अ चा घन + ३x अ चा वर्ग x ब + ३x अ x ब चा वर्ग + ब चा घन
७८ चा घन = (७० + ८) चा घन = ३४३००० + ३x४९ x८ + ३x७x६४ + ५१२
किंवा वरील पद्धतीप्रमाणे
३४३ : ४९x८: ७x६४ :५१२
: २x४९x८: २x७x६४ :
--------------------------
३४३ : ३९२ : ४४८ : ५१२
:७८४ : ८९६ : ५१२
------------------------
३४३ : ११७६ :१३४४: ५१२
---------------------------
३४(३+११७): ( ६+ १३४): (४+५१) :२
३४(१२०) : (१४०): (५५) :२
(३४+१२):(०+१४): ( ०+५) :५:२
(४६+१):४:५:५:२
७८ चा घन = ४७४५५२
----------------------
५३ चा घन करा.
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
१२५ : २५x३ : ५x९ : २७
: २x२५x३ :२x५x९
------------------------------
१२५ : ७५ : ४५ : २७
:१५०:९० :२७
----------------------
१२(५):२२५:१३५:२७
-----------------
१२(५+२२):(५+१३):(५+२):७
(१२+२) ( ७) :१८:७:७
१४:८:८:७:७
१४८८७७
५३ चा घन= १४८८७७
या पद्धतीने दोन अंकी संख्यांचे घन करता येतात. मात्र् यासाठी १ ते १० पर्यंतच्या संख्यांचे घन पाठ असावे लागतात.
ते खालीलप्रमाणे आहेत्.
१:१, २:८, ३:२७, ४:६४,५:१२५
६:२१६, ७:३४३, ८:५१२, ९:७२९, १०:१०००
उदा. १२ चा घन
एकूण चार स्थानांवर अंक किंवा संख्या मांडाव्या. व याची सुरुवात डावीकडून करावी.
पायरी १ - सहस्र स्थानावर, दिलेल्या संख्य्तील दशम्‌ स्थानाच्या अंकाचा घन मांडावा. १ चा घन : १.
पायरी २ - आता मूळ संख्येच्या दशम्‌ आणि एकम्‌ स्थानातील अंकाचे एकमेकाशी काय प्रमाण आहे ते पाहून त्या प्रकारे पुढचे तीन अंक मांडावेत. १:२ ४ ८
पायरी ३ - शतम्‌ स्थानी २ म्हणून दशम्‌ स्थानी ४ ( प्रमाण तेच १:२)
पायरी ४ - दशम्‌ स्थानी ४ म्हणून एकम्‌ स्थानी ८
पायरी ५ - आता मधल्या दोन स्थानांवर ( शतम्‌ आणि दशम्‌ ) जे अंक आहेत, त्यांची दुप्पट त्या त्या अंकांखाली लिहा.
पायरी ६ - आता उभी बेरीज करा.
१२ चा घन
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
१ : २ : ४ :८
: ४ : ८ :
-------------
१ : ७ : २ : ८
----------
१२ चा घन =१७२८
(२) २३ चा घन करा
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
८ : १२ : १८ : २७
: २४ : ३६:
-----------------
८ : ३/६ : ५:४ : २/७
------------------
एका स्थानी फक्त एकच अंक राहू शकतो. त्यामुळे त्या आधीचे अंक हातचे असतात. म्हणून ते डावीकडील अंकात मिसळा.
(८+३) : (६+५): (४+२) : ७
११:११:६:७
(११+१):१:६:७
१२१६७
२३ चा घन = १२१६७
याचप्रमाणे ३६ आणि ७८ चे घन करा.
यात ७८ चा घन करताना प्रमाणात संख्या काढणे अवघड जाते. अशावेळी बीजगणितातील सूत्र वापरावे
( अ+ब) चा घन =अ चा घन + ३x अ चा वर्ग x ब + ३x अ x ब चा वर्ग + ब चा घन
७८ चा घन = (७० + ८) चा घन = ३४३००० + ३x४९ x८ + ३x७x६४ + ५१२
किंवा वरील पद्धतीप्रमाणे
३४३ : ४९x८: ७x६४ :५१२
: २x४९x८: २x७x६४ :
--------------------------
३४३ : ३९२ : ४४८ : ५१२
:७८४ : ८९६ : ५१२
------------------------
३४३ : ११७६ :१३४४: ५१२
---------------------------
३४(३+११७): ( ६+ १३४): (४+५१) :२
३४(१२०) : (१४०): (५५) :२
(३४+१२):(०+१४): ( ०+५) :५:२
(४६+१):४:५:५:२
७८ चा घन = ४७४५५२
----------------------
५३ चा घन करा.
सहस्र स्थान: शतम्‌ स्थान: दशम्‌ स्थान: एकम्‌ स्थान
१२५ : २५x३ : ५x९ : २७
: २x२५x३ :२x५x९
------------------------------
१२५ : ७५ : ४५ : २७
:१५०:९० :२७
----------------------
१२(५):२२५:१३५:२७
-----------------
१२(५+२२):(५+१३):(५+२):७
(१२+२) ( ७) :१८:७:७
१४:८:८:७:७
१४८८७७
५३ चा घन= १४८८७७
वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) वर्ग
वापरावयाचे सूत्र - ऊर्ध्वतिर्यक् ।
उदा ४३ चा वर्ग करा.
पायरी एक : एकम्‌ स्थानच्या अंकाचा वर्ग करायचा . ३ चा वर्ग= ९
पायरी दोन : आता एकम्‌ आणि दशम्‌ स्थानचे अंक घ्या. त्यांच्या गुणाकाराची दुप्पट करा ३x४x२=२४
यात २४ पैकी ४ हे ९च्या एक घर डावीकडे व आनी २ हे हातचे म्हणून ४च्या एक घर डावीकडे व खाली मांडा.
पायरी तीन : आता ३ सोडून द्यायचे म्हणजे उरले ४. त्याचा वर्ग करायचा तो आला १६. यातील ६ हे ४ च्या डावीकडे व १ हातचा म्हणून एकघर डावीकडे व खाली मांडा.
पायरी चार : आता सर्व अंकांची बेरीज करा.
४३ चा वर्ग =
६ ४ ९
१ २
---------
१ ८ ४ ९ हे उत्तर.
६७ चा वर्ग =
६ ४ ९
३ ८ ४
---------
४ ४ ८ ९ हे उत्तर.
खालील संख्यांचा वर्ग करा
(१) ८३ (२) ९६
तीन अंकी संख्यांचा वर्ग
उदा. २३५ चा वर्ग
पायरी १ - नेहमीप्रमाणे आधी ५ चा वर्ग = २५
पायरी २ - आता शेवटचे दोन अंक घ्यायचे. जेव्हा दोन अम्क असतील तेव्हा त्यांच्या गुणाकाराची दुप्पट करायची
म्हणजे येथे ५x३x२=३०
पायरी ३ - आता तिन्ही अंकांचा विचार करायचा आहे. तिसर्‍या आणि पहिल्या अंकांच्या गुणाकाराची दुप्पट अधिक मधल्याचा वर्ग
२x५x२ + ३x३=२० + ९=२९
पायरी ४ - आता एकम्‌ स्थानचा अंक सोडून द्यावा. उरलेल्या दोन अंकांच्या गुणाकाराची दुप्पत करा
२x३x२=१२
पायरी ५ - आता दशम्‌ स्थानचा अंक सोडून द्यावा. उरले २ म्हणून त्याचा वर्ग = ४
२३५ चा वर्ग
४२९०५
१२३२
------
५५२२५
वरील गणित ऊर्ध्वतिर्यक् पद्धतीनेही सोडविता येते यावेळी २३५ चा वर्ग म्हणजे २३५ x२३५ करावयाचे.
६२५ चा वर्ग
६४४०५
३२६२२
---------
३९०६२५
२७३ चा वर्ग करा
१५६ चा वर्ग करा
५३८ चा वर्ग करा
पाच अंकी संख्येचा वर्ग
उदा.
२५४३६ चा वर्ग
= ४०१२०४७६६
२४५७८५३३
-----------------
६४६९९००९६
(१) २७५६५ चा वर्ग करा
(२)७३८९ चा वर्ग करा.
उदा ४३ चा वर्ग करा.
पायरी एक : एकम्‌ स्थानच्या अंकाचा वर्ग करायचा . ३ चा वर्ग= ९
पायरी दोन : आता एकम्‌ आणि दशम्‌ स्थानचे अंक घ्या. त्यांच्या गुणाकाराची दुप्पट करा ३x४x२=२४
यात २४ पैकी ४ हे ९च्या एक घर डावीकडे व आनी २ हे हातचे म्हणून ४च्या एक घर डावीकडे व खाली मांडा.
पायरी तीन : आता ३ सोडून द्यायचे म्हणजे उरले ४. त्याचा वर्ग करायचा तो आला १६. यातील ६ हे ४ च्या डावीकडे व १ हातचा म्हणून एकघर डावीकडे व खाली मांडा.
पायरी चार : आता सर्व अंकांची बेरीज करा.
४३ चा वर्ग =
६ ४ ९
१ २
---------
१ ८ ४ ९ हे उत्तर.
६७ चा वर्ग =
६ ४ ९
३ ८ ४
---------
४ ४ ८ ९ हे उत्तर.
खालील संख्यांचा वर्ग करा
(१) ८३ (२) ९६
तीन अंकी संख्यांचा वर्ग
उदा. २३५ चा वर्ग
पायरी १ - नेहमीप्रमाणे आधी ५ चा वर्ग = २५
पायरी २ - आता शेवटचे दोन अंक घ्यायचे. जेव्हा दोन अम्क असतील तेव्हा त्यांच्या गुणाकाराची दुप्पट करायची
म्हणजे येथे ५x३x२=३०
पायरी ३ - आता तिन्ही अंकांचा विचार करायचा आहे. तिसर्‍या आणि पहिल्या अंकांच्या गुणाकाराची दुप्पट अधिक मधल्याचा वर्ग
२x५x२ + ३x३=२० + ९=२९
पायरी ४ - आता एकम्‌ स्थानचा अंक सोडून द्यावा. उरलेल्या दोन अंकांच्या गुणाकाराची दुप्पत करा
२x३x२=१२
पायरी ५ - आता दशम्‌ स्थानचा अंक सोडून द्यावा. उरले २ म्हणून त्याचा वर्ग = ४
२३५ चा वर्ग
४२९०५
१२३२
------
५५२२५
वरील गणित ऊर्ध्वतिर्यक् पद्धतीनेही सोडविता येते यावेळी २३५ चा वर्ग म्हणजे २३५ x२३५ करावयाचे.
६२५ चा वर्ग
६४४०५
३२६२२
---------
३९०६२५
२७३ चा वर्ग करा
१५६ चा वर्ग करा
५३८ चा वर्ग करा
पाच अंकी संख्येचा वर्ग
उदा.
२५४३६ चा वर्ग
= ४०१२०४७६६
२४५७८५३३
-----------------
६४६९९००९६
(१) २७५६५ चा वर्ग करा
(२)७३८९ चा वर्ग करा.
Tuesday, April 1, 2014
वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ८
सूत्र ८ - ऋणांक
गुण्य आणि गुणक पाच-सहा अंकी असले आणि अंकही ७-८-९ असे मोठे असले, तर मोठ्या बेरजा करणे अवघड जाते किंवा त्याला वेळ जास्त लागतो. अशावेळी ऋणांक पद्धत वापरली जाते.
या पद्धतीमध्ये मूळच्या गुणाकारातील ५ पेक्षा मोठ्या असलेल्या संख्या विशिष्ट पद्धतीने लिहून ५ पेक्षा लहान के ल्या जातात.
९ = १०-१= ११
८= १०-२= १२
३७ = ४०-३ = ४३
(१) ८२७ ही संख्या ऋणांक पद्धतीने लिहा
८ २ ७
१२ ३ ३
गुण्य आणि गुणक पाच-सहा अंकी असले आणि अंकही ७-८-९ असे मोठे असले, तर मोठ्या बेरजा करणे अवघड जाते किंवा त्याला वेळ जास्त लागतो. अशावेळी ऋणांक पद्धत वापरली जाते.
या पद्धतीमध्ये मूळच्या गुणाकारातील ५ पेक्षा मोठ्या असलेल्या संख्या विशिष्ट पद्धतीने लिहून ५ पेक्षा लहान के ल्या जातात.
९ = १०-१= ११
८= १०-२= १२
३७ = ४०-३ = ४३
(१) ८२७ ही संख्या ऋणांक पद्धतीने लिहा
८ २ ७
१२ ३ ३
१२ ३ ३= १०००-२००+३० -३= १०३० - २०३
= ८२७
(२) ४९७ ही संख्या ऋणांक पद्धतीने लिहा
४ ९ ७
४९७=५००-३
५०३
(२) ८९८ ही संख्या ऋणांक पद्धतीने लिहा
८९८=९००-२
९०२ = ११०२
(२) ५९३ ही संख्या ऋणांक पद्धतीने लिहा
५९३
५ ११३
६१३
१४१३
खालील उदाहरण सोडवा.
२८३ x५९२
२८३ = ३ २३
५९२ = १४१२
म्हणून २८३ x५९२ = ३ २३ x १४१२
३ २३
x १४१२
-----
३ ४ ८ ४ ७ ६
१
१ १ १
-------------
वरील बेरीज करताना ६ आहेत तसे खाली मांडायचे. -७ धन करण्यासाठी -७=-१०+३
म्हणजे १३ असे लिहायचे त्यातील १ डावीकडे खाली मांडायचा
३ ४ ८ ४ ७ ६
१
१ १ १
-------------
१ ६ ७ ५ ३ ६
पुढील गणिते सोडवा
(१) ३९५९ x १५९९
(२) २५८७ x३६०१
वैदिक गणित ( भाग पहिला : गुणाकार) सूत्र ७
सूत्र ७ - ‘ ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्‌ ’
अर्थ - सरळ वर आणि तिरके
उदा. १२ x १४
१२
१४
(१) प्रथम ४ ने वरच्या २ ला सरळ गुणायचे आणि येणारे उत्तर ८ आडव्या रेघेखाली लिहायचे
१२
१४
----
८
(२) नंतर दोन तिरके गुणाकार करायचे म्हणजे ४ ने १ ला आणि १ ने २ ला गुणायचे . या दोन्ही गुणाकारांची बेरीज करायची ती आली ४ + २ = ६
१२
१४
----
६:८
(३) नंतर १ ला १ ने सरळ गुणायचे आणि उत्तर १ खाली लिहायचे. म्हणजे उत्तर आले १६८
१२
१४
----
१:६:८
म्हणजेच १२ x १४=१६८
दुसरे उदाहरण
११ x १५
११
१५
१:(५+१):५
१६५
११ x १५ = १६५
वरील दोन्ही उदाहरणात हातचा कोठेच आला नाही . तो जर येत असेल तर तो एक घर डावीकडे आनी खाली असा मांडायचा
उदा. १७ x १३
१७
१३
----
(१) प्रहम ७x३ = २१ यातला १ वरती मांडायचा आणी २ हतचे एक घर डावीकडे खालच्या बाजूस मांडायचे.
(२) आता दोन तिरके गुणाकार ( ३x१ आणि १x७) आणि बेरीज१० यातले ० मांडायचे २ च्या डोक्यावर आणि हातचा १ डावीकडे मांडायचा
१७
१३
----
१०१
२
----
(३) शेवटी १x१ हे हातचे आलेल्या १ च्या डोक्यावर ( ० च्या डावीकडे) मांडायचे
शेवटी नेहमीप्रमाणे बेरीज करायची
१७
१३
----
१०१
१२
----
२२१
खालील गणिते सोडवा
(१) ७३ x८५ (२) ०९ x९९
तीन अंकी संख्यांचा गुणाकार
पायरी १ - गुणक एकम्‌ x गुण्य एकम्‌
पायरी २ - ( गुणक एकम्‌ x गुण्य दशम्‌ ) + ( गुणक दशम्‌ x गुण्य एकम्‌ )
पायरी ३ - (गुणक एकम्‌ x गुण्य शतम्‌) + ( गुणक दशम्‌ x गुण्य दशम्‌ ) + ( गुणक शतम्‌ x गुण्य एकम्‌ )
पायरी ४ - ( गुणक दशम्‌ x गुण्य शतम्‌) +( गुणक शतम्‌ x गुण्य दशम्‌ )
पायरी ५ - गुणक शतम्‌ x गुण्य शतम्‌
वरील सर्व संख्यांची हातचा घेऊन बेरीज केल्यावर तीन अंकी संख्यांचा गुणाकार मिळतो
उदा. १२६ x३७२
१ २ ६
३ ७ २
--------
पायरी १ - २ x ६ = १२
पायरी २ - २ x २ + ७ x ६= ४+४२=४६
पायरी ३ - २ x १ + ७ x २ + ३ x ६= २+१४+१८=३४
पायरी ४ - ७ x १ +३ x २ =१०
पायरी ५ - ३ x १=३
उदा. १२६ x३७२
१ २ ६
३ ७ २
--------
३ ३ ४ ६ २
१ ३ ४ १
----------------
४ ६ ८ ७ २
खालील गणिते सोडवा
(१) २८३x५९२ (२) १४९ x ३७३
याच पद्धतीने चार अंकी संख्यांचा गुणाकार करा.
(१) १२३४ x ५६७८ (२) ३९५९ x १५९९
(३) २५८७ x ३६०१